Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие
.pdf
Определим по формулам (5.14) отрезки, отсекаемые нулевой линией
γ
на главных осях Оy и Оz:
JN
z
y
0
z
0
−=−=
FM
z
JN
y
−=−=
FM
y
25644500
⋅
,
2
⋅⋅
10698500
⋅
2
⋅⋅−
−=
61381075
,
,
=
61381090
,
;см3312
.см294
Отложив
y и 0z на осях координат, проводим нулевую линию. Наи-
0
большие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения возникают соответственно в точках А и В, наиболее удаленных от нулевой линии:
22
1090
⋅
=
5891
,,W
МПа;4184кН/см4418
22
⋅
1090
=
5891
,,W
,,
.МПа3112кН/см2311
прочность стержня
А
B
Поскольку
N
F
N
F
нб
М
z
W
М
W
++=σ
z
z
+−=σ
z
M
M
y
y
y
y
500
500
1075
⋅
+=
1583
2
6138
−=
1583
6138
+
==
⋅
1075
,,
+
2
−=−=
<=σ=σ R
сА
=
МПа, 210МПа 4,418
обеспечена.
Эпюра σ в опасном сечении приведена на рис. 5.9, б.
Задача 5.5
Стальной консольный составной стержень испытывает внецентренное растяжение и изгиб в вертикальной плоскости Охy (рис. 5.10, а).
Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении стержня и
проверить прочность. В расчетах принять R = 210 МПа,
γ
= 1. Нагрузки
с
являются расчетными.
Изгибающий момент на свободном конце стержня равен
PyM
Рz
м.кН 36,060600 ⋅=⋅==
В заделке
М
z
м.кН 451,531836 ⋅−=⋅⋅−=
Эпюры изгибающих моментов и продольных сил приведены на рис. 5.10, а.
Опасным является сечение стержня в заделке.
Определим геометрические характеристики сечения. Учитывая, что
для двутавра
I24
J
z
W
z
2
,J
,,F
1
см834=
= получим
z
1
=⋅⋅+=F
23460
J
h
6905
z
2
8,12
3
8014
⋅+=,
12
3
===
см 540
.
4
см3460
2
;см 2,570,8142,834
⋅⋅+
=
42
;см 690512,40,814
71
б
а
)
)
140 8мм
×
I
24
уР=6см
x
Р
=600кН
600
36
кН
q
18
=
м
12,4см
I
24
z
О
м
3
=
l
N
(кН)
45
М
(кН м)
z
·
×
140 8мм
z
σ
Определим напряжения в нижних и верхних волокнах стержня:
М
N
н
F
M
N
в
F
600
z
z
z
z
600
−=−=σ
257
,W
+=+=σ
257
,W
1045
⋅
540
1045
⋅
540
2
2
2
,,
==
2
==
,,
;МПа621смкН162
(МПа)
21,6
.МПа2188смкН8218
188,2
Поскольку σ
= 188,2 МПа < γсR = 1⋅210 = 210 МПа, прочность стержня
нб
обеспечена. Эпюра σ в опасном сечении приведена на рис. 5.10, б.
Задача 5.6
Стальной ломаный стержень круглого сечения нагружен вертикальной силой Р
пускаемое напряжение стали [σ] = 160 МПа = 16 кН/см
= 4 кН и горизонтальной силой Р2 = 6 кН (рис. 5.11, а). До-
1
2
. Определить
диаметр D стержня из условий прочности по теории наибольших касательных напряжений и по энергетической теории.
Участок СD стержня испытывает изгиб в вертикальной плоскости, а
участок ОС — изгиб в вертикальной и горизонтальной плоскостях и кручение. Эпюры изгибающих моментов M
, M
y
и крутящего момента М
z
показаны на рис. 5.11, а.
Опасным является сечение стержня в заделке, где изгибающий момент M
и крутящий момент Мк имеют наибольшие значения.
y
72
к
а
А
)
О
б
)
z
τ
= 44,8 МПа
x
Р1=4кН
D С
0,5 м
M
z
(кН м)
·
–
M
y
(кН м)
·
M
к
(кН м)
·
0
Р2=6кН
2
σ
(МПа)
z
н. л.
