Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие
.pdf
2.2. Примеры решения задач
M
)
x
R
A
M
X
X
f
M
(
Задача 2.1
Для статически неопределимой двухпролетной балки (рис. 2.4, а)
построить эпюры М и Q и определить угол поворота сечения на опоре C.
Данная балка два раза статически неопределима (n = 4 – 2 = 2). Для
образования основной системы заменим жесткую заделку A шарнирно
неподвижной опорой и введем в сечении B промежуточный шарнир
(рис. 2.4, б).
а
)
M
A
б
)
XM
1=A
)
в
12 кН/м
6 кН м
B
С
·
А
3 м
R
B
3 м
R
C
y
12 кН/м
XM
2=B
B
С
6 кН м
·
А
P
(кН м
·
кН⋅м)
6
2
.
3
12
=
=
13,5
8
г
)
X=11
1
1
д
)
2
=21
=21
Рис. 2.4
Основная система представляет собой две не связанные друг с другом
однопролетные шарнирно опертые балки AB и BC. Неизвестными метода
сил являются реактивный момент в заделке X
21
= М
1
и изгибающий момент
A
X2 = М
системе слева и справа от шарнирной опоры B. При этом величина X
в сечении над опорой B. Этот момент надо приложить в основной
B
2
называется парным или групповым неизвестным.
Запишем канонические уравнения метода сил:
=Δ+δ+δ
;0
Р
Р
=Δ+δ+δ
.0
ХХ
ХХ
1212111
2222121
Первое из этих уравнений характеризует равенство нулю угла поворота сечения A, а второе — равенство нулю взаимного угла поворота сечений над опорой B в принятой основной системе.
Строим грузовую и единичные эпюры изгибающих моментов в основной системе (рис. 2.4, в, г, д). «Перемножив» эти эпюры между собой с
помощью правила Верещагина, определим коэффициенты и грузовые
члены каноническ
δ =
11
δ =
22
=Δ
Р1
=Δ
Р2
δ=δ =
их уравнений:
l
MM
11
dx
EJ
0
l
MM
22
EJ
MM
1
EJ
2
EJ
dx
l
EJ
0
P
dx
MM
P
dx
0
2112
l
0
l
0
=
11
2
2
31
3
11
= 2
2
MM
21
dx
=
EJ
−= 1
EJ
11
2
3
3121
⋅
⋅−=
12
12
3
⋅
3121
Решаем систему канонических уравнений:
1
1
=⋅⋅⋅⋅⋅
;
EJEJ
2
31
3
31
1
1
⋅⋅
2
1
1
2
2
1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
;
EJEJ
1
1
3
5,0
=⋅⋅⋅⋅⋅
;
EJEJ
5,13
−=
;
EJ
1
2
1
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
36
3
5,16
−=
.
EJ
1
()
EJ
ХX
21
1
()
EJ
= М
Х
1
= 10,71 кН⋅м, Х
A
ХX
21
= М
2
=−+
;05,135,0
=−+
;05,1625,0
= 5,57 кН⋅м.
В
Статическая неопределимость балки раскрыта. Изгибающие моменты
и МB вызывают растяжение верхних волокон.
М
A
Для построения окончательных эпюр М и Q производим статический расчет балок AB и BC основной системы на совместное действие
заданных нагрузок и моментов Х
и Х2 (рис. 2.5, а).
1
22
Балка AB
А
X
x
X
M3M
M
= 0, R
МΣ
А
= 0, RА =
МΣ
В
Σ
Y = 0 (проверка), 12·3 − 19,7 − 16,3 = 36 − 36 = 0.
лев
В
=
3
3
57,571,105,1312 +−⋅⋅
= 16,3 кH;
57,571,105,1312 −+⋅⋅
= 19,7 кH;
Балка BC
57,56 +
= 0, RC =
МΣ
В
Σ
Y = 0 , R
пр
В
= R
= 3,86 кH.
