Заключение

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

Файл:

Сборник расчётных работ и задач по материаловедению. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Техносферная безопасность».pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

(% i10) pickapart(%,1);

(% t10)

(% t11) −

π∆Z

π3∆Z

6λ

(% o11) %t10 + %t11 + ...

(% i12) (C0*(2*%t7*(%t10+%t11)*α*λ+2*%pi*∆Z))/

(2*%pi*∆Z);



(% o12)

C02αcos

2πZ



π∆Z

2π∆Z

−

π3∆Z

6λ



λ + 2π∆Z

Сравнение полученного выражения с формулой (10.1) показывает, что в результате действия одного термического пика должно произойти местное изменение концентрации молибдена на следующую величину (вычитаем):

Листинг 10.1 (продолжение)

(% i13) ∆C:%-subst([z=Z],C),expand;





2πZ

(∆C) −

π2C0∆Z2αcos

6λ

Оценим время ∆t, за которое весь объём сплава пройдёт через состояние термического пика:

∆t =

где N – число пиков, создаваемых облучением в единичном объёме сплава за единицу времени, V – объём одного термического пика; β – коэффициент (больший единицы), учитывающий частичное наложение областей термических пиков, из-за чего их требуется больше, чем при регулярном распределении.

Составим отношение ∆C/∆t, которое ввиду малости частного ∆z/λ

приравняем к ∂C/∂t и далее, по второму уравнению Фика

∂C

∂t

= D

∂2C

∂z

Вторую производную в правой части найдём, дважды продифференцировав уравнение (10.1). Поделив на неё ∆C/∆t, получим искомый коэффициент диффузии D.

Листинг 10.1 (окончание)

(% i14) ∆t:β/(N*V)$ (% i15) ∆C/∆t;





2πZ

(% o15) −

π2C0NV ∆Z2αcos

6βλ

(% i16) assume(C0>0,N>0,V>0,α>0,β>0,

cos((2*%pi*Z)/λ)>0)$

(% i17) D:(∆C/∆t)/subst([z=Z],diff(C,z,2));

(D)

NV ∆Z

24β

Отметьте, что полученное выражение не зависит от концентрации, периода эвтектоида, координаты и протяжённости области выравнивания концентрации.

Ответ: D =

NV (∆z)

24β

В листинге 10.1 обратите внимание на одновременное использование букв z строчной и Z прописной. Рекомендуем записать промежуточные уравнения по всем правилам записи физических уравнений и сравнить свой вариант с формулами (13.23)–(13.27) из учебника [1].

Задача 10.2 (12.5 из [2]). Сталь сосуда под давлением облучают при 300 °С до флюенса 1020 н/см2. Оцените изменение ∆TDиз-за такого облучения, используя уравнение

dσ

dTD=

dσ

d(φt)

·d (φt) ,

где σi– напряжение трения, φt – флюэнс. Принять, что

∆TD=

dσ

d(φt)

·∆ (φt) .

dσ

Для σiиспользуйте формулу Макена

в которой σ

(0)

σi= σ

(0)

= 6, 64 ГПа, α = 1, Σs= 0.26 см−1, размер кластера 6 нм,

[1 −exp (−αVΣst) ]

1/2

dTD/dσi= 0, 3 К/МПа.

Решение. Сначала введём выражение для σiи продифференцируем его. Затем подставим числовые значения, переводя ГПа в МПа (можно наоборот), нм в см (множитель 10−7). Объём кластера оценим как куб его размера. В последней строчке вычисляется ∆TD.

Листинг 10.2

(% i1) σi:σi0*sqrt(1-exp(-α*V*Σs*φt));

(σi) σi01 −%e

−V Σsα φt

(% i2) diff(σi,φt);

−V Σsα φt

(% o2)

V Σsα σi0 %e

21 −%e

(% i3) %,σi0:6640,α:1,Σs:0.26,V:(6e-7)^3,φt:1e20;

(% o3) 6.79765390673987410

−19

(% i4) ∆TD:0.3*%*1e20;

(∆TD) 20.39296172021962

Результат округлим: ∆TD≈20.4 К.

