Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Часть 2
Под редакцией профессора Н.М. Атарова
2-е издание, переработанное и дополненное
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ
по образованию в области строительства в качестве учебного пособия
для студентов, обучающихся по направлению 270800 «Строительство»,
и студентов, обучающихся по программе специалитета
по специальности 271101 «Строительство уникальных
зданий и сооружений» (29.04.2013 г., № 102-15/774)
М о с к в а 2013
УДК 539.3
ББК 30.121
С 64
Р е ц е н з е н т ы:
доктор технических наук, профессор С.Н.
Кривошапко,
заведующий кафедрой прочности материалов и конструкций
Российского университета дружбы народов;
член-корреспондент РААСН, доктор технических наук,
профессор Н.Н. Шапошников
(Московский государственный университет путей сообщения)
А в т о р ы:
Н.М. Атаров, Г.С. Варданян, А.А. Горшков, А.Н. Леонтьев
С 64
Сопротивление материалов : учебное пособие : в 3 ч. Ч. 2 /
Н.М. Атаров [и др.] ; под ред. Н.М. Атарова ; М-во образования и науки
Росс. Федерации, ФГБОУ ВПО «Моск. гос. строит. ун-т». Москва :
МГСУ, 2013. 98 с.
ISBN 978-5-7264-0737-1
ISBN 978-5-7264-0738-8
В части 2 учебного пособия по курсу «Сопротивление материалов с основами строительной механики и теории упругости, пластичности и ползучести» рассмотрены следующие темы: определение перемещений в балках и ра-
мах при прямом изгибе; расчет статически неопределимых балок и рам с помощью метода сил; расчет балок на упругом основании; кручение стержней;
сложное с
гиб стержней. Подробно рассмотрены примеры решения задач.
Пособие окажет помощь студентам при выполнении расчетно-
графических работ и при подготовке к различным видам контроля знаний
(защита расчетно-графических работ, компьютерное тестирование, зачеты и
экзамены).
Для студентов, обучающихся по направлению 270800 «Строительство»
(бакалавры, специалисты и магистры).
противление стержней; устойчивость и продольно-поперечный из-
о
УДК 539.3
ББК 30.121
ISBN 978-5-7264-0737-1
ISBN 978-5-7264-0738-8 © ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2013
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие предназначено для оказания помощи студентам строительных специальностей вузов при выполнении расчетно-графических работ
по сопротивлению материалов, основам строительной механики, теории
упругости и пластичности.
Пособие содержит 14 глав по темам расчетно-графических работ. В
каждой главе дано краткое изложение теории, приведены основные формулы и уравнения, рассмотрены примеры решения задач, аналогичных задачам в расчетно-графических работах. В конце каждой части пособия
приведен сортамент стальных прокатных стержней — уголков, двутавров
и швеллеров.
В части 2 пособия содержатся главы, соответствующие учебному материалу 2-го семестра изучения сопротивления материалов — определение перемещений в балках и рамах при прямом изгибе, расчет статически
неопределимых балок и рам с помощью метода сил, расчет балок на упругом основании, кручение стержней, сложное сопротивление стержней, устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней.
В пособии использована система единиц СИ, а также традиционные
для курса сопротивления материалов обозначения: сила P, площадь поперечного сечения стержня F. Соотношения между основными механическими величинами в единицах СИ и в технической системе приведены в
следующей таблице:
Наименование
величины
Сила, нагрузка, вес Ньютон Н
Линейная нагрузка Ньютон на метр Н/м
Момент силы,
момент пары сил
Напряжение, давление Паскаль Па
Наименование Обозначение
Ньютон-метр
Е д и н и ц а
Н⋅м
Соотношение
единиц
1 Н ≈ 0,1 кгс
1 кН ≈ 0,1 тс
1 Н/м ≈ 0,1 кгс/м
1 кН/м ≈ 0,1 тс/м
1 Н⋅м ≈ 0,1 кгс⋅м
1 кН⋅м ≈ 0,1 тс⋅м
1 Па ≈ 0,1 кгс/м
1 МПа ≈ 10 кгс/см
2
2
При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы
измерения используется также кН/см
2
(1 кН/см2 = 10 МПа).
