Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из вели-
M
D
M
чин по условию равно
,a получим
[] .
Xa
na
n
2. Дисперсия среднего арифметического
ных взаимно независимых СВ в
n раз меньше дисперсии
n одинаково распределен-
D
каждой из
величин:
[] .
DXn
Доказательство:
ХХ Х DX DX DX
[] .
DX D
12 1 2
nn
n
[] [ ] [ ]
2
n
Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию
равна
D
, получим
DX
nD D
[] .
2
n
n
3. СКО среднего арифметического n одинаково распределенных
взаимно независимых случайных величин в
каждой из величин:
[] .X
раз меньше СКО
n
n
Доказательство:
поскольку
nD D
[] ,
DX
2
n
то
[] [] .
XDX
n
DD
n
nn
2.6. Мода и медиана СВ
Модой ДСВ X называется ее значение, принимаемое с наибольшей
вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями; мода обозначается через
плотности
().fx
0
Для НСВ
.MX
– точка максимума (локального)
X
0
31
Если мода единственная, то распределение СВ называется унимо-
M
x
X
x
x
дальным, в противном случае – полимодальным.
Медианой
{}{}0,5,
торого
PX x PX x
жется ли СВ
НСВ X называется такое ее значение
X
e
pp
меньше
Рис. 2.1. Полимодальное распределение СВ
или больше
p
т. е. одинаково вероятно, ока-
(рис. 2.1).
p
p
Для ДСВ медиана обычно не определяется.
2.7. Начальные и центральные моменты СВ
,
для ко-
Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий – моментов СВ.
k
Начальным моментом порядка
пени этой величины; обозначается через
Таким образом, по определению
Для ДСВ начальный момент выражается суммой
НСВ – интегралом
В частности,
axfxdx
k
1
k
() .
[],aMX
2
СВ X называется МО k-й сте-
.ka
k
k
[].
axp
kii
i
aMX
2
[].aMX
32
k
,
а для
Центральным моментом порядка k СВ Х называется МО вели-
D
x
x
A
Х
Х
k
чины
XMX
Таким образом, по определению
В частности,
есть дисперсия; а
[];
обозначается через
2
1
.k
k
MX M X
k
т. е. центральный момент второго порядка
[],
X
[] 0MX MX
(см. свойство 4 МО).
[].
Для ДСВ
MX p
ki i
i
k
[] ;
для НСВ
k
MX fxdx
k
[] () .
Формулы, связывающие начальные и центральные моменты:
2324
221 33 12 1 43 13 12 1
,32,463.aa aaaa aaaaaa
Моменты более высоких порядков применяются редко.
2.8. Моменты высших порядков
Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты третьего и четвертого порядков, называемые соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.
Коэффициентом асимметрии («скошенности»)
СВ X называ-
ется величина
[]
3
.
,M
0
M
0
Если
а если
3
MX MX
A
332
[]
X
то кривая распределения более полога справа от
0,A
то кривая распределения более полога слева от
0,A
[]
DX
(рис. 2.2).
33
Рис. 2.2. Влияние коэффициента асимметрии на вид плотности распределения
E
p
Х
Коэффициентом эксцесса («островершинности») E СВ Х назы-
вается величина
Величина
4
E
42
[]
X
характеризует островершинность или плосковерши-
MX MX
33.
[]
DX
ность распределения. Для нормального закона распределения
остальные распределения сравниваются с нормальным: если
0;E
то они более островершинные, а плосковершинные распределе-
0,E
ния имеют
Рис. 2.3. Влияние коэффициента эксцесса на вид плотности
0E
(рис. 2.3).
распределения
[]
4
0A
и
2.9. Квантили
Кроме рассмотренных выше числовых характеристик СВ в прило-
жениях используются так называемые квантили.
Квантилью уровня
() ,
FX p
Xp
где p – некоторое число
СВ
называется решение уравнения
01.p
34
Квантили
x
x
Х
Х
тиль, медиана
,x
0,25
()
M Х x
e
0,5
и
0,5
имеют свои названия: нижняя кван-
0,75
и верхняя квантиль соответственно. Они
делят числовую прямую на четыре части, вероятности попадания в которые равна 0,25 (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Нижняя квантиль, медиана и верхняя квантиль
2.10. Производящая функция СВ
Нахождение важнейших числовых характеристик ДСВ с целыми неотрицательными значениями удобно выполнять с помощью производящих функций.
Пусть ДСВ
,, { },
pp p PX k
12
k
принимает значения
Производящей функцией для ДСВ
() ,
zpzppzpz
z – произвольный параметр,
где
Дифференцируя по
Тогда
(1) [ ] ,
kp M X a
0
k
k
0
k
z производящую функцию, получим
() .
k
1
k
01.z
zkpz
k
[] (1).aMX
0, 1, 2, ,, k
называется функция вида
01 2
0
1
k
т. е.
1
k
(1)
с вероятностями
2
35
Взяв вторую производную функции
Х
()z
и положив в ней
лучим
() ( 1) ; (1) ,
zkkpz kpkpaa
000
kkk
22
k
kkk
1,z
21
по-
где
1
и
a
1
[],aMX
– начальные моменты первого и второго порядков
a
2
2
2
[].aMX
Тогда
[] [ ] [] ( )DX MX MXaa aa aa
22 2 2
(1) (1) (1) ,
21 21 11
2
т. е.
