Сопротивление материалов. Часть 2 (2-е издание). Учебное пособие

32

σ

v

1

п

1

2

25,7

1

3

EJEJ

где Е — модуль упругости; Е = 2,1⋅10

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

zz

4

кН/см2. Размерность длины в чис-

)10(1010

⋅

4

3040101,2

⋅⋅

=

,см157,0

лителе переведена в сантиметры.

Определим критическую силу Эйлера в плоскости изгиба:

P

2

ЕJ

π

=

э

z

=

2

l

0

400

42

3040101,2

⋅⋅⋅π

2

=

.кН3934

Наибольший суммарный прогиб и суммарный изгибающий момент от совместного действия сжимающей силы Р и силы Р

определяются по

1

формулам (6.9) и (6.10):

v

п

=

v

Р

1

−

Р

э

п

157,0

=

==

;м0,00199см199,0

825

1

−

3934

=+= РvММ

.мкН49,10,00199825,57 ⋅=⋅+

Для опасного сечения стержня определяем нормальные напряжения в нижних и верхних волокнах:

M

Р

н

в

F

Р

M

W

z

825

,W

825

8,46

,

+−=+−=σ

846

304

−−=−−=σ

304

2

10149

⋅

2

1014,9

⋅

2

−=−=

2

−=−=

,,

;МПа2146кН/см6214

;МПа3,206кН/см63,20

.

По формуле (6.11) производим проверку прочности по наибольшим сжимающим напряжениям:

σ = 206,3 МПа < σ

в

= 230 МПа .

т

Условие прочности выполняется.

(МПа)

206,3

−

Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении приведена на рис. 6.6.

Задача 6.2

y

Рис. 6.6

146,2

Центрально сжатый стержень, составленный из двух жестко соединенных между собой двутавров, имеет различные опорные закрепления в двух главных плоскостях Oxy и Oxz (рис. 6.7). Материал стержня — малоуглеродистая сталь с расчетным сопротивлением R = 200 МПа и

пределом текучести силы Р

= 380 кН, коэффициент надежности по нагрузке

н

фициент условий работы

σ

= 230 МПа. Нормативное значение сжимающей

т

γ

= 1,2, коэф-

f

γ

= 1. Подобрать сечение стержня из условия

с

устойчивости в двух главных плоскостях.

81

Расчетное значение сжимающей силы

μ

ϕγ

x

х

Р

равно:

=4 ,5 м

l

О

y

у

1

y

у

Рис. 6.7

Р = Р

= 380⋅1,2 = 456 кН.

нγf

Приняв в первом приближении коэффици-

ент продольного изгиба равным ϕ = 0,5, определим из условия устойчивости (6.6) необходимую площадь сечения стержня:

F

P

О

z

b

По сортаменту принимаем сечение 2

≥

R

ϕγ

с

456

=

2010,5

⋅⋅

2

.

см 645,

I18 и

выписываем необходимые геометрические характеристики: F = 2⋅23,4 =46,8 см

4

см682

,J

= , b = 9 см.

y

1

2

, i

= 7,42 см,

z

Определим момент инерции и радиус

инерции сечения относительно главной оси Oy.

422

1

yy

1

J

i

y

1113

846

,F

,

===

=⋅+=+= bFJJ

.см8774

;см1113)5,44,236,82(2])5,0([2

Вычисляем приведенную длину и гибкость стержня в двух главных плоскостях:

• в плоскости Oxy

l

900

;3121

= ll

0

y

=⋅=

,см9004502

0

y

z

427

,i

,

===λ

• в плоскости Oxz

= ll

0

z

=⋅=

,см4504501

z

l

450

0

y

===λ

8774

,i

.392

,

Таким образом, стержень может потерять устойчивость в плоскости Oxy, в которой гибкость имеет большее значение. По таблице коэффици-

ентов продольного изгиба для λ = 121,3 с помощью линейной интерполяции находим

,,

42504790

, 47201203121

−

4790 =−

−=ϕ

()

.,,

10

Проверяем устойчивость стержня:

456

Р

846

,F

2

====σ

МПа497кН/см749

,,

> .МПа49420014720 ,,R

с

=⋅⋅=

Условие устойчивости не выполняется. Проверим устойчивость стержня большего сечения 2

I20, для которого определяем

82

F = 2⋅26,8 = 53,6 см

ϕγ

P

x

/

Р

2

, J

= 2⋅1840 = 3680 см

z

4

, W

= 2⋅184 = 368 см

z

900

i

= 8,28 см,

z

y

==λ

288

,

, ϕ = 0,545.

