Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие

Г л а в а 3

x

РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

3.1. Основные определения и формулы

Под упругим основанием в инженерной практике обычно понимают различные грунтовые и скальные среды (массивы), на которые опираются фундаменты зданий, гидротехнические сооружения, дорожные и аэродромные покрытия.

Конструкция на упругом основании находится под действием внешних нагрузок и реактивного отпора основания, непрерывно распределенного по длине или площади контакта. Закон изменения реактивного отпора не может быть определен из уравнений равновесия. Он зависит от свойств упругого основания и характеризуется его расчетной схемой или моделью. В инженерной практике наиболее часто использует

ся модель основания Винклера, для которой принимается линейная зависимость между реактивным отпором основания и осадкой его поверхности.

При расчете балок на упругом основании Винклера (рис. 3.1) исполь-

зуется формула

(x) = kbv (x), (3.1)

q

r

где q

(x) — реактивный отпор основания; v (x) — прогиб балки, прини-

r

маемый равным осадке поверхности основания; b — ширина площади контакта балки и основания и k — коэффициент жесткости основания, называемый в механике грунтов коэффициентом постели.

v

qx

o

()

P

y

()

qx

r

()

b

x

z

y

Рис. 3.1

Коэффициент постели определяется опытным путем и имеет размер-

3

ность Н/см

, кН/см3, МПа/м и т.п.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании

Винклера имеет следующий вид:

EJ

IV

, (3.2)

)()()( xqxkbx =+ vv

где EJ — жесткость балки при изгибе.

41

При интегрировании уравнения (3.2) производится замена перемен-

ϕ

x

M

P

ной по формуле

kb

ξ = λx, где

4

=λ . (3.3)

4EJ

Параметр λ характеризует жесткость балки и основания и имеет

размерность единицы, деленной на длину (например, 1/см).

M

0

O

α

1

Q

0

y

1 2 3 4 5

α

2

q

α

3

α

4

()

ξ

Рис. 3.2

Решение уравнения (3.2) в форме метода начальных параметров имеет

следующий вид:

Величины

+

10

EJ

P

λ

ϕ

0

+ξ=ξ vv

YY

2

λ

M

EJ

λ

0

Y

3

2

−ξ

q

)(

Y

3

,

v

0

+α−ξ

24

,

0

3

M

0

4

EJ

и

[][]

4

λ

называются начальными параметрами и

Q

0

Q

0

−ξ

EJ

λ

Y

4

3

M

)()( )()()()(

−ξ

EJ

1

λ

Y

2

+α−ξ

13

2

(3.4)

q

.Y

Y

)(1

−α−ξ−

31

4

EJ

λ

4

)(1

α−ξ−

41

5

представляют собой прогиб, угол поворота поперечного сечения, изгибающий момент и поперечную силу в начальном сечении балки x = 0 (ξ = 0),

соответственно. Функции в выражении (3.4) соответствуют нагрузкам и участкам балки, приведенным на рис. 3.2.

Функции Y

, Y2, Y

1

и Y4 представляют собой линейные комбинации

3

произведений гиперболических и тригонометрических функций. Они называются функциями Крылова и определяются по формулам

Y

(ξ) = chξcosξ;

1

Y

(ξ) =

2

(chξsinξ + shξcosξ);

2

1

Y

(ξ) =

3

shξsinξ; (3.5)

2

1

Y

(ξ) =

4

(chξsinξ – shξcosξ).

4

Эти функции повторяются при дифференцировании в соответствии с

формулами

dY

d

dY

1

ξ

4Y

−=

,

4

2

Y

=

d

1

ξ

,

42

dY

d

3

Y

=

ξ

2

,

dY

d

4

Y

=

. (3.6)

ξ

3

При ξ = 0 Y

ξ

'

ξ

'

ϕ

'

M

x

M

P

(0) = 1, Y2(0) = Y3(0) = Y4(0) = 0.