Задача 10.3 (12.3 из [2]). Электронно-микроскопическое исследование образца нержавеющей стали, облучённого при 400 °C флюенсом быстрых нейтронов 1022н/см2(E > 0, 1 МэВ), обнаружило пустоты со средним диаметром 40 нм и числовой плотностью 2.2 ·1015см−3. Кроме того, имеются разорванные петли диаметром 16 нм с числовой плотностью 1.8 · 1015см−3. Увеличение критического напряжения сдвига, вызванное барьерами, выражается как ∆τ = αµb/l (µ = 80 ГПа, b = 2.5 Å). Предполагая, что оба типа дефектов действуют как жёсткие барьеры (α =

= 1 для пустот, α = 1/2 для разорванных петель) и распределены в виде

регулярных квадратных массивов, необходимо осуществить следующие действия:

– вычислить межчастичное расстояние в кубических решётках;

– рассчитать изменение критического напряжения сдвига ∆τ в резуль-

тате облучения;

– ответить на вопрос, что вызывает большее упрочнение, пустоты или

петли?

Решение. В кубической решётке на одну ячейку приходится одна частица, поэтому длина ребра ячейки равна обратному кубическому корню из числовой концентрации частиц:

пуст

пет

√

2.2 ·10

√

1.8 ·10

= 7,69 ·10−6см ≈77 нм;

= 8,22 ·10−6см ≈82 нм.

Получены расстояния между центрами частиц. Чтобы найти расстояния между границами частиц, нужно из полученных чисел вычесть диаметр соответствующей частицы:

= 77 −40 нм = 37 нм,

пуст

= 82 −16 нм = 66 нм.

пет

Подставляем эти значения в уравнение для изменения критического напряжения сдвига ∆τ

= 1 ·

= 0,5 ·

0,25 нм

37 нм

0,25 нм

66 нм

·80 ГПа = 0, 54 ГПа;

·80 ГПа = 0, 15 ГПа.

∆

пуст

∆

пет

Как видим, пустоты в данном случае вызывают большее упрочнение стали.

Задача 10.4 (13.3 из [2]). Болт из стали Inconel 718 удерживает некий механический компонент ядерного реактора. Срок его службы определяется релаксацией механических напряжений ввиду радиационной ползучести. Болт подлежит замене, когда его нагрузка падает до 10% от начальной. Для малых доз облучения, получаемых болтом, предположим, что скорость деформации ползучести˙ε при облучении пропорциональна скорости получения повреждающей дозы˙φ и механическому напряжению σ:

ε = −B˙φσ. (10.2)

Рассчитайте повреждающую дозу φ (в смещениях на атом – сна), по получении которой механическое напряжение на болте падает до 10% от первоначального значения. Модуль упругости E имеет постоянное значение 76 ГПа, а коэффициент радиационной ползучести B равен 1,6 ×

−6

×10

МПа−1сна−1.

Решение. Поскольку модуль упругости постоянен, механическое напряжение на болте снижается вследствие необратимой деформации ползучести. Согласно закону Гука, σ = Eε. Выразим отсюда относительную деформацию ε и подставим в уравнение (10.2):

d (σ/E)

= −B˙φσ или

dσ

= −BE˙φσ.

Решаем полученное дифференциальное уравнение

dσ

= −BE˙φ dt,

кон

dσ

= −BE˙φ

кон

= −BE˙φt

кон

dt,

По условию задачи σкон/σ0 = 0,1 (10%). При постоянной скорости получения повреждающей дозы˙φ произведение˙φt

представляет собой

кон

искомую повреждающую дозу φ. Рассчитываем её:

φ=−

ln0.1

= −

ln0.1

1.6 ·10−6·7,6 ·10

= 18,9 сна.

Заметьте, что модуль упругости был переведён в МПа (76000 МПа) для согласования единиц измерения.

Ответ: болт следует заменить по получении им повреждающей дозы

18.9 сна или несколько раньше.

