Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие
.pdf
А
М
ϕ=ϕ
x
M=
M=
1
В
1
С
1
,4
2 м
1
3 м
Рис. 1.9
2 м
«Перемножаем» единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:
0,4
l
MМ
1
Р
В
EJ
0
⋅
+
12
dx
EJ
3
+
314
4,01
⋅
2
21
()()
6
2
()
⋅−⋅⋅+
6
3
+⋅+⋅⋅−==ϕΔ
12441242
,,
11840182
6
4,0124,0182
05,11
=
.
EJ
Результаты вычисления практически совпали. Запишем окончатель-
()
ные выражения для
EJ
′
241
!2
1
xx v
EJ
() ()
xv
() ()
=ϕ
xv и ϕ(х):
32
12
xx
!3
1
24
12
x
()
215
2111
x,
−−+−=
−
() ()
+
!3
2
x
!2
1
111
,
() () ()
215
−+−=
−
+
!2
43
214
−
−
!4
2
32
214
−
−
!3
2
+⋅+⋅⋅
4
514
−
xxx
!4
514
−
xxx
!3
;
3
3
.
3
Вычислим значения
,x 0 ,0
=== vv ;0
0
x
x
,м2
== v
лев
,м5
== v
2
1
левправ
EJ
1
EJ
0 ,м7 == v
(шарнирная опора),
1
EJ
2
v и ϕ в характерных сечениях балки:
=
0
32
2241
⋅
212
⋅
−
6
⋅
−⋅=ϕ
224
2
1
B
EJ
5241
⋅
512
⋅
−
6
512
524
⋅
−⋅=ϕ
2
⋅
−⋅=ϕ
724
712
2
32
=
2
212
,
EJEJ
24
=
;
EJEJ
35,1
()
,
11124
=+=ϕΔ+ϕ=ϕ
;
EJ
4332
⋅
−⋅+
,
3111
315
6
315
,
111
⋅
−+
+
2
⋅
,
−+
111
515
+
2
⋅
314
322
24
=
−=
EJ
⋅
214
+
314
⋅
6
⋅
514
−
6
6
EJ
,
3322
,
962
,
523
.
29,5
−=
EJ
.
11
В качестве проверки определим некоторые значения v и ϕ с помо-
В
М3R
В
М
М
1
М
3
щью метода Мора. Соответствующие единичные эпюры приведены на
рис. 1.10, 1.11 и 1.12.
2
А
2м
2 м 2 м
()
2
v
Р
=1
В
3м
м
Рис. 1.10
l
ММ
Р
2
EJ
0
dx
11
2
2м
2
224
3
С
2
32
2
=⋅⋅⋅⋅⋅==
.
EJEJ
0,8
Р
=1
С
А
= 0 6
,
C
1,2
2м
3м
2м
l
MM
3
EJ
⋅
P
dx
3
314
()
5
v
0
+
12
1
2,1
2
Рис. 1.11
11
2
EJ
2
()
6
224
0,6
2
3
1
8,0
2
⋅−⋅⋅+⋅
2,1122,1182
2
318
+⋅⋅+⋅⋅==
2,1
3
9,62
=
.
EJ
()
=1
А
С
4
0,4
2м
2 м
3м
2м
2 м
Рис. 1.12
3
1
314
⋅
12
6,0
+⋅
2
.
EJ
11
2
2
224
3
1
4,0
2
6,01211811226,0182
⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅−+
2
318
3
−=
6,0
EJ
−⋅⋅−⋅⋅−==ϕ
45,29
MM
7
4lP
0
dx
EJ
2
()
6
12
Результаты вычислений практически совпали. Эпюры v и ϕ приве-
ϕ
x
B
B
х
М
дены на рис. 1.8, д, е. Отметим их особенности. В сечении В угол поворота
имеет скачок, а касательные к эпюре ϕ параллельны оси. На эпюре
v в
этом сечении излом и смена знака кривизны. В сечении, где Q обращается
в нуль, на эпюре ϕ имеется точка перегиба. В сечении на третьем участке,
где М = 0, угол поворота имеет экстремальное значение ϕ
, а на эпюре v
min
имеется точка перегиба. В сечении на втором участке, где ϕ = 0, прогиб
v
имеет экстремальное значение
max
.