C
= 3,86 кH;
3
Окончательные эпюры М и Q приведены на рис. 2.5, б, в. Определяем значение М
а
)
R=A19,7 кН
б
)
10,71
в пролете АВ:
max
М
= MA +
max
=10,71 кН м
1
·
y
2
Q
A
2
q
12 кН/м
R=B 16,3 кН
3 м
71,10
+−=
⋅
=5,57 кН м
2
B
пр
R=B 3,86 кН
5,57
2
7,19
= 5,46 кН⋅м.
122
·
3 м
6 кН м
С
R=C3,86 кН
·
(кН м)
·
6
M
=
5,46
max
в
)
16,3
Q
3,86
(кН)
19,7
г
)
А
B
=
1
С
Рис.2.5
Выполним кинематическую проверку правильности решения задачи.
Для этого «перемножим» окончательную эпюру M с единичными эпюрами
M
1
и
M
и убедимся в выполнении условий деформации основной системы:
2
23
Δ = ϕ
ϕ
1
A
=
l
МM
1
0
dx
EJ
1
31
EJ
6
005,0
()
5,13495,13
−=−=
.
EJEJ
Относительная погрешность вычислений равна
Δ
2
=
Δ
В
=
% =⋅=Δ
005,0
495,13
l
EJ
31
6
MМ
2
dx
EJ
0
%04,0%100
.
3
⋅
−⋅+⋅⋅⋅=
)157,5171,102(
312
12
312
)171,10157,52(
⋅
−⋅+⋅⋅⋅=
12
1
=
⋅⋅
1
2
3
1
+
⋅⋅
1
2
3
⋅−⋅⋅⋅+
, −=−=
)1615752(
6
1
()
5,16495,16
EJ
,
0050
EJ
;
005,0
% =⋅=Δ
%03,0%100
.
495,16
Вычислительные погрешности малы, задача решена правильно.
Значение опорной реакции на промежуточной опоре B в заданной
балке (см. рис. 2.5, а) равно R
= R
B
лев
В
+ R
пр
= 16,3 + 3,86 = 20,16 кН. Вы-
В
полним проверку равновесия балки (статическая проверка):
Σ
Y = 0, 12·3 + 3,86 – 19,7 – 20,16 = 39,86 – 39,86 = 0.
Для определения угла поворота сечения на опоре C построим в принятой основной системе соответствующую единичную эпюру изгибаю-
M
щих моментов
(рис. 2.5, г) и «перемножим» ее с окончательной эпю-
3
рой M:
l
ϕ
С
=
МM
3
dx
EJ
0
31
)157,5162(
6
2,3
−=⋅+⋅⋅−⋅⋅=
.
EJEJ
Поворот сечения C происходит против хода часовой стрелки.
Задача 2.2
Выполнить расчет стальной балки двутаврового сечения I30 при
действии показанной на рис. 2.6, а нагрузки в двух случаях:
• при осадке опоры С на величину с = 0,016 м;
• при условии, что опора B является упруго-податливой с коэффи-
циентом жесткости k = 20 кН/см.
4
В расчетах принять Е = 2,1⋅10
кН/см2.
В статически неопределимых стержневых системах осадка и смещение опор по направлению опорных закреплений (кинематическое воздействие) вызывают появление в стержнях внутренних усилий и напряжений.
24
M
P
x
M
M
Р
R
B
B
)
а
)
А
6 кН/м
B
4 м 2 м
2 м
12 кН
С
c
2 м
6 кН
D
y
б
)
А
6 кН/м
X
B
1
X
1
12 кН
С
6 кН
12
)
в
А
6
С
(кН м
·
1
г
)
А
X=11
X=11
0,5
С
1
ж
д
е
)
)
4,55
)
А
M
max
=
172,
B
29,802
19,45
8 901,
10,45
С
RC=0,25
12
1,55
D
6
Q
=1
М
(кН м)
(кН)
2
·
=51,
C
Рис. 2.6
25
Канонические уравнения метода сил (2.2) при совместном силовом и ки-
нематических воздействиях должны быть дополнены членами
Δ , опре-
ic
деляемыми по формуле
где
c — заданное смещение и
k
−=Δ
R
cR
, (2.6)
k
k
kkic
— реакция на смещаемой опоре в еди-
ничном состоянии.
cR
Произведение
R
акции
и заданного смещения
k
является положительным, если направления ре-
kk
c совпадают.
k
Балка, показанная на рис. 2.6, а, является один раз статически неопределимой. Для решения первой задачи используем основную систему с
промежуточным шарниром в сечении B (рис. 2.6, б). Неизвестным является парный изгибающий момент Грузовая и единичная эпюры
1 B
.