7108

,

Проверка условия устойчивости в плоскости Оху дает следующий результат:

456

P

653

,F

2

====σ

МПа0785кН/см5078

,,

< .МПа10920015450 =⋅⋅=

с

,R

3

,

Условие устойчивости выполняется. Принимаем сечение 2

I20.

Определяем критическую силу и критические напряжения.

Гибкость λ

= 108,7 > 100. Критическую силу определяем по формуле

y

Эйлера:

P

кр

2

EJ

π

=

z

=

2

l

0

900

42

3680101,2

⋅⋅⋅π

2

=

.кН7,940

Критические напряжения равны

кр

P

кр

F

7940

,

653

,

2

====σ

,,

.МПа5175кН/см5517

По формуле (6.7) определяем коэффициент запаса устойчивости:

P

n 472

кр

y

P

н

380

,

7940

===

.,

Произведем расчет стержня на прочность при продольно-поперечном изгибе в плоскости Oxy при совместном действии сжимающей силы и поперечной нагрузки (рис. 6.8). Нормативные значения нагрузок равны

Р

= 380 кН, qн = 2 кН/м.

н

q

Умножим величины нормативных нагрузок на коэффициент запаса по нагрузкам:

О

=3 кН м

п

v

Р = Р

q = q

Определим наибольший изгибающий момент М

= 380⋅1,5 = 570 кН,

н·пp

= 2⋅1,5 = 3 кН/м.

н·пp

и прогиб

п

v

п

4,5 м

30,38

от действия поперечной нагрузки q = 3 кН/м. На рис. 6.8 приведены

4,5

эпюры изгибающих моментов от нагрузки q и единичной безраз-

мерной силы

,Р 1= приложенной

Рис. 6.8

на свободном конце стержня. «Перемножая» эти эпюры по правилу Верещагина, получим



11

v

п



2



2

5,438,30

3

⋅

5,4

−⋅⋅⋅⋅=

12

1

5,43

2

83

 

5,4

⋅⋅



EJEJ



==

zz

=570 кН

М

п

(кНм)

3680101,2

(кН⋅м)

М

323

)10(81,15381,153

=

1

.

см99,1

= 1

⋅

4

⋅⋅

Размерность длины в числителе переведена в сантиметры.

М

σ

Суммарный прогиб и суммарный изгибающий момент от совместного действия сжимающей силы Р и поперечной нагрузки q определяем по формулам (6.9) и (6.10).

v

п

=

v

=

P

1

−

P

э

=

РvММ +=

п

99,1

==

;м0,0505см05,5

570

1

−

7,940

.мкН659,10,0505570,3830 ⋅=⋅+

Производим по формуле (6.11) проверку прочности по наибольшим сжимающим напряжениям, возникающим в нижних волокнах стержня в сечении, совпадающем с заделкой:

2

368

⋅

1016,59

2

==

МПа267,1кН/см71,26

> МПа 230

=σ .

т

M

Р

н

F

W

570

+=−−=σ

z

6,53

Условие прочности не выполняется. Принимаем сечение 2 I22, для ко- торого F =2⋅30,6 см

и производим повторный расчет:

=v

п

,

4

,

4361

,

2

= 61,2 см

6

1081153

⋅

51001012

⋅⋅

,

=

=v

570

1

−

71303

570

н

,

2

1092,44

⋅

+=σ <

2,61

464

2

, J

= 2⋅2550 = 5100 cм

z

42

;см4361

,,

==

=Р

э

;м02550см552

2

==

900

2

МПа9,189кН/см99,18

4

, W

=2⋅232 = 464 см

z

5100101,2

⋅⋅⋅π

=

=σ

т

;кН7,1303

МПа 230

.

