Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие
.pdf
сечение х = 70 см,
x
М
,
B
сечение х = 40 см,
сечение х = 20 см,
сечение х = 0,
a
)
M
M
M
M
M
0,2 кН⋅м;
=
к
пр
0,2 кН⋅м;
=
к
лев
0,2 – 0,5 = – 0,3 кН⋅м;
=
к
– 0,3 кН⋅м;
=
к
– 0,3 + 2·0,2 = 0,1 кН⋅м.
=
к
МА = 0,1 кН⋅м
M
= кНм0,1
А
б
)
в
)
y
0,1
A
z
кН⋅м
кНм
m
=2
м
м
12
20 см
20 см 3 см0
a
0,1
20-
a
0,085
D
0,5кНм
0,5 кН⋅м
0,3
D
1
0, кНм2
0,2 кН⋅м
3
0,2
к
(кН м)
·
2,38
×103 (рад)
0,679
72
2
Рис. 4.4
В пределах 2-го и 3-го участков крутящий момент имеет постоянное
значение, а на границе этих участков (сечение х = 40 см) имеет место ска-
чок крутящего момента на величину 0,5 кН⋅м. В пределах 1-го участка
крутящий момент изменяется по линейному закону. Эпюра крутящих моментов приведена на рис. 4.4, б. Реактивный момент в закреплённом сече-
нии равен М
= 0,1 кН⋅м.
А
Выполним подбор сечения стержня из условий прочности и жёсткости. Наиболее опасными являются 2-й и 3-й участки. Определим требуемые диаметры стержня по формулам (4.16) и (4.18).
Участок 2
Из условия прочности получаем
2
103,016
⋅⋅
= 2,67 см.
8
⋅π
D
M
16
к
3
≥
τπ
3
=
][
51
Из условия жесткости находим
ϕ
M
2
103.032
⋅⋅
1075,1108,0
⋅⋅⋅⋅π
D
32
M
к
4
ϕ
π≥G
4
=
′
][
= 3,84 см.
44
−
Участок 3
Из условия прочности получаем
2
102,016
3
D = 2,34 см,
≥
1
⋅⋅
8
⋅π
D
D
1
k
34,2
==
= 2,92 см.
8,0
Из условия жесткости:
2
102,032
4
≥D
1
⋅⋅
= 3,47 см,
44
−
1075,1108,0
⋅⋅⋅⋅π
47,3
=D
= 4,34 см.
8,0
Принимаем с округлением бóльшие размеры
D = 4,4 см, D
= 3,5 см.
1
Определим геометрические характеристики поперечных сечений
стержня и величины наибольших касательных напряжений.
32
М
⋅π
32
44
4,4
⋅π
=
=
32
2
103,0
к
==τ
p
⋅
8,1
=
7,16
4
8,36
см
,
W
p
кH/см2 < [τ] = 8 кH/см
⋅π=D
=
16
2
⋅π
16
.
33
4,4
=
7,16
см
3
,
4
5,3
=
2
102,0
⋅
=
4
7,14
см
,
38,2
кH/см2 < [τ] = 8 кH/см
W
=
p
42,8
⋅π
16
3
5,3
42,8
=
см
2
.
3
,
Участок 2
π=D
J
р
нб
W
Участок 3
=
J
p
=τ
нб
Условие прочности стержня выполняется. Построим эпюры касательных напряжений в сечениях на втором и третьем участках (рис. 4.5, а, б).
а) участок 2 б) участок 3
= 0,3кНм
к
1,8
D
см=4,4
Мк = 0,3 кН⋅м
(кН см )/
1,8
2
Рис. 4.5
M
= 0,2кНм
Мк = 0,2 кН⋅м
к
2,38
D1 35 см=,
2,38
(кН см )/
2
Определим углы поворота сечений стержня:
сечение х = 0,
= 0 (сечение закреплено);
0
сечение х = 20 см,
52
ср
lМ
⋅
к
+ϕ=ϕ
01
GJ
−=
p
сечение х = 40 см,
lМ
GJ
к
p
12
2
20100,1
⋅⋅
4
36,8100,8
⋅⋅
2
20100,3
,
3
106790
−⋅−=+ϕ=ϕ
⋅⋅
4
36,8100,8
⋅⋅
−
3
рад
−=⋅−=
3
−−
;
0390,1090,67
−=⋅−=
;0,156рад102,72
lM
GJ
к
p
23
l
3
102,72
+⋅−=+ϕ=ϕ=ϕ
2
30100,2
⋅⋅
4
14,7100,8
⋅⋅
3
−−
0,136рад102,38
=⋅=
Сечения, соответствующие границам участков, поворачиваются по
ходу часовой стрелки, а свободное торцевое сечение — против хода часовой стрелки.