3
ϕ
xvϕ
ϕ
Г л а в а 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
И РАМАХ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ
1.1. Основные определения и формулы
При изгибе ось балки искривляется (рис. 1.1), что сопровождается по-
явлением прогибов
()
xv и углов поворота поперечных сечений ϕ(х) =
′
()
xv
которые принимаются равными углам наклона касательной к изогнутой
оси. Эти величины называются линейными и угловыми перемещениями.
Прогибы считаются положи-
q
тельными, если они происходят в
0
0
положительном направлении оси
0у. Углы поворота считаются по-
ложительными при повороте каса-
Рис. 1.1
тельной к изогнутой оси по ходу
часовой стрелки.
Для определения законов изменения прогибов балок
()
xv при прямом
изгибе используются дифференциальные уравнения второго порядка
′′
() ()
v (1.1)
xMxEJ −=
или четвёртого порядка
IV
() ()
v
, (1.2)
xqxEJ =
где EJ — жёсткость балки при изгибе; М(х) — изгибающий момент в поперечном сечении; q(x) — распределённая поперечная нагрузка.
,
При определении перемещений с помощью метода начальных пара-
метров используется выражение
2
−
axM
2
EJEJEJ
−
3
(1.3)
−
0
ax
EJ
3
xQxM
1
4
4
q
−
5
ax
1
()
−
ax
5
EJ
4!4!3!
2
() ()
xx vv
00
()
−
axP
−
EJ
Здесь
,
v
0
,
M
0
0
3
3
,
0
()
q
+
4
— начальные параметры, представляющие со-
Q
0
()
−−ϕΔ+−−ϕ+=
2
4
6
2!3!2!
.
бой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начальном сечении х = 0, и Δϕ — взаимный угол поворота сечений в про-
межуточном шарнире. Формула (1.3) соответствует воздействиям и участкам, показанным на рис. 1.2.
Неизвестные в начале расчёта начальные параметры и величины Δϕ
подлежат определению из соответствующих граничных условий.
4
Общим методом определения перемещений в стержневых системах
Р
М
x
M
M
с.
x
является метод Мора. Метод Мора сводится к вычислению интегралов,
которые представляют собой работу единичных сил
моментов
M
0
0
Q
0
y
1
на искомых перемещениях.
1=
M
a
1
a
2
a
3
P
2
3 4 5
q
a
4
или единичных
1=
a
5
6
Рис. 1.2
Для балок и рам используется формула Мора, содержащая изгибаю-
щие моменты:
MМ
EJ
Pi
ds
. (1.4)
Здесь
=Δ
iP
M
— изгибающий момент от действия единичной силы или
i
k
s
k
единичного момента, прикладываемых по направлению искомого перемещения;
M — изгибающий момент от действия заданных нагрузок. При
P
определении линейных перемещений прикладывается единичная сила, а
при определении угловых перемещений — единичный момент.
Для балок и стержневых систем,
y
состоящих из прямых стержней с постоянной жесткостью EJ, вычисление
С
интегралов Мора можно произвести с
помощью правила Верещагина (правило «перемножения» эпюр) по формуле
MМ
EJ
Pi
ds
=Δ
iP
где у
M
С
под центром тяжести площади
i
k
s
k
— ордината в линейной эпюре
криволинейной эпюры
1
=
yEJΩ
M (рис. 1.3).
P
C
, (1.5)
P
Ω
С
О
a
P
b
Ри
l
1.3
y
С
Р
i
x
При использовании формулы (1.5) сложную эпюру надо разбить на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести.
Наиболее часто элементами разбиения являются трапеции и квадратные
параболы. Площадь квадратной параболы на участке длиной l с нулевыми
начальным и конечным значениями определяется по формуле
3
ql
=Ω
q
, (1.6)
12
где q — интенсивность равномерно распределенной нагрузки.