Задача 1.3
Для балки (рис. 1.13, а) построить эпюры Q и М и определить прогиб и угол поворота в
сечении С.
Данная балка является статически неопределимой, поскольку
для определения трех опорных
, R
реакций R
и МВ можно ис-
А
В
пользовать два уравнения равно-
)
О
б
)
8,26
A
R
A
2 м
y
C
1
х
0
18 кН/м
3 м
2
3
−
0
М
В
R
45,74
Q
(кН)
39,7
а
весия ΣY = 0 и ΣМ = 0. Составим
в
выражение для прогиба балки с
помощью метода начальных параметров:
3
xQxM
0
EJEJ 4!3!2!
q
+−−ϕ+=
1
()
2
xx vv
00
0
)
16,52
()
x
4
2
−
.
EJ
2
М ,
= 18 4
max
Рис. 1.13
(кН м)
·
Начальные параметры равны:
х = 0,
Для определения неизвестных начальных параметров
v = 0, 0M = 0.
0
и
Q исполь-
0
зуем граничные условия:
х = 5 м,
v = 0, ϕ = 0.
Составим выражение для углов поворота ϕ(х) и раскроем граничные
условия:
!3
−
EJ
;0
3
2
.
;
2
2
xQ
() ()
()
v
()
5
′
v
xx
=ϕ
⋅
Q
55
0
0
−ϕ=
0
6
5
⋅
Q
0
−ϕ=ϕ
2
0
0
EJ
!2
3
5
⋅
+
24
EJEJ
2
318
⋅
+
6
EJEJ
()
xq
+−ϕ=
1
4
318
=
3
.0
=
13
0
Решаем систему алгебраических уравнений:
EJE
P
М
83,20
Q
5
0
5,12
0
0
Q
0
81
−=−ϕ
J
75,60
−=−ϕ
;
EJEJ
.
EJ
3,22
===ϕ
RQ
00
A
.кН26,8 ,
Определяем значения Q и М в характерных сечениях балки:
= QС = R
Q
А
= М0 = 0, М
М
А
= 8,26⋅5 – 18⋅3⋅1,5 = – 39,7 кН⋅м.
М
В
= 8,26 кН , QВ = 8,26 – 18⋅3 = – 45,74 кН ,
А
= 8,26⋅2 = 16,52 кН⋅м,
С
Эпюры Q и М приведены на рис. 1.13, б, в. Определяем экстремальное значение момента:
=
,
=
3
−
x
00
0
⋅
462268
−⋅=
,,М
,x
2
46018
,
.м460 ,
.мкН418
,
⋅=
,
x
max
7445268
2
Определяем прогиб и угол поворота в сечении С:
3
1
()
C
C
2
()
2
1
22,3
23,22
−⋅==vv
6
⋅
−=ϕ=ϕ
2
Задача 1.4
Для консольной рамы со стержнями различной жесткости (рис. 1.14, а)
определить с помощью метода Мора перемещения точки К.
Построим грузовую и единичные эпюры изгибающих моментов (рис.
1.14, б, в, г, д). Поскольку при определении перемещений в балках и рамах
используется интеграл Мора, содержащий изгибающие моменты, построение эпюр Q и N не обязательно. Для определения вертикального и горизонтального перемещений точки К в этом сечении приложены единичные
силы
, а для определения угла поворота — единичный момент
1=
«Перемножаем» грузовую и единичные эпюры в пределах длины каждого стержня и суммируем результаты:
l
k
MM
P
1
P
1
P
2
3
P
k
k
k
0
l
k
0
l
k
0
EJ
2
EJ
3
EJ
dx
MM
P
dx
2
MM
P
dx
11
+⋅⋅⋅⋅−==Δ
622
2
3
1
()
6
1
1
+⋅⋅⋅−==Δ
126
2
1
2
363302
226,8
⋅
=
2
226,8
=
−
630
2
⋅
38
+⋅+⋅⋅−==Δ
12
−
630
2
EJEJ
5,78
EJEJ
3
1
2
−⋅⋅
13
6,33
;
.