Построим эпюру углов закручивания стержня (см. рис. 4.4, в). В пределах 1-го участка углы закручивания изменяются по закону квадратной
параболы, а в пределах 2-го и 3-го участков — по линейному закону. В сечении на 1-м участке, где М
ϕ
. Находим положение этого сечения из подобия треугольников:
max
Экстремальное значение ϕ
1
+ϕ=ϕ
0max
4
,,
⋅⋅
= 0, угол закручивания имеет экстремум
к
3,01,0
=
20
max
1
2
8361080
;
а = 5 см.
аа −
равно:
32
−
рад
0049010085051010
=⋅=⋅⋅⋅⋅
.,,,
Сечение х = 5 см поворачивается против хода часовой стрелки.
.
Задача 4.2
Для стального стержня ступенчато-постоянного сечения (сплошная
и трубчатая части), находящегося под действием показанных на рис. 4.6, а
скручивающих нагрузок, построить эпюру крутящих моментов. Выполнить
подбор сечения стержня из условий прочности и жёсткости. Построить
эпюры касательных напряжений в опасных сечениях стержня и эпюру углов
закручивания. В расчетах принять [τ] = 80 МПа = 8 кН/см
= 0,8·10
4
кН/см2, [ϕ'] = 1,2 град/м = 2,09·10−4 рад/см и k = D1/D = 0,7.
2
, G = 0,8⋅105 МПа =
Стержень является статически определимым. Определим значения
крутящих моментов в сечениях стержня:
сечение х = 90 см,
сечение х = 50 см,
сечение х = 25 см,
сечение х = 0,
M
M
M
M
M
0;
=
к
0,6·0,4 = 0,24 кН⋅м;
=
к
пр
0,24 кН⋅м;
=
к
лев
0,24 – 0,7= – 0,46 кН⋅м;
=
к
– 0,46 кН⋅м.
=
к
53
В пределах 1-го и 2-го участков стержня крутящий момент является
x
М
B
постоянным по величине. В сечении на границе этих участков крутящий
момент имеет скачок на величину М = 0,7 кН⋅м. В пределах 3-го участка
крутящий момент изменяется по линейному закону. Эпюра крутящих моментов приведена на рис. 4.6, б. Реактивный момент в закреплённом сече-
нии равен М
a
)
M
= кН м0,46
А
б
)
= 0,46 кН⋅м.
А
A
·
y
12
25 см
0,46
z
0,24
D
M
=0,7 кН м
·
m
25 см 40 см
2 см0 20 см
=0,6
3
D
1
кН м
·
м
0,12
D
к
(кН м)
·
в
)
24,8
Излом
51,9
04,
×103 (рад)
103(рад.)
Рис.4.6
Определим требуемый диаметр стержня из условий прочности и
жёсткости по формулам (4.16) и (4.18).
Участок 1
3
D
≥
4
≥
D
16
32
π
G
М
τπ
М
ϕ
2
1046,016
к
3
=
][
к
4
=
′
][
⋅⋅
= 3,08 см;
8
⋅π
2
1046,032
⋅⋅
=
−
44
1009,2108,0
⋅⋅⋅⋅π
09,4
см.
Участок 3 (сечение х = 50 см)
2
⋅⋅
1024,016
=
4
)7,01(8
2,72 см;
D
⋅
16kМ
3
≥
к
−τπ
3
=
4
)1]([
−⋅π
54
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
M
D
D
ϕ=ϕ
М
⋅⋅
1024,032
−
−⋅⋅⋅⋅π
=
444
)7,01(1009,2108,0
3,72 см.