5
Если эпюры
МРМ
M
М
х
Н
П
х
M и
P
М
на участке длиной l представляют собой тра-
i
пеции (рис. 1.4), то формулу (1.5) можно привести к следующему виду
(формула «перемножения» трапеций):
a
b
Δ =
iP
l
(2ac + 2bd + ad + bc). (1.7)
EJ
6
Если интеграл Мора имеет положительное
c
а
)
б
)
в
)
10
г
)
11,4
д
)
16,4
О
y
l
Рис. 1.4
= 10 кН м
1 м
21,4
−
Перегиб
·
А
RА=25кН
1 м
1
25
−
Излом
22,2
d
1.2. Примеры решения задач
Р
= 15 кН
С
3 м
2 3
3
−
х
0
+
10
М
max
+
=20
+
15
+
ϕ
max
32,4
0,6
19,8
значение, то направление перемещения совпадает
с направлением действия соответствующих еди-
i
ничной силы или единичного момента. В противном случае перемещение противоположно этому
направлению.
Задача 1.1
=10 кН м
0
ерегиб
v
max
−
= 2 м
−
/
В
RB=20 к
20
(кН)
(кН·м)
26,1
EJ
EJ
Q
Для шарнирно опертой балки
(рис. 1.5, а) построить эпюры Q и
М и выполнить подбор сечения из
условия прочности в виде стального прокатного двутавра. Определить с помощью метода начальных параметров и метода Мора
значения прогибов и углов поворота в характерных сечениях балки и
построить эпюры
v и
лить числовые значения
ϕ
. Опреде-
v и
расчетах принять R = 21 кН/см
Е = 2,1⋅104 кН/см2,
γ
= 1,2 и
f
Определяем опорные реакции:
ΣМ
= 0, 10 – 15⋅1–10⋅3⋅2,5 +4RB = 0,
А
ϕ
R
= 20 кН;
B
ΣМВ = 0; 10+15⋅3+10⋅3⋅1,5 – 4RА = 0,
R
= 25 кН;
А
ΣY = 0 (проверка), 15 +10⋅3–25– 20 =
v
= 45 – 45 = 0.
Определяем значения изгибающих моментов и поперечных сил в
характерных сечениях балки и
строим эпюры Q и М (рис. 1.5, б, в).
ϕ
γ
= 0,9.
с
. В
2
,
Рис. 1.5
6
Определяем экстремальное значение М
γ
ϕ
ϕ
М1М
в пролете. Из пропорции нахо-
max
дим положение сечения, где действует максимальный момент:
1020
=
3
max
, х
= 2 м;
xx −
00
0
м.кН 201210220
⋅=⋅⋅−⋅==CMМ
Определяем расчетное значение наибольшего изгибающего момента:
.мкН242120
= ,МM
н
fP
⋅=⋅=
Требуемый момент сопротивления сечения равен
М
γ≥R
c
P
W
z
По сортаменту принимаем:
=
I 18, W
2
1024
⋅
219,0
⋅
= 143 см
z
3
=
.см127
3
, J
= 1290 см
z
4
.
Составим с помощью формулы (1.3) выражение для прогиба балки в
пределах трех характерных участков:
()
!3!2
0
EJ
3
xQ
1
()
A
−−−ϕ+= vv
!3
2
xM
xx
00
0
EJ
xR
EJ
3
1
−
2
()()
2
−
xΡ
+
!3
EJ
+
2
−
xq
!4
EJ
Начальные параметры равны:
43
.
3
х = 0,
M = –10 кН⋅м,
0
Q = 0.
0
Для определения неизвестных начальных параметров
зуем граничные условия
2
⋅
110
0
=
;
⋅
510
⋅
425
−
+
6
x vv
1 ,м1
+ϕ⋅+==EJx vv
00
2
+ϕ+==
5 ,м5
00
2
Решаем систему алгебраических уравнений:
5
EJ
,
42,40
.
v
0
4,16
−=
,
EJ
а
)
Р
=1
v
v
−=ϕ+
00
5
EJ
=ϕ+
00
В качестве проверки вычислим
значения
v и
0
с помощью метода
0
Мора. Построим единичные эпюры
v и
0
4332
⋅
315
⋅
310
+
6
24
EJEJEJEJ
0
=
исполь-
0
.