1

Углы поворота поперечных сечений балки, изгибающие моменты и

поперечные силы определяются по формулам

)(

ϕ(ξ) = λ M(ξ) = – EJλ

v ;

2

v = – EJλ

)(

(ξ); (3.7)

Q(ξ) = λ

(ξ).

В начале расчета всегда известны два начальных параметра из четырех. Неизвестные начальные параметры подлежат определению из граничных условий на противоположном конце балки.

Балка на упругом основании может иметь жёсткие опоры, на которых возникают сосредоточенные опорные реакции.

3.2. Примеры решения задач

Задача 3.1

Для балки в виде стального прокатного двутавра I20, свободно расположенной на поверхности упругого основания (рис. 3.3), определить значения прогибов, углов поворота поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях балки с шагом а = l/10 и построить эпюры этих величин. В расчетах использовать программу для ПК. Построить эпюру реактивного отпора основания и выполнить проверку равновесия балки. Проверить прочность балки по нормальным напряжениям.

⋅

В расчетах принять E

γ

= 1,2,

f

γ

= 1,0.

c

= 15 кН

O

y

l1=2,8 м 4,2 м

= 2,1

α

l

= 7 м

104 кН/см2, k = 0,08 кН/см3, R = 21 кН/см2,

= 40 кН/м

q

1

ξ

l

= 6 кН м

()

ξ

·

Запишем с помощью метода начальных параметров выражение для прогиба балки:

ϕ

0

+ξ=ξ Y

YYvv

10

λ

2

M

EJ

λ

0

Y

3

2

−ξ

Q

0

−ξ

EJ

λ

Y

4

3

1

q

)( )()()()(

+ξ

4

EJ

[]

4

λ

Начальные параметры равны:

b

z

y

α−ξ−

.)(1

11

2

x = 0 (ξ = 0), M

= 0, Q

0

43

= – P = – 15 кН.

0

Для определения неизвестных начальных параметров

ϕ

зуем граничные условия

и

v

0

исполь-

0

x = l (ξ = ξ

), M = – 6 кН⋅м = – 6⋅102 кН⋅см, Q = 0.

l

Запишем выражения для углов поворота поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил:

′

λ=ξϕ Y

′

λ=ξ Y

vv

2

3

20

YY

1040

P

EJ

Y

3

2

λ

YEJYEJEJM v

−ξλϕ+ξλ=ξϕ′λ−=ξ Y

PYYEJYEJMQ v

130

+ξϕ+ξλ−=ξ

2

q

+ξ

1

EJ

3

λ

P

Y

24030

λ

1

α−ξ

14

q

−ξ

2

λ

q

−ξ−ξϕλ+ξλ=ξ λ

1

α−ξ

Выполним числовой расчет. Определим параметр λ:

kb

4

EJ

4

==λ

где J, b — геометрические характеристики двутавра

1008,0

⋅

4

1840101,24

⋅⋅⋅

3

−

10482,8

⋅=

1/см,

I20; J = J

= 1840 см

z

b = 10 см.

Жесткость балки при изгибе равна:

4

EJ = 2,1⋅10

⋅1840 = 3,864⋅107 кН⋅см2.

Вычисляем аргументы функций Крылова:

;

)()()()(4)()(

2

;

)( )()(4)(4)()(

α−ξ

13

2

.

)()()(4)(4)()(

12

2

4

;

= λl1 = 8,482⋅10–3⋅280 = 2,375;

α

1

= λl = 8,482⋅10–3⋅700 = 5,937;

ξ

l

– α1 = 5,937 – 2,375 = 3,562.

ξ

l

Определяем необходимые для выполнения граничных условий значе-

ния функций Крылова:

) = Y1(5,937) = 178,2;

Y

1(ξl

) = Y2(5,937) = 56,95;

Y

2(ξl

Y Y Y Y

) = Y3(5,937) = – 32,13;

3 (ξl

) = Y4(5,937) = – 60,61;

4 (ξl

– α1) = Y2 (3,562) = – 11,63;

2(ξl

– α1) = Y3 (3,562) = – 3,592.