D
32kGM
4
≥
π
к
′
−ϕ
4
=
4
)1]([
Принимаем с округлением больший диаметр D = 4,1 см и внутренний
диаметр трубчатой части D
= 0,7·4,1 = 2,9 см.
1
Определим геометрические характеристики поперечных сечений
стержня и значения наибольших касательных напряжений в опасных сечениях 1-го и 3-го участков. Проверим выполнение условий прочности и
жесткости.
Участок 1
=
J
p
нб
М
′
GJ
Участок 3
=
J
p
32
нб
М
′
GJ
М
W
π
М
W
⋅π
32
p
к
p
к
4
1,4
=
к
==τ
⋅
7,27
1046,0
4
см
,
2
3,4 кH/см2 < [τ] = 8 кH/см
=
W
=
p
5,13
2
⋅
==
p
4
⋅⋅
1046,0
=
7,27108,0
2,08·10
3
1,4
⋅π
=
16
−4
рад/см < ][
5,13
3
см
;
′
= 2,09·10
2
;
-4
рад/см.
44
=−
2
⋅
к
==τ
1024,0
2,37 кH/см2 < [τ] = 8 кH/см
=
8,20)9,21,4(
см
4
,
W
p
1,10
2
⋅
1024,0
1,44·10
==
p
4
⋅⋅
=
8,20108,0
−4
рад/см < ][
8,20
==
1,10
см
3
;
05,2
2
;
′
= 2,09·10
-4
рад/см.
Условия прочности и жесткости стержня выполняются. Эпюры касательных напряжений в опасных сечениях сплошной и трубчатой частей
приведены на рис. 4.7, а, б.
а) участок 1 б) участок 3
= 0, кНм46
34,
Мк = 0,46 кН⋅м
к
(кН см )/
34,
D
см=4,1
2
Рис.4.7
= 0,24 кН⋅м
M
= 0,24кНм
к
2,37
=,9 2 см
1
=4,1 см
2,37
(кН см )/
2
Определим углы поворота сечений стержня (углы закручивания):
сечение х = 0,
00=
А
(сечение закреплено);
сечение х = 25 см,
55
lМ
ϕ
ϕ
ϕ+ϕ=ϕ
к
0
01
GJ
p
−=+ϕ=ϕ
2
25100,46
⋅⋅
4
27,7100,8
⋅⋅
3
−
−=⋅−=
;0,297рад105,19
сечение х = 50 см,
lM
GJ
к
p
12
3
105,19
+⋅−=+ϕ=ϕ
2
25100,24
⋅⋅
4
27,7100,8
⋅⋅
3
−−
0,142рад102,48
−=⋅−=
;
сечение х = 90 см,
ср
lМ
GJ
к
p
23
3
102,48
+⋅−=+ϕ=ϕ
2
40100,12
⋅⋅
4
20,8100,8
⋅⋅
3
−−
0,023рад100,4
=⋅=
.
В пределах 1-го и 2-го участков углы закручивания стержня изменяются
по линейному закону, а в пределах 3-го участка — по закону квадратной параболы. Сечения, соответствующие границам участков, поворачиваются по
ходу часовой стрелки, а свободное торцевое сечение — против хода часовой
стрелки. Эпюра углов закручивания приведена на рис. 4.7, в. В сечении на
свободном торце к
асательная к эпюре ϕ параллельна к оси стержня (М
= 0).
к
Задача 4.3
Для стального стержня ступенчато-постоянного сечения, закрепленного на торцах и находящегося под действием показанных на рис. 4.8, а
скручивающих нагрузок, построить эпюру крутящих моментов. Выполнить
подбор сечения стержня из условий прочности и жесткости. Построить
эпюры касательных напряжений в опасных сечениях стержня и эпюру углов
закручивания. В расчетах принять M =0,1 кН
G=0,8
⋅
105МПа=0,8⋅104кН/см2, [ϕ'] =2 град/м=3,49·10−4рад/см и k=D1/D=0,75.
⋅
м, [τ] = 80 МПа = 8 кН/см2,
Составим уравнение равновесия стержня:
где M
0=ΣхМ , M
и МВ — реактивные моменты в закрепленных сечениях.