н. л.
9
2
1
–
–
м
4
,
1,6
–
В
О
α
0
2,4
–
–
9
2
1
2
–
–
Рис. 5.11
Вычислим величину суммарного изгибающего момента в заделке:
MMМ
и
yz
2222
см.кН288мкН2,882,41,6
⋅=⋅=+=+=
Опасными являются точки А и В контура поперечного сечения в заделке (рис. 5.11, б), в которых возникают наибольшие по абсолютной ве-
личине нормальные и касательные напряжения от изгиба и кручения:
M
к
W
, ,
p
3
D
π
16
.
==
и
=τ=σ
2 ,
WW
где W
и Wp — моменты сопротивления сечения при изгибе и кручении;
и
W
М
и
W
и
3
D
π
=
и
32
p
В сечениях стержня возникают также касательные напряжения от поперечного изгиба, которые могут быть определены по формуле Журавского.
Однако для стержней сплошного круглого сечения эти напряжения малы и
могут при оценке прочности не учитываться.
73
При изгибе с кручением условия прочности по теории наибольших
касательных напряжений (5.16) и энергетической теории (5.17) имеют
следующий вид:
1
22
4
W
W
и
1
и
22
3
2
и
2
и
2
к
;][
σ≤+=τ+σ MM
2
к
.][75,0
σ≤+=τ+σ MM
Используя формулу для Wи, определим требуемый диаметр стержня.
По теории наибольших касательных напряжений
3
π
D
π
D
32
≥
⋅
143
,
3
≥
=
W
и
3
D =
≥
По энергетической теории
W
=
и
2
и
σ
912132
,
2
и
2
+
MM
к
=
][32
σ
.см076
2
75,0
MM
к
][
,
+
+
16
=
22
200288
=
20075,0288
⋅+
3
;см91,21
22
=
3
;см00,21
16
3
D =
≥
143
,
,
.см985
2132
⋅
Таким образом, по обеим теориям прочности получили близкие результаты. Примем D = 6,1 см и определим наибольшие значения нормальных и касательных напряжений для сечения, совпадающего с заделкой:
3
16143
⋅
,,
=
W
и
32
288
нб
322
,
200
нб
644
,
W,
p
2
===σ ,
2
,,
===τ
=⋅==
;МПа129смкН912
.МПа844смкН484
33
;см44,622,32 ,см322
Определим угол наклона нулевой линии к оси Oz в опасном сечении:
M
J
tg
z
J
y
M
y
z
4,2
−=⋅−=α
6,1
−
=α=
00
.3,56 ,5,1
Проводим нулевую линию и строим эпюры σ и τ в опасном сечении
(рис. 5.11, б).
74
Г л а в а 6
Р
УСТОЙЧИВОСТЬ И ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ
ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
6.1. Основные определения и формулы
При изучении равновесия идеально прямого гибкого стержня из упругого материала, находящегося под действием центрально приложенной
к верхнему сечению сжимающей силы Р (рис. 6.1) возможны следующие
три случая:
• Сжимающая продольная сила Р
б
a
)
)
в
)
относительно невелика. Если стержень с
помощью какой-либо поперечной нагруз-
<
кр
Р = Р
кр
Р
>
Р Р
ки слегка отклонить, а затем эту нагрузку
снять, то стержень вновь примет первоначальную прямолинейную форму равновесия (рис. 6.1, а). В этом случае (Р < Р
кр
)
прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой.
• При достижении силой Р критиче-
ского значения Р = Р
теоретически воз-
кр
можны как прямолинейная, так и искривлённая формы равновесия (рис. 6.1, б).
Однако прямолинейная форма равновесия
становится неустойчивой.
Рис. 6.1
• При дальнейшем даже незначи-
тельном увеличении сжимающей силы (Р >Р
) происходит резкое на-
кр
растание прогибов и возникают значительные дополнительные деформа-
кр
ции и напряжения изгиба. Такое явление называется потерей устойчивости (рис. 6.1, в).