3

;мкН 9244,0,0255570,3830 ⋅=⋅+=

Условие прочности выполняется.

,

Нормальные напряжения в верхних волокнах стержня в опасном сечении равны:

2

464

1044,92

⋅

2

==

МПа. 73,6кН/см 3670,

570

в

+−=σ

61,2

(МПа)

3,67

Эпюра нормальных напряжений в сечении, совпадающем с заделкой, приведена на рис. 6.9.

−

189,9

84

Задача 6.3

R

F

μ

γ

ϕ

R

х

Центрально сжатый деревянный стержень, составленный из двух жестко соединенных между собой оцилиндрованных бревен, имеет различные условия закрепления в главных плоскостях (рис. 6.10). Соединение бревен схематически показано с помощью пунктирной

Р

2 м

линии. Определить, в какой плоскости может произойти потеря устойчивости стержня, и выполнить подбор сечения, приняв Р

R = 1,3 кН/см

2

, γf = 1,2, γc = 1,0.

= 150 кН,

н

Выразим геометрические характеристики сечения через радиус круга

R

2

J

=

z

i

y

2

π= ,

 

2 RRR

 

J

4

R

π

4

y

==

F

π

2 R

=

y

4

π⋅+

4

5,0

π

R

=

2

π

R

:

4

 



4

5,0

,

π=

422

,

5,2

π=



R

J

z

,

i

22

z

==

F

4

π

5,2

R

2

π

2

R

Определим гибкость стержня в главных плоскостях:

l

y

=λ ,

y

i

z

4001=⋅⋅

=

R

2

5

8,357

R

μ

l

z

=λ

z

=

y

2 м

О

y

R

О

z

y

Рис. 6.10

5

R

=

4005,0=⋅⋅

.

2

400

2

.

RRi

Поскольку

Oxz

плоскости

. Определим расчетное значение сжимающей силы:

Примем в первом приближении

, потеря устойчивости стержня может произойти в

λ>λ

yz

кН.

⋅=fPP

нp

1802,1150 =⋅=

4,0=

и определим требуемую ве-

личину площади сечения:

F

P

ϕγ≥R

c

=

180

=

⋅⋅

3,10,14,0

15,346

см

2

.

Определим радиус и диаметр бревен и выполним проверку устойчивости стержня в плоскости

2

=π= RF

Oxz

:

см

2

,

42,7=

см,

z

R

15,3462

400400

9,53

===λ

42,7

По данным табл. 6.1 для деревянных стержней определяем коэффициент продольного изгиба:

712,08,0

8,0)9,53( =⋅

−=ϕ

10

−

.

766,09,3

.

85

Выполняем проверку устойчивости стержня, используя формулу (6.6)

γ

R

γ

D

γ

D

х

Р

х

y

в виде, рекомендованном СНиП:

P

=

ϕF

180

⋅

679,0

=

кН/см

766,015,346

2

< R

3,1=

c

кН/см

2

.

Условие устойчивости выполняется с излишним запасом. Желательно уменьшить размер сечения. Во втором приближении примем

=ϕ

766,04,0=+

2

.

58,0

Выполняем повторный расчет:

400

9,64

z

==λ

16,6

P

2

≥π= RF

180

=

3,10,158,0

⋅⋅

612,0712,0

712,0)9,64( =⋅

−=ϕ

−

7,238

см

2

,

16,6=

см,

,

663,09,4

10

180

14,1

=

ϕF

⋅

=

кН/см

663,07,238

2

< R

кН/см

c

3,1=

2

.

В качестве третьего приближения выполним проверку устойчивости

,

612,0712,0

12=

см, 6=R см:

кН/см

3,1=

2

.

645,067,6

стержня, приняв с округлением диаметр бревен

400

7,66

z

==λ

6

P

=

ϕF

,

180

2

712,0)7,66( =⋅

−=ϕ

23,1

=

645,062

⋅⋅π

кН/см

2

< R

−

10

c

Условие устойчивости выполняется с небольшим запасом. Примем окончательно бревна диаметром

12=

см.