[ ] (1) (1) (1) .DX
2
(2)
Полученные формулы (1) и (2) используются для нахождения МО и
дисперсии рассматриваемого распределения.
Задачи (с решениями)
Числовые характеристики ДСВ
Пример 2.2
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины
заданной законом распределения:
,Х
Х –4 6 10
а)
Р 0,2 0,3 0,5
б)
Х 0,21 0,54 0,61
Р 0,1 0,5 0,4
Решение
а) Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений
[ ] 0,21 0,1 0,54 0,5 0,61 0,4 0,535.MX
б)
на их вероятности:
[ ] 40,2 60,3 100,5 6.MX
36
Пример 2.3
Z
Х
x
X
X
Найти математическое ожидание случайной величины
вестны математические ожидания
а)
б)
2,Z Х Y
34,Z Х Y
[]5,MX
[]2,MX
[] 3;MY
[] 6.MY
и :Y
если из-
,
Решение
Используя свойства математического ожидания (математическое
ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых;
постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим следующие результаты:
[] [ ] [ ] [ ] ;[] []22252311MZ Х Y ХХMMMMMYY
а)
б)
.[] [ ] 3 [ ]34 4 324630[]M ХMMMZYХ Y
Пример 2.4
Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины
:X
1, 0, 1,xxx
123
этой величины и ее квадрата:
ности
,p
1
соответствующие возможным значениям
p
2,p3
а также известны математические ожидания
[]0,1,MX
2[]0,9.MX Найти вероят-
xx
,,.
123
Решение
Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений
равна единице, а также принимая во внимание, что
2
[]0,9,MX
составим следующую систему трех линейных уравнений
[]0,1,MX
относительно неизвестных вероятностей:
123
(1) 0 1 0,1;ppp
123
22 2
(1) 0 1 0,9.ppp
123
Решив эту систему, найдем искомые вероятности:
0,5.p
3
1;pp p
0,4; 0,1;pp
12
Пример 2.5
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины
– числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых
37
на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний
р
X
p
равно двадцати.
Решение
[] ,MX n
Воспользуемся формулой
ний (бросаний пяти костей);
события (на двух костях из пяти появится по одному очку) в
ниях;
– вероятность появления рассматриваемого события в одном
где n – общее число испыта-
– число появлений интересующего нас
n испыта-
испытании.
20.n
По условию
Остается найти р – вероятность того, что на гра-
нях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления од-
ного очка на грани одной кости составляет
1
. Следовательно, вероят-
6
ность непоявления
q :
1
15
66
23
15 545 5
р PC
55
2
2.
66
34
54
126 36
Искомое математическое ожидание:
4
[ ] 20 3.
MX nр
5
36
4
Пример 2.6
Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины
32,Z Х Y
если известно, что
[]5,DX
[] 6.DY
Решение
Так как величины Х и Y независимы, то независимы также и вели-
3Х и 2.Y Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы неза-
чины
висимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим
[] [ ] [ ] [ ] .32 3 2 9 4 95[] [ 46 69]ZD Х Y Х Y ХDDDYDD
38
Пример 2.7
A
A
f
M
Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события
появления событий
в пяти независимых испытаниях, если вероятность
в каждом испытании равна 0,2.
Решение
Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
(с одинаковой вероятностью появления события в каждом испыта-
нии) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:
По условию
5; 0,2; 1 0, 2 0,8.np q
Искомая дисперсия
[] .DX npq
[] 50,20,80,8.D X npq
Числовые характеристики НСВ
Пример 2.8
() 2
Случайная величина X задана плотностью распределения
в интервале
(0,1);
вне этого интервала
ожидание величины
.X
() 0.fx
Найти математическое
xx
Решение
b
Используем формулу
Подставив
0, 1, ( ) 2 ,abfxx
[] () .
Xxfxdx
a
получим
1
MX xxdx x
[]2 .
0
1
22
3
33
0
Пример 2.9
Найти математическое ожидание случайной величины ,X заданной
функцией распределения
0, 0;
x
() , 0 4;
Fx x
x
4
0, 4.
x
39
Решение
f
Найдем плотность распределения величины :X
0, 0;
x
() () , 0 4;
fx F x x
1
4
0, 4.
x
Найдем искомое математическое ожидание:
44
MX xfxdx x dx
[] () 2.
00
Пример 2.10
Случайная величина X в интервале
пределения
1
xx вне этого интервала
() sin ;
(0, )
2
сию
.X
Решение
Найдем дисперсию по формуле
Подставив в эту формулу
метрична относительно
MX
ab fx x
,
[] () [].
DX xfxdx M X
[]
2
0, , ( ) sin ,
2
1
4
задана плотностью рас-
() 0.fx
b
2
a
Найти диспер-
2
кривая распределения сим-
1
получим
2
1
[] sin .
DX x xdx
2
22
0
2
(3)
Дважды интегрируя по частям, найдем
22
sin 4.xxdx
0
40
(4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]