Критическая сила Эйлера Р
при различных случаях закрепления
кр
концов стержня определяется по формуле
2
π
=
()
μ
l
EJ
, (6.1)
2
где величина l
2
π
EJ
=
Р
кр
— приведенная длина стержня; l0 = μl; μ — коэффициент
0
2
l
0
приведения длины, который зависит от вида опорных закреплений стержня.
Выражения для критических сил и значения коэффициента приведения длины в основных случаях опорных закреплений приведены на рис. 6.2.
В зависимости от условий закрепления стержня потеря устойчивости может
происходить в одной из двух главных плоскостей инерции Оху или Oхz.
75
λ
μ
π
2
π
π
=
μ
l
=
EJ
2
Р
1
Р
кр
кр
μ
=
=
2
EJ
2
4
l
2
Р
кр
•
2
4
EJ
=
2
l
= 0,5
0
ll
•
μ
=
0,5
2
Р
=
кр
•
2
l
= 0,7
0
ll
=
0,7
Рис. 6.2
Критические силы, соответствующие потере устойчивости стержня в
главных плоскостях, определяются по формулам
2
EJ
π
=
()
l
μ
z
y
. (6.2)
2
P
()
y
кр
2
EJ
π
=
()
μ
z
2
l
y
,
P
()
z
кр
Критические напряжения определяются по формуле
2
где λ — гибкость стержня; λ = l
π=σЕ
кр
0
, (6.3)
2
λ
/i; i — радиус инерции поперечного
сечения.
Формулы Эйлера для критической силы и критических напряжений
для стержней из малоуглеродистой стали с пределом пропорциональности
σ
= (200÷220) МПа
пц
можно использовать в пределах упругости при гибкости λ ≥ 100.
При работе стержня за пределом упругости и значениях гибкости
60 ≤ λ < 100 можно использовать эмпирическую формулу Тетмайера —
Ясинского
кр
−=σ bа
, (6.4)
где для указанной стали a = 310 МПа, b = 1,14 МПа, или квадратичную
зависимость
()
где σ
— предел текучести; σпц — предел пропорциональности стали.
т
При гибкости λ < 60 можно принять σ
σ−σ−σ=σ
пцтткр
100
, (6.5)
= σт .
кр
2
λ
Условие устойчивости записывается в виде
Р
F
R
ϕγ≤=σ , (6.6)
c
76
где ϕ — коэффициент продольного изгиба (0 < ϕ < 1), величина которого
ϕ
определяется в зависимости от материала и гибкости λ стержня. Значения коэффициента
для некоторых материалов приведены в табл. 6.1.
Коэффициент запаса устойчивости стержня можно определить как
отношение критической силы Р
к заданному нормативному значению Р
кр
продольной сжимающей силы
Р
кр
n =
у
Гиб-
кость
λ
200 240 280 320 360 400 440
Сталь с расчетным сопротивлением
по пределу текучести R, МПа
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 0,988 0,987 0,985 0,984 0,983 0,982 0,981 0,970 0,992
20 0,967 0,962 0,959 0,955 0,952 0,949 0,946 0,910 0,968
30 0,939 0,931 0,924 0,917 0,911 0,905 0,900 0,810 0,928
40 0,906 0,894 0,883 0,873 0,863 0,854 0,846 0,690 0,872
. (6.7)
Р
н
Таблица 6.1
Чугун
марки
СЧ
Дерево
(сосна)
н
50 0,869 0,852 0,836 0,822 0,809 0,796 0,785 0,570 0,800
60 0,827 0,805 0,785 0,766 0,749 0,721 0,696 0,440 0,712
70 0,782 0,754 0,724 0,687 0,654 0,623 0,595 0,340 0,612
80 0,734 0,686 0,641 0,602 0,566 0,532 0,501 0,260 0,469
90 0,665 0,612 0,565 0,522 0,483 0,447 0,413 0,200 0,370
100 0,599 0,542 0,493 0,448 0,408 0,369 0,335 0,160 0,300
