Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие
.pdf
Балка является один раз статически неопределимой. Образуем основную систему, отбросив мысленно опору B и введя в этом сечении неиз-
RX =
вестную силу
1
(рис. 2.8, б). Грузовая и единичная эпюры изгибаю-
B
щих моментов, построенные в основной системе, приведены на рис. 2.8, в, г.
В статически неопределимых стержневых системах тепловое воздействие вызывает появление в стержнях внутренних усилий и напряжений.
Канонические уравнения метода сил (2.2) при совместном силовом и тепловом воздействиях должны быть дополнены температурными членами
Δ
, определяемыми по формуле
iT
T
dsNT
Δ
α+α=Δ
0
k
s
где
α — коэффициент линейного температурного расширения;
iiT
k
h
s
kk
, (2.8)
dsM
i
T — тем-
0
пература на уровне оси стержня, равная для симметричных относительно
нейтральной оси сечений
TTT +=
ратур крайних волокон; h — высота поперечного сечения;
;
2/)(
210
— разность темпе-
TTT −=Δ
21
N
и
i
M
—
i
внутренние усилия в основной системе в единичных состояниях на участках теплового воздействия и
s — длина этих участков.
k
Для прямых стержней с постоянными по длине поперечным сечением
и температурой величину
iT
где
Ω и
N
Ω — площади единичных эпюр продольных сил и изгибаю-
i
M
i
Δ можно определить по формуле
iT
T
T
0
k
α+Ωα=Δ
N
h
k
Δ
, (2.9)
Ω
M
ii
щих моментов на участках теплового воздействия.
Первый член в формуле (2.9) является положительным, если
0
>T , а
0
продольная сила является растягивающей. Второй член является положи-
M
тельным, если изгибающий момент
вызывает растяжение волокон,
i
испытывающих действие более высокой температуры.
Используя метод Мора и правило Верещагина, определяем коэффициент и грузовой член канонического уравнения:
l
MM
11
11
0
l
MM
1
P
P
1
0
dx
EJ
21
6
dx
EJ
11
2
2
44
3
64
4
=⋅⋅⋅⋅⋅==δ
;
EJEJ
3
1
)41224821224482(
)1222
⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−==Δ
2
216
−=
EJEJ
Определяем температурный член по формуле (2.9). Учитывая, что
.
продольная сила в стержне отсутствует (
α=Δ 133344
1T
24,0
где h — высота сечения двутавра
−−
1
)10(30
2
I24; h = 24 см = 0,24 м.
31
01=N
), получим
α=⋅⋅⋅
,
Решаем каноническое уравнение:
X
641
EJ
3
TP
−=Δ+Δ+δ X
111111
.01333216
=α+
Принимая коэффициент линейного температурного расширения для
стали
двутавра
I24 J
RX
1
5
1025,1−⋅=α
= 3460 см4 и переведя размерность длины в метры, получим
z
==
B
1/град,
кН/см101,2 ⋅=E
64
24
, момент инерции сечения
445
−−
)103460101,21025,11333216(3
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅
448,4
=
кН.
Окончательные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил приведены на рис. 2.8, д, е. Кинематическая проверка правильности решения
выполняется по формуле
MM
k
i
s
k
ds
EJ
0
=Δ+=Δ
. (2.10)
iT
Применяя эту формулу, получим
l
MM
v
B
2
6
1
0
dx
EJ
1
T
⋅+⋅⋅+
EJ
21
()
6
6
⋅
1333)122103,322(
−=α+
4
⋅⋅
3460101,2
.067,167,1 =+−=
101,121
− 25
103,3421,302103,32221,3042
+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−=Δ+==Δ
=⋅⋅⋅+
101025,11333
Задача решена правильно. Определим прогиб балки в середине пролета. Соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов в принятой основной системе приведена на рис. 2.8, ж. Используя формулу
(2.10), получаем
l
MM
v
C
2
0
dx
EJ
2
T
35,42
3,333
=α−=
EJ
21
()
6
EJ
6
1035,42
⋅
4
3460101,2
⋅⋅
α−⋅+⋅⋅=Δ+=
2103,3221,302
−
−−
24,0
25
=⋅⋅⋅−
1
)10(30
=⋅⋅⋅
22
2
166,0101025,13,333
см.
Точка C перемещается вниз. Опре-
12 кН/м
2
EJ
EJ
D
C
2
EJ
4 м
делим наибольшие нормальные напряжения в балке:
2
нб
М
==σ
W
z
289
10210,3
⋅
=
2
/
Задача 2.4
Для статически неопределимой ра-
мы со стержнями различной жесткости
.смкН ,4510
3 м
2 м
Рис. 2.9
(рис. 2.9) построить эпюры М, Q и N и
определить вертикальное перемещение
точки C.
