Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Решение
Функция
()qu
имеет вид
0, ;
() ( )/( ), ;
qu u u u u u u u
1, .
uu
0
010 0 1
uu
1
По интегральной формуле полной вероятности находим
() () ,qqufudu
()qu
где
– вероятность отказа радиолампы при
распределения напряжения
fu e
() .
,U
нормальная с параметрами
1
2
u
()
uu
0
2
2
u
;()Uufu
2
Следовательно,
2
()
uu
0
qqufudu e duPUu
() () { }.
u
1
()( )
uu u u
010
2
0
u
u
2
2
u
Последняя вероятность:
– плотность
и
u
1
:u
1
uu uu
{}{ }() .
PU u Pu U
11
10 10
uu
1
2
Вычислим интеграл:
22
() ()
uu uu
00
uu
11
uu uu
uu
00
uu
10
00
u
1
22()
22
22
uu
edu edu
u
uu
10
.
2
u
91
Функция под знаком интеграла есть не что иное, как производная от
X
X
X
X
2
()
uue
10
2
2
u
функции
qe
по ,u следовательно,
2
()
uu
10
2
2
u
uu
10
u
u
2( )
uu
10
10,5.
Домашнее задание
1. Цена деления измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность
того, что при отсчете будет сделана ошибка:
а) меньше 0,04;
б) больше 0,05.
2.
Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Ин-
тервал движения пять минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трех
минут.
3.
Написать плотность и функцию распределения показательного за-
кона, если параметр
4.
МО и СКО нормально распределенной СВ
равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания
примет значение, заключенное в интервале
5.
СВ
распределена нормально с МО
интервал, симметричный относительно МО, в который с вероятностью
0,9973 попадет величина
6.
(15, 2 5) .
в результате испытания.
10a
и СКО
соответственно
5.
Найти
92
Задача 1
Задача 2
ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ ЗАДАНИЯМ
Тема 1: Законы распределения СВ
Задача 3
93
Задача 4
Задача 5
Задача 1
Задача 2
Тема 2: Числовые характеристики СВ
Задача 3
94
Задача 4
Задача 5
Задача 6
95
Задача 1
Тема 3. Законы распределения ДСВ
Х 0 1 2
Р 0,25 0,5 0,25
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 1
[]1; []0,5; [] .
MX DX X
1
2
0,5.
42
2
ma
{ 4} [ ] 0,09.
PX a np
[] 4; [] 20; []25.
MX DX X
[] 5; [] 20; [] 25.
MY DY Y
ae e
qq
p
1
p
!4!
m
2
p
q
2
p
34
CC
46
PC
10
7
Тема 4. Законы распределения НСВ
{0 0, 04} {0,16 0, 2} 0, 4;PX P X
а)
{0, 05 0,15} 0, 5.PX
б)
Задача 2
{2 5} 0, 6.PX
96
Задача 3
Задача 4
()
fx
()
Fx
6
x
,0;
6
e
0, 0.
6
x
,0;
e
0, 01.
x
x
x
x
Задача 5
{15 25} 0, 6826.PX
(5,25).
97
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бекарева Н. Д. Теория вероятностей : конспект лекций / Н. Д. Бекарева. –
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2004.
2. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математиче-
ской статистики : учебник для вузов / А. Н. Бородин. – Москва : Лань, 2006. –
256 с.
3. Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – Москва : Акаде-
мия, 2005. – 576 с. – Серия
4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения :
учеб. пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – Москва : Высшая
школа, 2000. – 480 с.
5. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей /
Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – Москва : Академия, 2005. – 448 с. – Серия
«Высшее образование».
6. Веретельникова
пособие / Е. Л. Веретельникова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2022. – 91 с.
7. Веретельникова Е. Л. Теория вероятностей и математическая стати-
стика : методические указания к выполнению расчетно-графической работы и
подготовки к контрольным работам для студентов II курса АВТФ. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2017. – 48 с.
8. Веретельникова
(в электронной форме) / Е. Л. Веретельникова.
9. Веретельникова Е. Л. Теория вероятностей и математическая статистика
2020 : электронный учебно-методический комплекс / Е. Л. Веретельникова. –
Новосибирск, 2020.
10. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике / В. Е. Гмурман. – Москва : Высшая
2000 ; Москва : Высшее образование, 2009. – 479 с. – Серия «Основы наук».
11. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.
пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – Москва : Высшее образование, 2008. –
479 с. – Серия «Основы наук».
12. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математиче-
ской статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. –
Айрис-Пресс, 2008. – 288 с. – Серия «Высшее образование».
«Высшее образование».
Е. Л. Теория вероятностей. Случайные события : учеб.
Е. Л. Слайд-конспект лекций по теории вероятностей
школа,
Москва :
98
X
ПРИЛОЖЕНИЕ
Задачи по теме «Случайные величины в РГЗ»
Вариант расчетно-графического задания по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» включает в себя шесть задач по теории вероятностей и две задачи по математической статистике. Теме «Случайные величины» посвящены задача № 5 (дискретные случайные величины) и задача
№ 6 (непрерывные случайные величины). В качестве примера приведем задачи
из варианта
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, определить функцию
распределения, математическое ожидание и дисперсию данной дискретной
случайной величины.
Случайная величина Х задана следующей функцией распределения:
№ 30 РГЗ.
Тема 5. Дискретные случайные величины,
закон распределения вероятностей
Тема 6. Непрерывные случайные величины,
функция и плотность распределения
0, / 2;
() (4 4 ), /2 /2;
Fx c x x x
Требуется найти для
1, / 2 .
постоянный параметр
плотность распределения вероятностей случайной величины
математическое ожидание и дисперсию случайной величины
вероятность попадания случайной величины
x
22
x
1:
;c
99
в интервал
;X
;X
/4, /4 .
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................... 3
Тема 1. Законы распределения случайных величин ....................................... 4
1.1. Понятие закона распределения вероятностей СВ ....................................... 4
1.2. Функция распределения ................................................................................ 8
1.3. Плотность распределения СВ ..................................................................... 12
Задачи (с решениями) ......................................................................................... 14
Упражнения ......................................................................................................... 22
Домашнее задание .............................................................................................. 24
Тема 2. Числовые характеристики случайных величин .............................. 25
2.1. Виды числовых характеристик СВ ............................................................. 25
2.2. Математическое ожидание СВ ................................................................... 25
2.3. Дисперсия СВ ............................................................................................... 28
2.4. Среднее квадратическое отклонение СВ ................................................... 29
2.5. Одинаково распределенные взаимно независимые СВ ............................ 30
2.6. Мода и медиана СВ ...................................................................................... 31
2.7. Начальные и центральные моменты СВ .................................................... 32
2.8. Моменты высших порядков ........................................................................ 33
2.9. Квантили ....................................................................................................... 34
2.10. Производящая функция СВ ...................................................................... 35
Задачи (с решениями) ............................................................................................ 36
Упражнения ............................................................................................................ 41
Домашнее задание ................................................................................................. 43
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]