110 0,537 0,478 0,427 0,381 0,338 0,306 0,280 – 0,248
120 0,479 0,419 0,366 0,321 0,287 0,260 0,237 – 0,208
130 0,425 0,364 0,313 0,276 0,247 0,223 0,204 – 0,178
140 0,376 0,315 0,272 0,240 0,215 0,195 0,178 – 0,153
150 0,328 0,276 0,239 0,211 0,189 0,171 0,157 – 0,133
160 0,290 0,244 0,212 0,187 0,167 0,152 0,139 – 0,117
170 0,259 0,218 0,189 0,167 0,150 0,136 0,125 – 0,104
180 0,233 0,196 0,170 0,150 0,135 0,123 0,112 – 0,093
190 0,210 0,177 0,154 0,136 0,122 0,111 0,102 – 0,083
200 0,191 0,161 0,140 0,124 0,111 0,101 0,093 – 0,075
210 0,174 0,147 0,128 0,113 0,102 0,093 0,085 – 0,068
220 0,160 0,135 0,118 0,104 0,094 0,086 0,077 – 0,062
77
Продольно-поперечным называется изгиб достаточно гибкого стержня,
EJ
Pk/
v
x
x
P
P1P
возникающий от совместного действия поперечной и продольной нагрузок
(рис. 6.3).
q
О
P
y
v
п
v
1
l
2
Рис. 6.3
речной нагрузки;
— суммарный прогиб стержня;
прогиб от поперечной нагрузки;
v
— дополнительный прогиб от действия
1
Уравнение изогнутой оси в
этом случае имеет вид
где
2
v
d
2
dx
2
= ; М
2
v
k
M
п
−=+
, (6.8)
EJ
— изгибаю-
п
щий момент от действия попе-
vvv += (здесь
1п
v —
п
сжимающей силы Р).
Точное решение уравнения (6.8) можно записать в форме метода начальных параметров. Приближенное решение уравнения (6.8) можно
представить в виде
v
п
=
v
, (6.9)
P
1
−
Р
э
где Р
— критическая сила в плоскости изгиба, вычисляемая по формуле
э
Эйлера независимо от величины гибкости стержня.
Суммарный изгибающий момент от совместного действия продольной силы Р и поперечной нагрузки определяется по формуле
. (6.10)
РvММ +=
п
Проверка прочности стержня при продольно-поперечном изгибе может быть сведена к требованию, чтобы наибольшие сжимающие напряжения в опасном сечении от действия нормативных нагрузок, умноженных
на заданную величину коэффициента запаса по нагрузкам n
, не превы-
p
шали опасного напряжения, равного для пластичного материала пределу
текучести σ
:
т
M
Р
F
W
σ≤+=σ
. (6.11)
тнб
6.2. Примеры решения задач
Задача 6.1
Центрально сжатый стержень, составленный из двух жестко соединенных между собой швеллеров, имеет различные опорные закрепления в
двух главных плоскостях Oxy и Oxz (рис. 6.4). Материал стержня — малоуглеродистая сталь с расчетным сопротивлением R = 200 МПа, пределом
текучести
σ
= 230 МПа и пределом пропорциональности
т
78
σ
= 200 МПа.
пц
Нормативное значение сжимающей силы Рн = 550 кН, коэффициент
γ
ϕ
х
х
надежности по нагрузке γ
= 1,2, коэффициент условий работы γс = 1.
f
Подобрать сечение стержня из условия устойчивости в двух главных
плоскостях.
Расчетное значение сжимающей силы равно:
Р = Р
γf = 550⋅1,2 = 660 кН.
н
Р
Р
Приняв в первом приближении коэффициент
продольного изгиба равным ϕ = 0,5, определим с
помощью формулы (6.6) необходимую площадь
сечения стержня:
F
P
≥
ϕγ
с
660
=
,R
=
20150
⋅⋅
2
.
