Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник расчётных работ и задач по материаловедению. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Техносферная безопасность».pdf
Работа 6. ОЦЕНКА ДОЛГОВЕЧНОСТИ МАТЕРИАЛА
С УСТАЛОСТНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
Детали машин и механизмов, подвергающиеся действию циклических (обычно синусоидальных) нагрузок, на каждом цикле необратимо накапливают микроскопические повреждения. Это явление называют
усталостью материала (англ. fatigue). «Уставший» металл впоследствии
может разрушиться под действием нагрузок существенно меньше его
предела прочности при однократном нагружении.
Наиболее наглядными (и опасными!) механизмами накопления усталостных повреждений являются зарождение и рост трещин. Трещина
в изделии – это его «слабое» звено, её вершины концентрируют механические напряжения и «ползут». Вместе с тем трещины выявляют на
макроскопическом уровне факт усталости материала и дают возможность
прогнозировать долговечность изделия, изготовленного из него. В прикладной механике даже есть раздел – теория трещин.
Задача настоящей работы – ознакомиться с методом оценки долговечности изделия по размеру обнаруженной в нём трещины и свойствам
материала, а также провести оценочный расчёт.
Обнаружение трещины происходит в случайный момент времени,
поэтому её начальная длина l0носит неопределенный характер. Конечно,
лучше всего проводить периодические осмотры и выявлять трещины как
можно раньше. Дальнейший рост происходит согласно уравнению Париса
dl
= AY ∆σ√l
dN
n
,
где N – число циклов нагружения амплитудой ∆σ (играет роль времени
в кинетическом, по сути, уравнении), Y – безразмерная функция длины
трещины, учитывающая геометрию детали, A и n – эмпирические параметры материала. Трещина растет по указанному уравнению, пока не
достигнет критической длины lc(critical), после чего рост переходит в катастрофический режим с быстрым разрушением изделия. Критическая
длина определяется из уравнения
41
K
f c
√
= σ
lcY, (6.1)
f
где K
(fatigue critical) – вязкость разрушения (трещинностойкость) мате-
f c
риала, характеризующая его сопротивление развитию трещин, измеряется
в Па·м1/2, σf– предел выносливости материала, Па, т. е. наивысшее
механическое напряжение (амплитуда периодической нагрузки), при котором образец этого материала не разрушается при сколь угодно большом
числе циклов нагружения (не создаёт микротрещин). Предел выносливости при разовом нагружении (N = 1) соответствует пределу прочности.
Задача состоит в расчёте числа циклов нагружения Nc, за которое
трещина с начальной длиной l0достигнет критической длины lc. Если
известен период нагрузки, число циклов можно пересчитать во время,
получив долговечность.
6.1. Оценка предела выносливости
В первой части работы оценивается предел выносливости σfиз кривой Альфреда Вёлера (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Типичная кривая выносливости (кривая Вёлера) для железа и стали
[1]: N – число циклов нагружения; σ – амплитуда нагружения; σf– предел
выносливости
Как нетрудно догадаться, эта кривая строится в обратном порядке:
задаётся то или иное значение амплитуды механического напряжения
(ордината) и находится число циклов нагружения до разрушения образца (абсцисса). σfопределяют как σ при N → ∞. Для проведения такой
экстраполяции график перестраивают, по оси абсцисс откладывая 1/N,
и экстраполируют на нуль (рис. 6.2).
42
Рис. 6.2. Пример определения величины σf: N – число циклов нагружения; σ –
амплитуда нагружения; 178,4 МПа (σf) – предел выносливости; точками обозначены экспериментальные значения; прямая линия проведена по нескольким первым
точкам
Здесь σfопределяется по четырём первым точкам, эта величина
равна ≈178 МПа.
Задание 6.1. Возьмите из табл. 6.1 вариант по указанию преподава-
теля и оцените σf.