Р

Задача 6.4

Верхний сжатый пояс фермы состоит из двух жестко соединенных между собой стальных равнополочных уголков. Условия закрепления стержня в главных плоскостях одинаковые (рис.

=3 м

l

6.11). Соединение стержней схематически по-

казано с помощью пунктирной линии.

О

y

О

z

Установить, в какой плоскости возможна потеря устойчивости стержня, и выполнить подбор сечения. Определить величину критиче-

=

1см

ской силы и коэффициент запаса устойчивости.

,

y

Рис. 6.11

В расчетах принять Р

γ

= 1,2,

f

γ

= 0,9,

c

Расчетное значение сжимающей силы равно:

86

P

= 300 кН, R = 20 кН/см2,

н

σ

= 23 кН/см2.

т

p

кН.

3903,1300 =⋅=

Примем в первом приближении

ϕ

μ

R

ϕ

γ

ние площади сечения стержня:

F

P

ϕγ≥R

c

=

По сортаменту примем сечение Геометрические характеристики равны:

4,382,1922

1



J

y

 



=⋅== FF см

83,2

== yz см,

00



83,21792

 

390

┘└

++⋅=

1

2

⋅⋅

2

,

2

 



6,0=

и определим требуемое значе-

1,36

см

2

.

=

209,06,0

.10100100 ××

4

см

179

==zyJJ

11

см,

05,31==zzii



⋅

=

 



8,7832,19

см

,

4

,

8,783

52,4

=

i см.

y

⋅

=

2,192

Определим значение гибкости стержня в главных плоскостях:

Поскольку

плоскости

l

y

=λ

y

i

z

λ>λ

Oxy

. Выполним проверку устойчивости стержня в этой плоско-

3001=⋅

=

05,3

, потеря устойчивости стержня может произойти в

zy

4,98

,

z

сти. По данным табл. 6.1 для стальных стержней при

l

z

=λ

i

y

3001=⋅

=

.

4,66

52,4

200=

МПа опре-

деляем коэффициент продольного изгиба:

599,0665,0

665,0)4,98( =⋅

−

−=ϕ

.

61,04,8

10

Значение коэффициента

оказалось несколько больше принятого в

начале расчета. Очевидно, что условие устойчивости будет выполняться.

P

ϕF

390

6,16

=

⋅

=

кН/см

61,04,38

2

< R

18=

c

кН/см

2

.

Поскольку имеется небольшой запас устойчивости, выполним про-

верку устойчивости стержня с меньшей площадью сечения

┘└

Геометрические характеристики равны:

1

=⋅== FF см

см,

300== yz

3001=⋅

=λ

y

39,3

P

=

ϕF

5,88

,

390

⋅

8,16

=

кН/см

675,04,34

,

734,0)5,88( =⋅

−=ϕ

−

39,31==zzii

==zyJJ

11

см,

665,0734,0

10

2

< R

c

кН/см

18=

198

2

4,342,1722

см

2

.

4

,

.

675,05,8

Принимаем более рациональное в смысле расхода материала сечение

┘└

.8110110 ××

87

.8110110 ××

Поскольку

P

y

, для определения критической силы используем

100<λ

эмпирическую формулу Тетмайера — Ясинского:

кН/см

кр

9,205,88114,031 =⋅−=λ−=σ ba

2

,

кН.

кркр

7194,349,20 =⋅=σ= FP

Коэффициент запаса устойчивости равен:

P

n

у

P

719

кр

300

н

4,2

===

.

Задача 6.5

Стержень в виде стальной трубы ∅ 200×4 мм с одинаковыми закре-

плениями в главных плоскостях испытывает продольно-поперечный изгиб (рис. 6.12).

=3 кН

P

= 200 кН

О

1

P

v

п

= 200 кН

x

200

v

3 м3 м

y

4 мм

z

δ = 4 мм

Нормативные значения нагрузок равны: Р = Р

= 200 кН, Р1 = Ру = 3 кН.

х

Выполнить расчет стержня на прочность и устойчивость. В расчетах принять R = 20 кН/см

2

,

γ

= 1,2,

f

γ

= 1,0,

c

σ

= 23 кН/см2, Е = 2,1⋅104 кН/см2.