Задача 10.5 (14.7 из [2]). Образец аустенитной нержавеющей стали подвергается воздействию потока быстрых нейтронов с флюэнсом

φ = 5 ·1014см−2(E > 1 МэВ) и механическому напряжению, равно-

му половине предела текучести без облучения (σy= 280 МПа). Через 300 дней образец анализируют с помощью просвечивающей электронной микроскопии (ПЭМ). Оказалось, что 30% границы зерна со средним диаметром d = 20 мкм покрыты пустотами или пузырьками со средним размером (диаметром) 2R0= 50 нм. Учитывая, что˙ε = Cσφ, где

C = 1.3 ·10

−27см2

/МПа, сделайте прогноз времени разрушения образца tf.

Решение. Представим, что пузырьки расположены на границах зёрен равномерно и составляют квадратную решётку. Тогда в углах квадрата

b ×b находится четыре четверти круга радиусом R0и общей площадью

πR

. Расстояние между центрами пузырьков b находим по уравнению

πR

= f = 0.3,

где f – доля покрытия пузырьками площади (30%). Отсюда

b = R



= 25



3.14

0.3

= 81 нм.

Поскольку степень покрытия превышает 25%, принимаемых в реалистических расчётах, за конечное состояние перед разрушением требуется принять касание шаровых пузырьков друг друга (теоретический предельный случай). При этом их радиус будет равен Rf= b/2 = 40, 5 нм.

Рост пузырьков вследствие облучения нейтронами в материале под механическим напряжением описывается уравнением [2, формула (14.84)]





R =

2.5

d ·˙ε.

Вычислим скорость ползучести˙ε, принимая во внимание, что механическое напряжение равно σ = σy/2 = 280 МПа/2 = 140 МПа:

ε = Cσφ = 1.3 · 10

−27

·140 ·5 ·1014= 9.1 ·10

−11c−1

Время до разрушения tfнаходим интегрированием от начального радиуса пузырька R0до конечного Rf:

tf=

Листинг 10.3

(% i1) Rdot:d*epsdot*(b/R)^2/2.5$ (% i2) integrate(1/Rdot,R,R0,Rf);

(% o2) −



2.5

b2d epsdot

R f



−

Из последней формулы (листинг 10.3) видно, что значения R, b и d следует брать в одних и тех же единицах, тогда время получится в секундах. Выберем нанометры (20 мкм = 20000 нм) и подставим:

(% i3) %,Rf=40.5,R0=25,b=81,d=20000,epsdot=9.le-11;

(% o3) 3545560.108488779

(% i4) bfloat(%),fpprec:3;

(% o4) 3.55b6

т. е. 3.55 · 106с. Это 984 часа (около 41 суток).

Вопрос. Округление в какую сторону будет безопасным в данном случае?

Библиографический список

1. Физическое материаловедение: учебник для вузов : в 6 т. / под ред. Б. А. Калина. Т. 4. Физические основы прочности. Радиационная физика твёрдого тела. Компьютерное моделирование / Е. Г. Григорьев, Ю. А. Перлович, Г. И. Соловьёв [и др.]. Москва : МИФИ, 2008. 696 с.

2. Вас Гэри, С. Основы радиационного материаловедения. Металлы и сплавы : пер. с англ. Москва : ТЕХНОСФЕРА, 2014. 992 с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По нашему мнению, вышеописанные расчётные работы и задачи по материаловедению могут с успехом дополнить лабораторный практикум по этой дисциплине. Выполняя их, студенты привыкают использовать компьютер в учебной деятельности, приобретают общие навыки расчётов, которые затем могут применять в других областях. Следует, однако, предостерегать их от переписывания в тетрадь всех выданных компьютером цифр, верно оценивать число значащих цифр, распознавать ошибки округления в безопасную и опасную сторону.

Самостоятельные задания (по вариантам) способствуют тому, чтобы работа студентов была индивидуализирована и не сводилась к механическому набору уже готовых программ на MAXIMA. Преподавателю можно рекомендовать просчитать один вариант перед всей аудиторией, выводя результаты через проектор на доску, если есть такая возможность, а затем раздавать варианты и рассаживать студентов за отдельные компьютеры.

Автор выражает надежду, что если его коллеги привыкли использовать для расчётов какой-либо другой пакет компьютерной математики, то им не составит труда перевести представленные в пособии программы на соответствующий язык.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Оглавление