32
Определим по формуле (2.1) степень статической неопределимости
)
X
рамы:
n = – (3·1 – 2·0 – 5) = 2.
Рама два раза статически неопределима. Для образования основной
системы отбросим шарнирно неподвижную опору B (рис. 2.10, а).
Неизвестными метода сил являются опорные реакции на опоре B:
X
= V
1
и X
B
= H
2
. Запишем канонические уравнения, характеризующие
B
равенство нулю линейных перемещений точки B в принятой основной
системе:
=Δ+δ+δ
;0
Р
Р
=Δ+δ+δ
.0
ХХ
ХХ
1212111
2222121
Для определения коэффициентов и грузовых членов канонических
уравнений строим грузовую и единичные эпюры изгибающих моментов
(рис. 2.10, б, в, г) и «перемножаем» их между собой:
б
a
)
12 кН/м
XH
=
2
XV
=
1
B
24 кН м
B
·
)
72
24
M
(кН м
(кН⋅м)
P
24
·
в
)
г
)
4
4
3
M
1
M
2
3
= 1
X1= 1
2
Рис. 2.10
l
i
MM
MM
EJ
EJ
11
dx
=
22
dx
= 2
MM
21
dx
=
=
δ
=
δ
22
δ=δ
11
i
0
l
i
0
EJ
l
i
i
0
i
=
2112
11
2
1
1
2
2
11
2
2
33
3
2
44
3
433
1
3
2
1
4
1
1
2
2
27
343
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
;
EJEJEJ
33,69
434
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
;
EJEJEJ
30
344
−=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−
;
EJEJEJ
33
l
i
MM
1
P
dx
=Δ
Р1
EJ
i
0
=Δ
Р2
l
i
MM
2
EJ
i
0
1
−=
2
P
dx
2472
−
2
4
1
EJ
6
2
1
34
+⋅⋅
12
320
4324
−=⋅⋅⋅−
EJEJ
Решаем систему канонических уравнений:
3
412
⋅
3
⋅
)4724242(
−⋅+⋅⋅−= 4
11
2433
⋅⋅⋅⋅+
2
EJEJ
⋅
12
3
412
1
⋅⋅
2
−
=
60
;
EJ
.
1
()
EJ
ХX
21
=+−
;0603027
1
()
EJ
= V
Х
1
= 5,6 кН , Х
B
ХX
21
= H
2
= 7,04 кН .
В
=−+−
;032033,6930
Направления неизвестных Х1 и Х2 соответствуют принятым в начале
расчета. Для построения окончательных эпюр M, Q и N произведем расчет
основной системы на совместное действие заданных нагрузок и сил Х
(рис. 2.11, а).
Х
2
1
и
Определяем значения M, Q и N в характерных сечениях стержней
рамы.
Стержень DC
М = 24 кН⋅м (растянуты нижние волокна), Q = N = 0.
Стержень BD
= 0, М
М
B
= Q
Q
B
D
= – 7,04·4 = – 28,16 кН⋅м (растянуты правые волокна);
D
= 7,04 кН, N
= N
B
= – 5,6 кН (сжатие).
D
Стержень DE
= – 28,16 + 24 = – 4,16 кН⋅м (растянуты верхние волокна);
М
D
= – 4,16 + 5,6·3 = 12,64 кН⋅м (растянуты нижние волокна);
М
E
Q
= Q
D
= – 5,6 кН, N
E
= N
D
= – 7,04 кН (сжатие).
E
Стержень AE
= 12,64 кН⋅м (растянуты правые волокна);
М
E
= – 12·4·2 + 24 +5,6·3 = – 55,2 кН⋅м (растянуты левые волокна);
М
A
= – 7,04 кН, QA = – 7,04 + 12·4 = 40,96 кН, N
Q
E
= N
E
= 5,6 кН
A
(растяжение).
Эпюры М, Q и N приведены на рис. 2.11, б, в, г.
Определяем значение М
М
= ME +
max
в левой стойке рамы (стержень АE):
max
Q
2
2
E
64,12
−
+=
q
2
)04,7(
= 14,7 кН⋅м.