3(ξl

Раскрываем граничные условия. Размерность всех величин переведем

в килоньютоны и сантиметры:

2

(–32,13) +

v

0

2

−

95,5615

−

3

−

⋅

10482,8

3

v (56,95) +

0

217815

−⋅

, .

−⋅

⋅

−

)592,3(1040

23

−

)10482,8(

2

,63)11(1040

−⋅

3

−

10482,8

⋅

+ 4⋅3,864⋅10

) = 4⋅3,864⋅107⋅(8,482⋅10–3)

M(ξ

l

7

⋅8,482⋅10–3ϕ0(– 60,61) –

) = 4⋅3,864⋅107⋅(8,482⋅10–3)

Q(ξ

l

7

⋅(8,482⋅10–3)2ϕ0(– 32,13) – 0

⋅

2

⋅−=

106

;

=

44

Решаем систему двух алгебраических уравнений:

ϕ

– 357276

5371,4

v = 0,2528 см,

0

– 79458372ϕ0 = 80142,

v

0

v – 357276ϕ

0

= 2124,5.

0

= – 2,145⋅10–3 рад.

0

Далее расчет производим с помощью программы для ПК, составлен-

ной на кафедре. Вводим свои данные и получаем решение задачи. Начальные параметры равны:

v = 0,253 см,

0

= – 2,15⋅10–3 рад. Результаты рас-

0

чета практически совпали.

Приводим эпюры Q, M, ϕ и

v , полученные с помощью компьютер-

ного расчета (рис. 3.4).

Определяем ординаты реактивного отпора основания по формуле

Винклера:

= kbv = 0,08⋅10v = 0,8v (кН/см) = 80v (кН/м);

q

r

= 80⋅0,253 = 20,24 кН/м; q1 = 80⋅0,12 = 9,6 кН/м;

q

0

= 80⋅0,065 = 5,20 кН/м; q3 = 80⋅0,108 = 8,64 кН/м;

q

2

= 80⋅0,231 = 18,48 кН/м; q5 = 80⋅0,366 = 29,28 кН/м;

q

4

= 80⋅0,45 = 36 кН/м; q7 = 80⋅0,485 = 38,8 кН/м;

q

6

= 80⋅0,499 = 39,92 кН/м; q9 = 80⋅0,531 = 42,48 кН/м;

q

8

= 80⋅0,617 = 49,36 кН/м.

q

10

Эпюра реактивного отпора основания приведена на рис. 3.4. Равнодействующая реактивного отпора численно равна площади этой эпюры. Определим приближенное значение равнодействующей, заменив в пределах участков разбиения кривую линию эпюры прямой линией. При этом равнодействующая определяется как сумма площадей трапеций:

l



0

)d(

r

a

xxqR

2

qq....qqq

109210

70

,

])(2[

+⋅+=+++++≈=

69(224,20[

,

2

кН2,184]36,49)48,4292,398,383628294818648205 =+++++++++ ,,,, .

Выполним проверку равновесия балки:

ΣY = 15 + 40⋅4,2 – R = 183 – 184,2 = – 1,2 кН.

Относительная погрешность составляет:

2,1

=⋅=Δ

183

%,%% 660100

.

Расчетное значение наибольшего изгибающего момента равно:

M

р

= Mнγ

= 8,009⋅1,2 = 9,61 кН⋅м.

f

Выполняем проверку условия прочности:

2

⋅

1061,9

c

кН/см 21γкН/см 22,5

22

,

3

.