.
1=
3
⋅
−⋅⋅
23
12
⋅⋅
3
3
⋅
38
⋅
12
38
⋅
2
6
=
;
EJEJEJ
27
−=
;
EJEJ
1
3
−=
.
EJEJEJ
14
а
М
М
К
Ρ
М
)
8 кН/м
б
)
6 кНм
6 кН⋅м
6
EJ
М
Р
EJ
2
3 м
(кНм)
(кН⋅м)
6
2 м
г
в
)
2
М
1
Р
= 1
)
М
30
д
)
Р
= 1
2
3
1
3
Рис. 1.14
Точка К перемещается вниз и вправо. Сечение К поворачивается
против хода часовой стрелки.
Задача 1.5
1
= 1
Для шарнирно опертой рамы (рис. 1.15, а) определить с помощью
метода Мора перемещения точки К.
Определяем опорные реакции от действия заданных нагрузок:
Χ
= 0, Н
Σ
= 0 , – 12⋅3⋅1,5 – 6⋅2 – 18 + 3VB = 0, VB = 28 кН ;
ΣМ
А
= 0 , 12⋅3⋅1,5 – 6⋅2 – 18 – 3VА = 0, VА = 8 кН ;
ΣМ
В
= 6 кН;
А
ΣY = 0 (проверка), – 12⋅3 + 8 + 28 = – 36 +36 = 0 .
Строим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 1.15, б).
Точка К может иметь только горизонтальное перемещение. Приложим
в точке К горизонтальную единичную силу
и построим единичные эпюры изгибающих моментов (рис. 1.15, в, г).
1=
«Перемножив» эти эпюры с грузовой эпюрой М
15
и единичный момент
1=
, получим
Р
P
M
P
М
(
)
1
P
2
l
k
MM
1
P
k
0
l
k
k
0
а
)
EJ
2
dx
3
MM
P
1
EJEJ
3
1
1
EJ
2
31
()
6
1212
31
()
6
2
212
3
2182122
+⋅−⋅⋅+
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==Δ
22122
⋅
12
+
3
312
1
⋅
2
54,3
2
=
;
EJEJ
+⋅⋅⋅==Δ
3
312
1181122
⋅
+⋅−⋅⋅+
12
б
)
1
1
=
⋅⋅
2
5,24
.
EJEJ
18
y
12 кН/м
12
H
A
6 кН
= 6 кН
2
К
К
3
EJ
A
V
2
EJ
x
= 8 кН
A
3 м
2
3
EJ
B
2 м
2 м
V
=28 кН
B
18 кНм
18 кН⋅м
12
К
= 1
1
(кНм)
кН⋅м
1
1
К
Рис. 1.15
Точка К перемещается вправо, сечение К поворачивается по ходу
часовой стрелки.
16
Г л а в а 2
M
B
A
M
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
БАЛОК И РАМ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СИЛ
2.1. Основные определения и формулы
В статически неопределимых стержневых системах число неизвестных опорных реакций или внутренних усилий превышает число независимых уравнений равновесия, которые можно составить для их определения. Разность между ними характеризует степень статической неопределимости системы n, т.е. число избыточных или «лишних» связей.
Наличие промежуточного шарнира, соединяющего два стержня (простой шарнир),
понижает степень статической неопределимости на единицу. Наличие шарнира, соединяющего k стержней, понижает степень
статической неопределимости на величину k – 1, поскольку такой шарнир
эквивалентен k – 1 простым шарнирам.