MX =
изгибающих моментов, построенные в основной системе, приведены на
рис. 2.6, в, г. Используя метод Мора и правило Верещагина, определяем
коэффициент и грузовой член канонического уравнения:
l
MM
11
0
11
EJ
dx
2
11
2
2
41
3
8
1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==δ
;
3
EJEJ
l
MM
1
P
1
P
0
dx
EJ
−==Δ
⋅
12
3
1
461
2
1
2
6
2
)165,062(
6
)5,0125,062(
⋅+⋅⋅−+⋅+⋅⋅−⋅⋅
20
−=
EJEJ
.
Величина
Δ равна:
c1
1
3
−
м.
104016,025,0
Cc
⋅−=⋅−=−=Δ cR
Решаем каноническое уравнение
X
X
EJ
111111
3
cP
−=Δ+Δ+δ
3
−
.010420
=⋅−
81
Подставив значения модуля упругости и осевого момента инерции
сечения двутавра J
= 7080 см4 и переведя размерность длины в санти-
z
метры, находим
−
==
MX
1
B
2
108
⋅
434
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
)7080101,21041020(3
2
10802,29
⋅=
кН⋅см = 29,802 кН⋅м.
Окончательные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил приведены на рис. 2.6, д, е. Выполним кинематическую проверку правильности решения по формуле
MM
i
i
k
s
k
ds
EJ
.0=Δ+=Δ
ic
(2.7)
26
l
MM
1
B
0
dx
EJ
1
c
EJ
11
2
2
4802,29
1
−⋅⋅⋅⋅=Δ+=ϕΔ=Δ
3
⋅
12
3
1
46
2
2
(
1
+⋅⋅+⋅⋅
1802,292
6
2
)
1901,85,0802,295,0901,82
6
4
10472,59
=
4
7080101,2
⋅⋅
⋅
333
−−−
=⋅−⋅=⋅−
⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+
.0104104104
−3
=⋅−
104)5,0125,0901,82(
Условие деформации основной системы выполняется. Задача решена
правильно.
Определим прогиб балки на свободном конце. Соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов в принятой основной системе приведена на рис. 2.6, ж:
l
MM
v
D
2
EJ
0
)1122901,8
cRdx
C
1
2
212
EJ
21
()(
6
2
2
⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+ cR
3
=−
C
10736,63
⋅
4
7080101,2
⋅⋅
2
1802,291901,82
21221901,82
+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=−=
6
6
2
=⋅⋅−−
83,2)10016,05,1(
см.
Точка D перемещается вниз.
Наибольшие нормальные напряжения в балке равны:
2
10802,29
нб
M
W
==σ
z
472
⋅
31,6
=
кН/см
2
.
Выполним расчет балки при условии, что опора B является упруго-
податливой, т.е. допускает вертикальное перемещение при нагружении.
Опора B условно изображена на рис. 2.7, а в виде пружины. В этом случае основную систему удобно образовать, отбросив мысленно эту опору
(рис. 2.7, б). Соответствующие грузовая и единичная эпюры изгибающих
моментов приведены на рис. 2
.7, в, г. Каноническое уравнение метода сил
имеет такой же вид, как и в рассмотренном выше случае. Коэффициент и
грузовой член равны:
l
11
MM
11
EJ
0
dx
2
11
2
2
42
3
32
2
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==δ
;
3
EJEJ
l
MM
P
1
P
1
EJ
0
dx
EJ
11
2
2
430
2
−⋅⋅⋅⋅−==Δ
3
⋅
12
3
1
46
2
2
2
+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅
12122302(
6
2
)221130
6
)1121212(
⋅+⋅⋅−+⋅+⋅+
−=
200
EJ
.