см66
По сортаменту принимаем сечение 2[27 и выписываем необходимые геометрические характе-
ристики сечения: F = 2⋅35,2 = 70,4 см
= 262 см
J
y
1
4
,
= 2,47 см.
z
0
2
, i
= 10,9 см,
z
=4 м
l
О
О
y
δ=1см
y
z
z
0
Определим момент инерции и радиус инерции
y
y
сечения относительно главной оси Oy:
()
yy
1
zFJJ
01
2
=δ++= ]5,0[2
Рис. 6.4
()
2
=++
см
1145]5,047,22,35262[2
4
;
1
J
i
y
y
1145
470
,F
.
см034
,
===
Вычислим приведенные длины и гибкости стержня в двух главных
плоскостях:
в плоскости Oxy
l
400
0
ll
,см 4004001
0
yy
i
z
===λ=⋅=μ=
9,10
;7,36
в плоскости Oxz
l
280
0
ll
,см2804007,0
0
zz
i
y
===λ=⋅=μ=
03,4
.5,69
Таким образом, стержень может потерять устойчивость в плоскости
Oxz, в которой гибкость имеет большее значение. По таблице коэффициентов продольного изгиба для λ = 69,5 с помощью линейной интерполя-
ции находим
,,
78208270
, 784060569
−
8270 =−
−=ϕ
()
.,,
10
Проверяем устойчивость стержня:
660
Р
470
,F
2
====σ
МПа8,93кН/см38,9
< .МПа8,15620017840 =⋅⋅=
с
,R
79
Имеется значительный запас устойчивости. Поэтому во втором при-
(
)
ϕγ
Р
x
P
P
МпМ
с.
ближении примем сечение 2[20, для которого определяем
4
, W
= 2⋅152 = 304 см
z
см5,1537,524231132 =⋅+= ,J
= 113 cм
J
y1
2
см8464232 ,,F =⋅= , J
4
,
z = 2,07 см,
0
=1520⋅2 = 3040 см
z
y
3
,
42
,
1535
,
==
i
y
846
,
,
,см383
280
, ϕ = 0,715.
882
,
z
==λ
383
,
Проверим выполнение условия устойчивости:
660
P
σ
846
,F
2
====
МПа141кН/см14,10
<
с
,R
.МПа 14320017150 =⋅⋅=
Условие устойчивости выполняется с небольшим запасом. Принимаем
сечение 2[20. Определяем критическую силу и критические напряжения.
Так как гибкость λ
= 82,8 < 100, критические напряжения определим по
z
формуле (6.5):
λ
100
()
()
σ−σ−σ=σ
пцтткр
202323
−−=
100
8,82
2
==
МПа4,209кН/см94,20
.
22
Соответствующее значение критической силы равно:
кркр
=⋅=σ= FР
.кН 980846,,9420
По формуле (6.7) определяем коэффициент запаса устойчивости
P
= 825 кН
О
Р
=7,5 кН
1
v
п
= 825 кН
n
y
Р
Произведем расчет стержня
v
2 м2 м
y
на прочность при продольнопоперечном изгибе в плоскости
кр
980
.,
781
===
550
н
Oxy при совместном действии
сжимающей силы и поперечной
(кНм)
7,5
Р
(кН⋅м)
= 1
1
нагрузки (рис. 6.5). Нормативные значения нагрузок равны
Р
= 550 кН, Р1н = 5 кН.
н
Для обеспечения заданной
1
Ри
6.5
умножим величины нормативных нагрузок на этот коэффициент:
Р = пp Р
= 1,5⋅550 = 825 кН, Р
н
величины коэффициента запаса
прочности по нагрузкам п
= пpР
1
= 1,5⋅5 = 7,5 кН .
1н
Определим наибольший изгибающий момент Мп и прогиб vп от действия поперечной нагрузки Р
гибающих моментов от действия силы Р
1=
, приложенной в середине пролета. «Перемножая» эти эпюры по пра-
= 7,5 кН. На рис. 6.5 приведены эпюры из-
1
и единичной безразмерной силы
1
вилу Верещагина, получим
80
= 1,5
p
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]