122
⋅
34
б
N
a
)
24 кН м
·
)
12,64
4,16
28,16
24
M=
max
= 14,7
7,04
M
5,6
(кН)
12 кН/м
в
)
40,96
5,6
7,04
X2 = 7,04 кН
X1 = 5,6 кН
7,04
Q
(кН)
55,2
г
)
5,6
Рис. 2.11
Выполним кинематическую проверку и убедимся в выполнении усло-
вий деформации основной системы. Для этого «перемножим» окончательную эпюру M с единичными эпюрами
l
i
МM
i
0
Δ =
2
1
EJ
i
dx
l
0
i
=Δ
1
4
6
2
EJ
EJ
2
MМ
1
dx
31
)316,4364,122(
+⋅−⋅⋅⋅=
6
−+
64,122,55
−
34
+⋅⋅
2
−
16,464,121
⋅−=
2
3
1
412
)42,55464,122(
⋅
−⋅+⋅⋅−⋅+
12
2
12
43
⋅⋅
M
⋅
4
1
3
412
M
и
3
⋅
1
EJEJ
2
:
2
1
()
EJEJ
1
2
2
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
416,28
3
1
()
6,1487,148
=−=
Относительная погрешность вычислений равна:
% =⋅=Δ
1,0
6,148
%07,0%100
.
Вычислительная погрешность мала. Определим по эпюрам М, Q и
N значения опорных реакций (рис. 2.12).
Выполним статическую проверку равновесия рамы:
Σ
X = 0, 12·4 – 40,96 – 7,04 = 48 – 48 = 0;
Σ
Y = 0, – 5,6 + 5,6 = 0;
;092,13392,133
=−=
+
4
1,0
.
EJEJ
= 0, – 12·4·2 + 24 +55,2 +5,6·3 = – 96 + 96 = 0.
МΣ
В
Рама в целом находится в равновесии.
35
y
E
24 кН м
·
5
12 кН/м
H=
A
= 40,96 кН
H= B 7,04 кН
x
M=A55,2 кН м
·
V= A5,6 кН
V= B 5,6 кН
Рис. 2.12 Рис. 2.13
Определим вертикальное перемещение точки C. Для этого построим
M
в основной системе соответствующую единичную эпюру
(рис. 2.13) и
3
«перемножим» ее с окончательной эпюрой M:
l
i
Δ =
3
i
MМ
3
EJ
dx
EJ
0
)516,4264,12
⋅+⋅
11
2
1
+
2
3
2422
6
3
64,122,55
−
54
−⋅⋅
2
⋅
12
412
5
⋅
−=
2
M
−⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−=
216,42564,122(
P
3
32,52
.
EJEJ
Точка C перемещается вверх.
E
18 кН/м
3
EJ
EJ
3EJ
J
D
12 кН
м
4
Задача 2.5
Для статически неопределимой рамы
с шарниром (рис. 2.14) построить эпюры
М, Q и N и определить горизонтальное
перемещение точки D.
Определим степень статической неопределимости рамы по формуле (2.1):
n = – (3·2 – 2·1 – 6) = 2.
Рама два раза статически неопреде-
3 м
Рис. 2.14
3 м
лима и геометрически неизменяема. Она
состоит из консольной рамы AEC и шарнирно опертой рамы BCD, соединенных между собой шарниром C. Для образования основной системы
произведем мысленный разрез по шарниру C (рис. 2.15, а).
Неизвестными являются силы X
ствие между рамами AEC и BCD. Величины X
и X2, характеризующие взаимодей-
1
и X2 являются парными
1
неизвестными.
Запишем канонические уравнения метода сил, характеризующие от-
сутствие взаимных линейных перемещений сечений в шарнире C:
36
δδ
X
M
H
ХХ
ХХ
δδ
=Δ++
;0
1212111
Р
2222121
=Δ++
.0
Р
Грузовая и единичные эпюры изгибающих моментов приведены на
рис. 2.15, б, в, г. Отметим, что во втором единичном состоянии рама BCD
не испытывает изгиб.
2
2
X
X2= 1
1
D
12 кН
D
a
)
18 кН/м
E
X
1
X
в
)
3
б
)
X1= 1
4
X1= 1
M
1
4
г
)
81
48
=B1
X2= 1
P
(кНм)
(кН⋅м)
M
2
H=B0
Рис.2.15
Определяем коэффициенты и грузовые члены канонических уравне-
D
D
ний с помощью метода Мора и правила Верещагина:
l
i
=
δ
11
δ =
22
Р
1
=Δ
Р
2
i
0
l
i
0
δ=δ =
2112
l
i
i
0
l
i
0
MM
11
dx
=
dx
3
=
EJ
i
MM
22
EJ
l
i
MM
21
i
1
0
MM
P
dx
dx
EJ
EJ
i
MM
P
2
dx
EJ
3
1
1
2
1
1
3
2
=
1
1
2
3
1
1
2
2
34
24
3
2
33
1
3
3
11
344
2
2
348
4
3
2
381
3
−⋅⋅⋅⋅=
3
37
−=⋅⋅⋅⋅−
12
11
44
2
343
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
24
;
EJEJ
11
448
2
3
1
318
⋅
3
⋅⋅
2
2
3
48
4
=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
;
EJEJEJ
39
;
EJEJEJ
2
3
1
4
8144
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−==Δ
2
1
3481
1033
=⋅⋅+
EJEJEJ
968
−=
;
EJEJEJ
.