где W

M

σ =<=

нб

— момент сопротивления двутавра I20; Wz = 184 см

z

р

== R

W

z

184

45

Условие прочности выполняется.

x

ϕ

M

ϕ

15 кН

40 кН/м

6 кН⋅м

6 кНм

()

ξ

(кН/м)

49,36

6

q

r

Q

(кН)

M

(кН м)

·

20,24

y

15

9,60

4,794

6,490

5,20

0,065

8,009

M

min

8,64

4,324

6,661

18,48

13,573

0,804

29,28

2,440

max

36,00

2,448

38,80

4,082

39,92

4,503

1,368

42,48

3,821

4,383

2,145

1,450

Точка перегиба

0,120

0,253

0,087

1,287

0,065

v

min

Точка перегиба

0,108

2,060

0,231

1,681

4,359

1,621

ϕ

max

0,366

4,080

0,805

Точка перегиба

0,450

0,267

min

0,485

0,234

0,499

0,762

0,531

1,742

0,617

(рад.)

(рад)

⋅103

⋅

10

-3

v

(см)

Точка перегиба

Рис.3.4

46

Г л а в а 4

t

M

x

M

xxM

M

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

4.1. Основные определения и формулы

Кручение стержня вызывается действием пар сил (моментов), расположенных в плоскостях, перпендикулярных к его оси. В поперечных сечениях стержня при кручении возникает только одно внутреннее усилие — крутящий момент M

= M

к

. Для его определения используется метод сечений.

x

Применим этот метод для расчета стержня, находящегося под действием сосредоточенных и распределенных скручивающих нагрузок (рис. 4.1, а).

M

a

)

1

O

y

M

б

)

1

O

z

2

x

M

z

2

MM

=

к

x

m

3

a

в

)

y

z

> к 0

z

< к 0

Рис. 4.1

y

Рассмотрев равновесие левой части стержня (рис. 4.1, б), получим



M

x

= 0

;

MMM

21

;

0

=++−

к

.

MMM −=

21

Таким образом, крутящий момент равен сумме скручивающих моментов, приложенных к одной из частей стержня. При наличии распределенной скручивающей нагрузки m надо определить ее равнодействующий момент M. Для равномерно распределенной нагрузки

ma

= , где a — длина участка распределения.

=m

он равен

cons

Крутящий момент принимается положительным, если он стремится повернуть оставшуюся часть стержня против хода часовой стрелки (рис. 4.1, в).

Между крутящим моментом и интенсивностью распределенной скручивающей нагрузки m имеет место дифференциальная зависимость

dM

к

m

−=

. (4.1)

dx

47

Эта зависимость используется при построении эпюры крутящих мо-

M

x

M

ментов. В частности, на участках, где стоянное значение

M , а на участках с равномерно распределенной

const=

к

0=m , крутящий момент имеет по-

скручивающей нагрузкой m = const крутящий момент изменяется по линейному закону.

Деформация стержня круглого

z

и кольцевого сечений при кручении характеризуется взаимным поворо-

O

том поперечных сечений (рис. 4.2). При этом поперечные сечения остаются плоскими и перпендикулярными к оси (гипотеза плоских сечений). В поперечных сечениях возникают только ка

сательные напря-

жения, связанные с деформациями

(х)

х

(l)

l

y

Рис. 4.2

сдвига γ законом Гука при сдвиге

τ = Gγ, (4.2)

где G — модуль сдвига, определяемый по формуле

E

=

G

. (4.3)

)1(2 ν+

Касательные напряжения в поперечных сечениях стержней круглого и кольцевого сечений определяются по формуле

M

к

, (4.4)

r

J

p

— полярный момент инерции поперечного

где r — переменный радиус и J

=τ

p

стержня, определяемый для сплошного и кольцевого сечений по формулам

44

DR

π

=

; (4.5)

322

π

4

2

4

)(

=−

1

32

4

2

4

)(

DDRRJ

−

, (4.6)

1

где D

π

J

=

p

π

=

p

2

и D2 — соответственно внутренний и внешний диаметры кольца.