т

Определяем геометрические характеристики сечения. Внешний и

внутренний радиусы трубы равны:

102/20

2

==R см, 6,94,010

21

=−=δ−= RR см.

Последовательно определяем:

2

()( )

yz

WW

yz

1

2

π

4

()()

== RRJJ

R

2

J

1183

z

2

10

=−

1

====

222

=−π=−π= RRF

π

44

3

3,118

см

,

2

см

,

6,246,910

444

11836,910

=−

см

4

,

1183

94,6

===yzii

см.

6,24

Вначале выполним расчет стержня на прочность в плоскости про-

дольно-поперечного изгиба

Oxy

. Нормативные значения нагрузок умно-

жим на коэффициент запаса

n

p

3005,1200 =⋅=

5,1=

:

кН,

88

5,45,13

1

=⋅=P

кН.

Определим величину критической силы по формуле Эйлера:

γ

A

B

P

2

EJ

π

=

Э

2

l

0

=

2

()

4

1183101,2

⋅⋅⋅π

2

6001

⋅

=

168

кН.

Определим прогиб стержня в середине пролета от действия силы

по табличной формуле:

3

lP

1

v см.

п

48

==

EJ

3

6005,4

⋅

4

1183101,248

⋅⋅⋅

815,0

=

Суммарный прогиб в середине пролета определяем по приближенной

формуле (6.9):

v

п

=

v

P

1

−

P

Э

815,0

46,1

=

см.

300

1

−

681

Суммарный изгибающий момент в середине пролета равен:

P

l

M P

MM

п

1

4

=+=Δ+= v

6005,4

⋅

1013,1146,1300

⋅=⋅+

2

кН⋅см.

4

Выполним проверку прочности стержня по сжатым волокнам:

2

M

P

A

F

W

300

+=−−=σ

6,24

1013,11

⋅

6,214,92,12

=+=

кН/см

3,118

2

23=σ<

т

кН/см

2

.

P

1

Условие прочности выполняется.

Напряжения в крайних нижних волок-

21,6

нах стержня равны:

M

B

Эпюра

P

F

8,24,92,12 −=+−=+−=σ

кН/см

W

σ приведена на рис. 6.13.

2

.

z

Выполним проверку устойчивости

стержня:

6001=⋅

=λ=λ

zy

734,0)4,86( =⋅

−=ϕ

94,6

665,0734,0

−

10

2,1200

P

⋅

=

69,06,24

ϕF

⋅

4,86

,

69,04,6

1,14

=

кН/см

.

2

< R

c

y

Рис. 6.13

20=

кН/см

2

.

Условие устойчивости также выполняется. Отметим, что в СНиП по стальным конструкциям рекомендуется ис-

(кН см )/

2,8

2

пользовать специальный метод расчета сжато-изогнутых стержней с учетом формы поперечного сечения.

89

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление ма-

1.

териалов. Москва: Высшая школа, 1995.

Атаров Н.М. Сопротивление материалов в примерах и задачах. Мо-

2.

сква: ИНФРА-М, 2010.

Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Москва: Физматгиз, 1962.

3.

Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материа-

4.

лов с основами строительной механики : учебник / под ред. Г.С. Варданяна. Москва: ИНФРА-М, 2011.

Дарков А.В, Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. Москва: Выс-

5.

шая школа, 1965.

Никифоров С.Н. Сопротивление материалов. Москва: Высшая шко-

6.

ла, 1966.

Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теория упругости и пла-

7.

стичности. Москва: АСВ, 1998.

Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластич-

8.

ности : учебник / Г.С. Варданян [и др.]; под ред. Г.С. Варданяна и Н.М. Атарова. 2-е изд., испр. и доп. Москва: ИНФРА-М, 2011.

Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т. 1, 2. Москва: Наука,

9.

1965.

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Москва: Наука, 1979.

10.

Филоненко–Бородич М.М. и др. Курс сопротивления материалов.

11.

Москва: ГИТТЛ. Ч. 1. 1955; ч. 2, 1956.

90