Решаем систему канонических уравнений:
D
(
)
EJ
1
EJ
= 10,01 кН , Х2 = – 20,32 кН .
Х
1
Направление силы Х
1
()
()
ХX
21
ХX
21
=−−
надо изменить на противоположное.
;09682448
=++−
.010333924
Построим окончательную эпюру изгибающих моментов с помощью
суммирования эпюр по формуле (2.4). Строим эпюры M
M
=
2
XM
(так называемые «исправленные» единичные эпюры). Они
22
=
1
приведены на рис. 2.16, а, б.
a
)
40,04
M
(кНм)
(кН⋅м)
D
1
б)
60,96
M
2
(кНм)
кН⋅м
XM
11
и
40,04
Рис. 2.16
, M
и
Сложив характерные ординаты эпюр M
1
2
M , построим окон-
чательную эпюру M (рис. 2.17, а).
Выполним кинематическую проверку правильности решения:
l
i
МM
1
1
i
0
EJ
dx
1
1
EJ
41
6
2
396,7
3
2
3
Относительная погрешность равна:
l
i
MМ
2
2
i
0
dx
EJ
⋅==Δ
−
2004,201
2
1
()
Относительная погрешность равна:
1
4
()
% =⋅=Δ
1
1
34
EJEJ
3
2
03,0
25,2028,20
=−=
EJEJ
% =⋅=Δ
1
)404,204202(
2
5,1067,106
=−=⋅⋅⋅⋅⋅−
EJEJEJ
2,0
5,106
2
304,20
3
.
03,0
25,20
P
2
−
⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅==Δ
496,7
4
3
2,0
.
%19,0%100
.
3
⋅
−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
3
318
12
%15,0%100
.
1
=
⋅⋅
3
2
Вычислительные погрешности малы, эпюра М построена правильно.
38
M
a
M
A
H
D
)
20,04
б
)
7,96
E
D
33,68
2,65
в
)
10,01
11,47
20
33,68
M
(кН м)
N
22,97
·
(кН)
12
г
)
Н = A10,01 кН
= A20 кН м
·
E
10,01
y
18 кН/м
20,32
1,99
Q
(кН)
= B 1,99 кН
x
12 кН
V=
33,68 кН
V= B 22,97 кН
Рис. 2.17
Строим эпюру поперечных сил Q с помощью дифференциального
′
соотношения
= Q. Определяем значения Q в стержнях рамы.
Стержень AE
2004,20−=+
4
004,20
+
+
68,33
=
кН.
3
318
⋅
+
2
004,20
+
32,20
−=
кН.
3
96,7
−=− кН.
4
96,7
65,2
=
кН.
3
Стержень CE
ql
=
Q
E
2
Q
=
C
Стержень BC
Стержень CD
ql
2
= QE = 01,10
Q
A
+
+
l
+−
− кН.
MM
CE
=
318
⋅
2
+
MM
CE
−=
l
= QC = 99,1
Q
B
= QD =
Q
C
39
Эпюра Q приведена на рис. 2.17, б.
H
Определяем значения продольных сил N в стержнях рамы с помо-
Σ
щью уравнений равновесия
a
)
E
10,01 кН
33,68 кН
N
= 33,68 кН
N
= 10,01 кН
X = 0 и ΣY = 0 узлов рамы (рис. 2.18, а, б).
б
)
10,01 кН
20,32 кН
C
N
2,65 кН
N
= 12 кН
1,99 кН
= 22,97 кН
Рис. 2.18
Эпюра N приведена на рис. 2.17, в. Определяем по эпюрам M, Q и N
значения опорных реакций (рис. 2.17, г) и выполняем статическую проверку равновесия рамы:
Σ
X = 0, 10,01 + 1,99 – 12 = 12 – 12 = 0;
Σ
Y = 0, – 18·3 – 2,65 + 33,68 + 22,97 = – 56,65 +56,65 = 0;
МΣ = 0, 18·3·1,5+10,01·4 +1,99·4 –20 – 33,68·3 –2,65·3 =129 –129 = 0.
C
Рама в целом находится в равновесии.
Определим горизонтальное перемещение шарнирной опоры D. Для
этого построим в принятой основной системе соответствующую единич-
M
ную эпюру
(рис. 2.19) и «перемножим» ее с окончательной эпюрой M:
3
D
P
4
M
3
=B1
= 1
Рис.2.19
l
i
Δ =
3
i
MМ
3
EJ
0
dx
=
1
1
2
3
Опора D перемещается влево.
396,7
40
2
11
4
3
2
2
496,7
4
3
07,53
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
.
EJEJEJ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]