,411
EJ
.
0,75
=ϕ
0
1
изгибающих моментов (рис. 1.6, а, б) и
вычислим интегралы Мора с помощью
правила Верещагина, т.е. «перемножим» единичные эпюры с эпюрой моментов от действия заданных нагрузок
М =
M :
P
7
б
)
М
=1
1
1 м 1 м
0,75
2
3 м
Рис. 1.6
l
ϕ
EJ
x
EJ
ЕJ
x
MM
1
P
v
0
0
dx
EJ
EJ
11
2
1
)
11575010
315
2
l
MM
2
P
0
EJ
0
dx
1
EJ
1
)
11575,010
2
1
1011
(
,
+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅==
1575021012
6
3
⋅
1
12
310
2
2
−⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅+
750
3
⋅⋅
,,,
750
−=
EJ
,
3516
;
1
(
1110
−⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅−==ϕ
75,01521102
6
3
1
2
315
75,0
+⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅−
3
⋅
12
310
2
75,0
⋅⋅
=
35,11
.
EJ
Результаты определения
v
и
0
с помощью метода начальных па-
0
раметров и метода Мора практически совпали. Запишем окончательные
()
выражения для
()
xv
() ()
1
EJ
′
=ϕ
xx v
Вычислим значения
,0
x
,м2
x
,м3
xv и ϕ(х):
2
1
EJ
10
x,,
411416
x,
10411
−++−=
!2
1
−+=
1
v и ϕ в характерных сечениях балки:
,x416
−=== vv
0
0 ,м1 == v
(граничное условие),
1
EJ
1
EJ
1
EJ
1
,
EJ
,,
,
210411
,,
31011,4
2411416
+⋅+−== v
−⋅+=ϕ
3411416
+⋅+−== v
−⋅+=ϕ
() () ()
() () ()
−
!2
3
−
125
+
!3
125
2
2
+
2
0
−
215
xxxx
+
!3
−
215
−
xxx
+
!2
4,11
=ϕ=ϕ
;
!3
1
210
⋅
−
2
2
⋅
125
2
⋅
,
918
=
EJ
310
−
2
225
⋅
115
⋅
+
2
2
()
32
125
⋅
=
6
;
225
⋅
6
+
EJ
115
⋅
+
6
322
110
⋅
6
1104,11
=⋅+=ϕ
,
222
,
⋅
+
24
0,6
=
;
EJEJ
43
−
!4
210
210
32
;
3
.
3
4,21
;
4332
110
,
432
=
EJ
,
0 ,м5 == v
(граничное условие),
1
51011,4
⋅
425
−⋅+=ϕ
2
⋅
315
+
2
В качестве проверки вычислим некоторые значения
метода Мора:
8
322
⋅
310
+
6
26,1
−=
.
EJEJ
v и ϕ с помощью
l
М
R
B
М4М
MM
P
2
() ()
v
5
() ()
3
EJ
MM
4
EJ
dx
2
315
750
3
P
dx
0
1
2
l
0
3
()
,
6
EJ
+⋅⋅+
EJ
11
6
3
1
310
⋅
⋅
12
11
6
115250152
2
−⋅+⋅⋅−
,,
750
=
3
⋅
+
310
⋅
12
2
EJ
2501
75010750152
+⋅−⋅⋅==
,,
,
1922
;
25010250152
,,
−⋅+⋅⋅−==ϕ
,,
1526
−=
EJ
Соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 1.7, а, б.
Результаты вычислений практически
совпали. Строим эпюры
v и ϕ, отметив
а
)
Р
=1
А
их особенности (рис. 1.5, г, д). Ординаты эпюр умножены на жесткость ЕJ.