27
k
а
M
P
x
M
M
D
)
А
6 кН/м
B
кН/см
k
20
=
12 кН
6 кН
С
D
4 м 2 м
2 м
2 м
y
б
)
А
)
в
А
6 кН/м
B
R
X
=
1
B
B
12 кН
С
12
6 кН
(кН м)
·
С
21
30
2
г
)
А
1
С
1
B
RA=0,5
X=11
RC=0,5
12
д
)
M
max
=
16,3
(кН м)
·
7,9
9,95
е
)
1,002
1,02
13,98
ж
)
А
Рис. 2.7
Поскольку опора B является упруго-податливой, она допускает вер-
тикальное перемещение (осадку), равное
С
10,98
S
=δ
RC=51,
, где
Q
(кН)
6
Р
=1
М
2
XS −= — сила,
1
28
передаваемая балкой на опору. С учетом осадки опоры B каноническое
k
М
M
уравнение метода сил примет следующий вид:
X
1
X
1111
P
−=δ=Δ+δ
.
Переведя длину в сантиметры, решим каноническое уравнение
6
1032
⋅
4
7080101,23
⋅⋅⋅
1
1
+
20
==BRX кН.
X
−
1
05,11
6
10200
⋅
4
7080101,2
⋅⋅
,0
=
Поскольку опорная реакция направлена вверх, при действии нагрузки
балка оказывает давление на упруго-податливую опору. Произведя расчет
основной системы на действие заданной нагрузки и силы
X , построим
1
окончательные эпюры M и Q (рис. 2.7, д, е).
Выполним проверку правильности решения. Осадка упругоподатливой опоры B равна:
X
v
B
1
k
20
05,11
55,0
===
см.
С другой стороны, эта величина может быть получена путем «перемножения» эпюр
l
MM
1
EJ
dx
)
295,919,7
v
B
0
EJ
2
6
и
M
:
1
3
⋅
1
11
2
2
497
2
3
⋅+⋅⋅−+⋅+⋅+
46
−⋅⋅⋅⋅−==
12
)112195,92(
2
EJ
2
2
(
,,,
6
6
1013,8213,82
−=−=
4
7080101,2
⋅⋅
⋅
−=
55,0
195922972
+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅
см.
Знак минус указывает, что перемещение точки B происходит в направлении, противоположном направлению единичной силы, т.е. вниз. Результаты вычисления осадки совпали, следовательно, задача решена правильно.
Определим прогиб балки на свободном конце. Соответствующая единичная эпюра в принятой основной системе приведена на рис. 2.7, ж.
Выполняя «перемножение» эпюр
l
MM
v
D
2
0
dx
EJ
EJ
11
2
2
49,7
3
и
3
46
⋅
1
−⋅⋅⋅⋅−==
12
, получаем
2
1
2
1
2
6
(
M
2
) ()
195,95,19,7
+⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅−+⋅+⋅+ 5,112295,921225,195,92
6
6
1
)5,112
2
2
212
2
⋅⋅⋅⋅+⋅+
3
EJ
−=−=
106,276,27
⋅
4
7080101,2
⋅⋅
19,0
−=
см.
Точка D перемещается вверх.
Наибольшие нормальные напряжения в балке равны:
⋅
472
103,16
29
2
45,3
=
кН/см
2
.
нб
M
W
==σ
z
+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅
5,195,9219,72
Задача 2.3
X
B
M
М1М
X
Выполнить расчет стальной балки двутаврового сечения I24 при
действии показанной на рис. 2.8, а нагрузки и теплового воздействия в пролете с различной температурой по нижним и верхним волокнам. Участок
теплового воздействия показан с помощью пунктирной линии. Закон изменения температуры по высоте поперечного сечения принять линейным.
а
)
10
T2=
А
T
0
30
=
1
2 м
18 кН
0
B
12 кН м
·
С
2 м
1 м
18 кН
б
)
T
2
А
T1=
0
10
=
0
30
С
B
=
R
1
12 кН м
·
48
в
)
г
)
12
(кН м)
·
д
е
ж
30,21
)
)
)
3,103
13,552
Р
=1
Рис. 2.8
=11
4,448
12
Q
2
(кН⋅м)
(кНм)
(кН)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]