На рис. 2.1 показана один раз статически неопределимая балка, для
которой n = 3 – 2 = 1. Рама, изображенная на рис. 2.2, два раза статически
неопределима (n = 6 – 3 – 1 = 2). Напомним, что жесткая заделка эквива-
лентна трем опорным стержням.
P
B
M
A
R
A
R
P
B
M
A
q
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Степень статической неопределимости плоской стержневой системы
можно определить по формуле
n = – W = – (3Д – 2Ш – С
), (2.1)
о
где W — число степеней свободы системы; Д — число жестких (геометрически неизменяемых) элементов, условно называемых дисками; Ш —
число простых шарниров и С
— число опорных стержней.
о
Применив формулу (2.1) для рамы, изображенной на рис. 2.2, получим
n = – (3⋅2 – 2⋅1 – 6) = 2.
Таким образом, при n ≥ 1 система является статически неопределимой, при n = 0 она статически определима, а при n < 0 представляет собой геометрически изменяемую систему или «механизм».
17
При расчете статически неопределимых стержневых систем необхо-
ϕ+ϕ=ϕ
B
A
R
A
M
R
B
B
M
BMB
M
Х
М
димо использовать дополнительные уравнения, составляемые из условий
деформации системы. Одним из основных методов расчета статически неопределимых стержневых систем является метод сил.
При использовании метода сил надо устранить (отбросить) в заданной
статически неопределимой системе «лишние» связи и образовать так называемую основную систему, которая должна быть геометрически и
мгновенно неизменяемой. Основны
х систем может быть несколько, из них
выбирается наиболее удобная для расчета.
В основной системе по направлению реакций в отброшенных связях
прикладываются неизвестные силы или моменты X
, X2,…, X
1
. Они пред-
n
ставляют собой опорные реакции или внутренние усилия в сечениях, где
устранены «лишние» связи. Поставив условие, что деформации основной
и заданной систем должны быть одинаковыми, надо в основной системе
приравнять к нулю линейные или угловые перемещения по направлению
реакций в отброшенных связях от совместного действия нагрузок и неизвестных. Таким образом можно сост
торые позволяют определить неизвестные X
авить дополнительные уравнения, ко-
, X2,…, X
1
, т.е. раскрыть ста-
n
тическую неопределимость задачи.
Рассмотрим основные системы для один раз статически неопределимой балки (рис. 2.3, а).
a
)
P
Для образования первой основной системы отброшена шарнирная опора B (рис. 2.3, б). Неиз-
M
A
вестным является опорная реакция
= R
X
1
б
)
A
P
B
составляется из условия равенства
нулю прогиба в точке B в основ-
. Дополнительное уравнение
B
ной системе от совместного дейст-
X=R
в
)
=
1
X=M
1
A
1
А
A
P
вия нагрузок и неизвестного X
.
vvv
01=+=
BXBPB
Для образования второй основ-
:
1
ной системы жесткая заделка A заме-
нена шарнирно неподвижной опорой (рис. 2.3, в). Неизвестным явля-
г
)
A
P
C
ется реактивный момент X
= MA.
1
Дополнительное уравнение характе-
X=M
1
C
X=M
1
C
ризует равенство нулю угла поворота в сечении A основной системы:
01=
Рис. 2.3
AXAPA
18
.
Для образования третьей основной системы в сечении C введен
ϕΔ+ϕ
шарнир (рис. 2.3, г). Неизвестным является изгибающий момент X
= MC,
1
приложенный по обе стороны от шарнира. Такое неизвестное называется
парным. Дополнительное уравнение характеризует равенство углов поворота сечений в точке C основной системы, т.е. равенство нулю взаимного
угла поворота:
.
Δ
01=
CXCP
Решая дополнительные уравнения, можно определить все неизвест-
ные метода сил. Если в результате решения знак неизвестного X
оказался
i
положительным, то это означает, что его направление соответствует принятому в начале расчета, а если отрицательным, то его направление надо
изменить на противоположное.