В сечении, где Q обращается в
R
= 0,75
A
0,75
нуль, на эпюре ϕ имеется точка пере-
б
)
гиба. В сечении, где М = 0 (участок 2),
на эпюре ϕ имеется экстремум ϕ
а на эпюре
v — точка перегиба. В се-
max
,
0,25
.
В
3
= 0 2,5
1
=1
чении, где ϕ = 0 (участок 3), прогиб
v
имеет экстремальное значение
max
.
В пределах первого участка ϕ из-
1 м 1 м
Рис. 1.7
3 м
меняется по линейному закону. В сечении В касательная к эпюре ϕ параллельна оси.
Определим числовые значения
v и ϕ. Размерность длины в числителе
переведем в сантиметры:
()
3
==v
EJ
,
,
()
5 −=−=
EJ
,
⋅
4
,
12901012
⋅⋅
,
⋅
−=−=ϕ
,
=
2
2
()
10126126
4
12901012
⋅⋅
;см21
,
о
.,,
550рад009630
3
2
()
10432432
Задача 1.2
Для балки с промежуточным шарниром (рис. 1.8, а) определить значения поперечных сил, изгибающих моментов, прогибов и углов поворота
в характерных сечениях и построить эпюры этих величин.
Разбиваем балку на несомую ВС и несущую АВ части (балки).
Производим статический расчет несомой балки ВС (рис. 1.8, б):
= 0, –14⋅3⋅1,5 – 12 + 5RС = 0, RС = 15 кН;
ΣМ
В
= 0, 14⋅3⋅3,5 – 12 – 5RВ = 0, RВ = 27 кН;
ΣМ
С
ΣY = 0 (проверка), 14⋅3 – 27 – 15 = 42 – 42 = 0.
9
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
MQx
П
q
/
М
П
а
)
А
О
у
б
)
А
в
)
В
2 м 3 м
1
В
= 14 кН м
Р
=15 кН
2
14кН м/
R
=27 кН
B
27 15=12 кН
−
B
= 1,93 м
0
3
−
x
0
2 м
3
RC=15 кН
М
=12 кНм·
С
=12 кН м
С
15
Эпюры Q и М приве-
дены на рис. 1.8, в, г. Опре-
х
деляем экстремальное зна-
чение изгибающего момента
·
в пролете ВС:
1527
=
3
max
,
xx −
00
1,9327
х
= 1,93 м;
0
−⋅=М
⋅=
2
⋅
1,9314
2
=
.мкН0426,
Запишем выражение для
прогиба балки с помощью ме-
12
27
г
)
24
д
)
е
)
32
Излом
24
Излом
35,1
M
max
=
26,04
23,5
ерегиб
ϕ
18
min
(кН)
12
(кН м)
29,5
EJ
ерегиб
EJ
тода начальных параметров:
2
xM
()
vv
3
xQ
0
!3
·
EJ
1
x
−
Ρ
()
−
!3
EJ
xq
()
−
−
!4
ϕ
EJ
xx
00
В
2
+
4
5
.
3
0
−−ϕ+=
EJ
!2
2
x
()
xq
()
−−ϕΔ+−
43
2
−
−
!4
EJ
2
Начальные параметры
равны: х = 0,
v
M = – 24 кН⋅м, 0Q = 12 кН.
0
v = 0,
0
= 0,
0
Для определения неиз-
62,9
x
== v
м, 7
⋅
2
Рис. 1.8
724
−
⋅
712
5
6
⋅
−ϕΔ+
6
В качестве проверки определим значение
Мора. Поскольку
Δ представляет собой взаимное угловое перемещение
B
515
вестного взаимного угла поворота сечений
Δ в про-
B
межуточном шарнире используем граничное условие:
44332
+
24
⋅
514
Δ с помощью метода
−
24
B
⋅
214
,0
EJEJEJEJEJ
=ϕΔ=
BВ
EJ
,
111
.
(угол поворота правого сечения в шарнире В относительно левого сечения), приложим в сечении В парный единичный момент. Соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 1.9.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]