1

Характер эпюр касательных напряжений для стержня сплошного и кольцевого сечений показан на рис. 4.3, а, б.

a

)

τнб

M

к

O

нб

б

)

к

O

нб

τнб

D

1

r

D

R

Рис. 4.3

2

48

Касательные напряжения направлены перпендикулярно к радиусу и

ϕ

изменяются вдоль него по линейному закону. Наибольшие напряжения возникают в точках на поверхности стержня и определяются по формуле

M

к

нб

=τ

, (4.7)

W

p

где W

— полярный момент сопротивления, определяемый для стержня

p

сплошного и кольцевого сечений по формулам

33

DR

π

; (4.8)

162

4

2

)(

RR

1

π

=−

16

D

4

2

4

)(

DD

−

1

W

J

p

π

p

==

=

R

J

π

p

== . (4.9)

2

RR

22

При расчете стержней кольцевого сечения удобно ввести соотношение k = R

1/R2

= D1/D

и принять D2 = D. При этом получим

2

4

D

π

J

=

p

32

3

π

W

D

= . (4.11)

p

16

4

)1(

k

−

; (4.10)

4

)1(

k

Угол взаимного поворота поперечных сечений (угол закручивания стержня) в общем случае определяется по формуле

x

M

к

, (4.12)

GJ

dx

p

x

)(

+ϕ=ϕ

0



0

где креплено, то

— угол поворота начального сечения. Если начальное сечение за-

0

= 0. Произведение GJp называется жесткостью стержня

0

при кручении.

Для частного случая

x

0

=ϕ )(

GJ

= 0, M

xM

к

,

p

= const и GJp = const получим

к

lM

к

l

=ϕ=ϕ )(

, (4.13)

GJ

p

где l — длина стержня.

Для стержней с постоянной или ступенчато постоянной жесткостью

GJ

= const имеем

p

где

l

)(

l Ω==ϕ

GJ

p

— площадь эпюры крутящего момента, наиболее просто опреде-

Ω

M

к

dxM

к M



0

11

GJ

, (4.14)

К

p

ляемая при линейном законе его изменения.

Элементы конструкции, работающие на кручение, наиболее часто встречаются в машиностроении, где основным методом расчета на прочность является метод допускаемых напряжений. Условие прочности при кручении стержней круглого сечения имеет следующий вид:

49

нб

ϕ

M

W

к

p

][τ≤=τ

, (4.15)

где

][τ

— допускаемое касательное напряжение. Условие прочности по-

зволяет определить требуемый диаметр стержня круглого сплошного или кольцевого сечений:

D

≥

16kM

3

к

. (4.16)

4

)1]([

−τπ

При k = 0 имеем стержень сплошного сечения, а при k < 1 определяется внешний диаметр стержня кольцевого сечения D

= D.

2

Стержни, работающие на кручение, должны обладать достаточной жесткостью. Условие жесткости при кручении имеет следующий вид:

M

GJ

к

p

где

′

нб

′

][

— допускаемый относительный угол закручивания (угол закручи-

вания на единицу длины стержня). Он принимается в пределах

()

215,0 ÷= град/м.

′

][ϕ

≤=ϕ

, (4.17)

′

][

=

Условие жесткости также позволяет определить требуемый диаметр стержня:

32

M

4

−π

kG

. (4.18)

′

])[1(

ϕ

D

≥

4

При расчете стержня на прочность и жесткость принимается больший из двух требуемых диаметров.

4.2. Примеры решения задач

Задача 4.1

Для стального стержня круглого сплошного ступенчато-постоянного сечения, находящегося под действием показанных на рис. 4.4, а скручивающих нагрузок, построить эпюру крутящих моментов. Выполнить подбор сечения стержня из условий прочности и жесткости. Построить эпюру касательных напряжений в опасных сечениях участков стержня.

Построить эпюру углов закручивания. В расчетах принять G=0,8

⋅

=0,8 и k = D

104 кН/см2, [ϕ'] =1 град/м = 1,75·10−4 рад/см, [τ] = 80 МПа = 8 кН/см2

/D = 0,8.

1

Поскольку стержень имеет одно закрепленное сечение, он является

⋅

105 МПа=

статически определимым. Определим значения крутящих моментов в сечениях, начиная со свободного конца:

50