A
– M – 2M + MB = 0, MA + MB = 3M,
A
Имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Стержень является
один раз статически неопределимым и для его расчета надо использовать
условие равенства нулю взаимного угла поворота закрепленных торцевых
сечений
A
=
= 0.
B
Отбросим мысленно одно из закреплений, например, правое, и введем
в сечении В неизвестный момент Х = М
(рис. 4.8, б). Используем прин-
В
цип независимости действия сил и приравняем к нулю угол поворота правого торцевого сечения от совместного действия заданных моментов и неизвестного момента Х:
0=
BXBMВ
Поскольку соотношение диаметров стержня задано k = D
.
/D (D1 = kD),
1
жесткости стержня на участках 1, 2 и на участке 3 соответственно равны
4
k
GJ
и GJp. Произведя расчет статически определимого стержня (см. рис.
p
4.8, б) на действие заданных моментов и искомого момента X = M
56
, получим
B
ВМ
x
x
М
BBМ
М
M
3040
⋅
М
−=ϕ
GJk
a
)
⋅
M
−
GJk
7515302
M
−=
444
D
1
;
GJk
ppp
BX
⋅
X
=ϕ
GJ
D
X
⋅
X
+
GJk
ppp
30
.
40(
)
+=
44
kGJ
M
б
)
в
)
0,124
А
A
M
2
В
y
z
1
2
3
15 см 15 см 4 см0
z
A
M
4
kGJ
p
=0,1 кН м
·
2=0, кН м
M
2
·
GJ
X
=
В
p
y
0,176
(кН м)
·
0,024
к
г
)
51,8
6,18
×103 (рад)
Рис. 4.8
Используем условие деформации стержня:
M
75
B
GJk
X
30
.
40(
pp
kGJ
0)
=++−=ϕ
44
Учитывая, что k = 0,75, находим
75
==
M
MX
B
4
40(
k
+
30
k
=
)
4
4
1,075
⋅
176,0
=
кН⋅м.
30
40(75,0
+
)
4
75,0
Реактивный момент в сечении А равен:
= 3M – M
M
A
= 3·0,1 – 0,176 = 0,124 кН⋅м.
B
Статическая неопределимость стержня раскрыта. Определим значения
крутящего момента в сечениях стержня:
сечение х = 70 см,
M
М
=
к
= 0,176 кН⋅м;
В
57
сечение х = 30 см,
ϕ
ϕ
сечение х = 15 см,
M
M
M
M
пр
0,176 кН⋅м;
=
к
лев
0,176 – 2·0,1 = – 0,024 кН⋅м;
=
к
пр
– 0,024 кН⋅м;
=
к
лев
– 0,124 кН⋅м;
=
к
сечение х = 0,
M
– 0,124 кН⋅м.
=
к
Эпюра крутящих моментов приведена на рис. 4.8, в. Она состоит из
трех прямоугольников со скачками на величины приложенных моментов.
Определим требуемые диаметры стержня D
и D из условий прочности и
1
жесткости стержня на 1-м и 3-м участках. Используем формулы (4.16) и (4.18).
Участок 1
kDD
1
kDD
1
D
D
k
Участок 3
3
≥D см;
4
≥
D
M
16
к
3
≥=
τπ
3
=
][
⋅π
99,1
65,2
=≥D
см;
75,0
M
32
к
46,3
′
][
4
=
см.
4
≥=
G
ϕ
⋅π
1
59,2
==≥
75,0
2
10124,016
⋅⋅
=
99,1
см;
8
2
10124,032
⋅⋅
=
−
44
1049,3108,0
⋅⋅⋅⋅π
59,2
см;
2
10176,016
⋅⋅
8
⋅π
24,2
=
2
10076,032
⋅⋅
=
−
44
1049,3108,0
⋅⋅⋅⋅π
83,2
см.
Принимаем с округлением бóльшие диаметры D
=2,6 см и D = 3,5 см.
1
Определим геометрические характеристики поперечных сечений
стержня и значения наибольших касательных напряжений на 1-м и 3-м
участках. Проверим выполнение условий прочности и жесткости стержня.