Дополнительные уравнения удобно записывать в так называемой ка-
нонической форме метода сил:
XXX
XXX
2211
XXX
=Δ+δ++δ+δ
;0.....
11212111
Pnn
22222121
Pnn
............................................................
............................................................
=Δ+δ++δ+δ
;0.....
(2.2)
=Δ+δ++δ+δ
.0.....
nPnnnnn
Уравнения (2.2) относятся к выбранной основной системе и характеризуют равенство нулю линейных или угловых перемещений по направлению
реакций в отброшенных (устраненных) связях. Коэффициенты системы
δ
ij
представляют собой перемещения по направлению реакций в отброшенных связях от действия единичных сил или моментов X
главной диагонали системы (2.2) коэффициенты
δ , 22δ ,…, nnδ называ-
11
= 1. Стоящие на
j
ются главными коэффициентами. Они всегда являются положительными.
Коэффициенты
(i ≠ j) называются побочными коэффициентами.
δ
ij
Для них на основании теоремы Бетти о взаимности работ справедливо равенство
=
δ
ij
. Побочные коэффициенты могут быть положительными,
δ
ji
отрицательными и равными нулю.
Величины
Δ называются грузовыми или свободными членами. Они
iP
равны перемещениям в основной системе по направлению реакций в отброшенных связях от действия заданных нагрузок. Грузовые члены могут
быть положительными, отрицательными и равными нулю.
Отметим, что при рациональном выборе основной системы часть побочных коэффициентов и грузовых членов обращается в нули, что приводит к упрощению расчета.
Вид канонических уравнений не зависит от выбора основной сист
емы,
а их число равно степени статической неопределимости заданной системы.
19
Для определения коэффициентов и грузовых членов системы (2.2)
M
обычно используется метод Мора. Для систем, стержни которых работают
в основном на изгиб (балки и рамы), имеем
MM
ji
=δ
ij
k
s
k
В формулах (2.3)
EJ
M
,
ds
и
M — изгибающие моменты в стержнях ос-
i
j
=Δ
iP
k
новной системы от действия единичных сил или моментов X
а
— изгибающий момент в основной системе от действия заданных
M
P
MM
Pi
ds
EJ
s
k
. (2.3)
= 1 и X
i
= 1,
j
нагрузок.
Интегрирование в формулах (2.3) производится в пределах длины каждого стержня, а суммирование — по всем стержням системы.
Для систем с прямыми стержнями постоянной или ступенчатопостоянной жесткости EJ вычисление интегралов (2.3) производится с
помощью правила Верещагина, т.е. путем «перемножения» эпюр.
После решения канонических уравнений и определения всех неизвестных можно построить окончательные эпюры изгибающих моментов
M, поперечных и продольных сил Q и N. При этом для простой основной
системы можно произвести ее расчет на совместное действие заданной нагрузки и всех неизвестных.
Для сложных рамных систем удобно вначале построить окончательную эпюру M с помощью суммирования ординат эпюр по формуле
......
M =
M +
P
2211 nn
XMXMXM +++
(2.4)
Затем строится эпюра поперечных сил Q с помощью дифференциального соотношения
′
= Q. Значения продольных сил N определяются
с помощью уравнений равновесия ΣX = 0, ΣY = 0 узлов рамы.
После построения эпюры M необходимо выполнить кинематическую
проверку правильности решения и убедиться в выполнении условий деформации основной системы. Кинематическая проверка выполняется по
формуле
MM
k
i
EJ
s
k
ds
0=
. (2.5)
При использовании правила Верещагина результаты «перемножения»
всех единичных эпюр с окончательной эпюрой M должны быть равны нулю.
После построения эпюр M, Q и N определяются опорные реакции и
производится проверка равновесия системы в целом.
Определение перемещений в статически неопределимой системе производится с помощью любой (наиболее удобной) основной системы. При
этом надо построить в основной системе соответствующую единичную
M
эпюру
и «перемножить» ее с окончательной эпюрой M.
k
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]