Участок 1
=
J
p
нб
W
М
′
GJ
Участок 3
=
J
p
М
⋅π
32
p
к
⋅π
32
4
6,2
49,4
=
к
==τ
4
см
,
2
10124,0
⋅
59,3
=
=
W
p
кH/см2 < [τ] = 8 кH/см
45,3
2
⋅
==
p
4
⋅⋅
10124,0
49,4108,0
3,45·10
=
3
6,2
⋅π
=
16
−4
рад/см < ][
45,3
3
см
,
′
= 3,49·10
2
,
−4
рад/см.
4
5,3
=
7,14
см
4
,
W
=
p
⋅π
16
58
3
5,3
42,8
=
см
3
,
2
ϕ
ϕ
D
M
ϕ
ϕ=ϕ
10176,0
⋅
кH/см2 < [τ] = 8 кH/см
09,2
=
2
,
42,8
2
⋅
10176,0
1,5·10
4
⋅⋅
=
7,14108,0
−4
рад/см < ][
′
= 3,49·10
−4
рад/см.
нб
М
к
==τ
W
p
М
GJ
к
==
p
′
Условия прочности и жесткости стержня выполняются. Эпюры касательных напряжений на 1-м и 3-м участках стержня приведены на рис. 4.9, а, б.
а) участок 1 б) участок 3
= 0, 24 кН м1
к
·
M
к
= 0, кН м176
·
35,9
D1 2 см=,6
35,9
(кН см )/
2
Рис.4.9
20,9
см=3,5
20,9
(кН см )/
Определим углы поворота сечений стержня и проверим выполнение
условия деформации
сечение х = 0,
0=
:
В
0
=
0
А
(сечение закреплено);
сечение х = 15 см,
lМ
GJ
к
p
01
−=+ϕ=ϕ
0
2
⋅⋅
15100,124
4
⋅⋅
4,49100,8
3
−
−=⋅−=
′
;810рад105,18
сечение х = 30 см,
lM
GJ
к
p
12
3
10,185
−⋅−=+ϕ=ϕ
2
⋅⋅
15100,024
4
⋅⋅
4,49100,8
3
−−
рад
−=⋅−=
2
′
;1201018,6
сечение х = 70 см,
lМ
23
B
3
−
к
GJ
p
.
010190
≠⋅−=
рад,
3
+⋅−=+ϕ=ϕ=ϕ
1018,6
2
⋅⋅
4010176,0
4
⋅⋅
7,14108,0
3
−−
рад
10)99,518,6(
=+−=
Относительная погрешность, связанная с округлением требуемых
диаметров стержня, равна:
% ==Δ
19,0
99,5
%17,3%100
.
Эпюра углов закручивания стержня приведена на рис. 4.8, г. Углы закручивания изменяются по линейному закону. Все поперечные сечения
поворачиваются по ходу часовой стрелки.
59
Г л а в а 5
M
x
x
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
5.1. Основные определения и формулы
Сложное сопротивление стержня имеет место при действии на него
произвольных нагрузок, которые можно разложить на осевые, поперечные
и скручивающие составляющие.
В общем случае сложного сопротивления в поперечных сечениях
стержня действуют нормальные напряжения σ
ния τ
и τzx, равнодействующими которых являются шесть внутренних
ух
усилий — продольная сила N, изгибающие моменты M
ные силы Q
и Qy и крутящий момент M
z
M
z
z
О
О
x
M
y
Q
Рис. 5.1
y
= M
x
z
Q
и касательные напряже-
х
и My, попереч-
z
(рис. 5.1).
к
z
О
N
= M
x
Нормальные напряжения в поперечном сечении при наличии всех
трёх их равнодействующих N, M
х
N
F
и My определяются по формуле
z
M
J
z
z
M
y
. (5.1)
y
++=σ=σ
z
J
y
z
к
Рассмотрим частные случаи сложного сопротивления.
Плоский косой изгиб. Имеет место, когда все поперечные нагрузки
действуют в плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции (рис. 5.2, а).
б
а
)
α
P
z
q
p
x
Силовая плоскость
)
с.л.
α
н.л.
p
α
h
0
z
б
н
σ
+
b
•
−
σ
–
+
м
н
σ
Рис. 5.2
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]