6.2. Расчёт критической длины трещины
Вторая часть работы отводится расчёту критической длины трещины
lc. Здесь важно то, что функция Y не только сама безразмерна, но и зави-
сит от безразмерного отношения длины трещины и характерного размера
изделия λ = l/b; например, для балки b это её ширина.
Обычно функция Y получается в табличном виде и затем аппрок-
симируется, но аппроксимирующее выражение не обязательно допускает
43
Таблица 6.1
Результаты испытаний материалов на выносливость [1]
N, тыс.
циклов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Амплитуда механического напряжения σ, МПа
25 420 462 378 441 399 389,3 366,7 407 391 392,7
50 330 363 297 346,5 313,5 305,9 288,1 319,7 307,2 308,5
100 280 308 252 294 266 259,6 244,4 271,3 260,7 261,8
150 260 286 234 273 247 241,2 227 251,9 242,1 243,1
200 240 264 216 252 228 222,5 209,5 232,6 223,4 224,4
600 210 231 189 220,5 199,5 194,7 183,3 203,5 195,5 196,4
1000 195 214,5 175,5 204,8 185,2 180,8 170,2 189 181,5 182,3
1400 190 209 171 199,5 180,5 176,1 165,9 184,1 176,9 177,7
2000 189,9 208,9 170,9 199,4 180,4 176 165,9 184 176,8 177,6
Номер варианта
решение уравнения (6.1) в аналитическом виде. Например, для балки
Y (λ) = 1,99 −0,41λ + 18,7λ2−38,48λ2+ 53,85λ3.
Возможны два варианта.
1. Находим значение Y для единственно известного значения l, т. е.
λ0= l0/b. Смотрим, вычислив производную, убывает она в этой точке или
возрастает. Если убывает, то значение Y(λ0) будет завышено по сравнению с Y (λc) (где λc= lc/b), а вычисленное из (6.1) lc– заниженным.
Это систематическая ошибка в безопасную сторону, в связи с чем она
допустима. Конечно, если критическая трещина выйдет неправдоподобно
короткой, то точный расчёт неизбежен (см. ниже).
Если же функция Y в точке λ0возрастает (строка 11 в листинге 6.1 –
производная положительна), этот способ неприменим, ибо систематическая ошибка будет направлена в опасную сторону – завышение длины
критической трещины.
2. Численное решение уравнения (6.1) с предварительным построением графика для оценки положения правой границы. Так, на графике
листинга 6.1 видно, что кривая пересекает ось абсцисс между значениями
0,3 и 0,4, и в строке 15 задаётся именно этот интервал. Если пересечение
не наблюдается, следует расширить интервал абсцисс графика (в примере это 0,06–0,5). Кроме того, проверьте размерность значений величин
в первой строке, возможно, дело именно в этом.
Задание 6.2. Для того же варианта (задание 6.1), используя ранее
вычисленное значение σf, рассчитайте lcдвумя указанными способами
и сравните их.
44
Листинг 6.1. Расчёт критической длины трещины двумя способами
(вариант 1 из табл. 6.1 и 6.2)
(% i7) sigmaf:178.5$ L0:0.03$ b:0.2$ sigma:170$
Kfc:165$ A:1.7e-11$ n:3.5$
(% i8) Y(lambda):=1.99-0.41*lambda+18.7*lambda^2-
38.48*lambda^3+53.85*lambda^4$
(% i10) lambda0:L0/b; Y0:Y(lambda0);
(lambda0) 0.15
(Y0)
2.2466415625
(% i11) subst([lambda=lambda0],diff(Y(lambda),lambda));
(% o11) 3.329574999999999
(% i12) Lc1:(Kfc/(Y0*sigmaf))^2;
(Lc1) 0.1692871016496996
(% i13) Z(lambda):=sigmaf*Y(lambda)*sqrt(b*lambda)-Kfc$
(% i14) wxplot2d([Z(lambda)],
[lambda,0.06,0.5],[nticks,20])$
(% t14)
45
(% i16) find_root(Z,0.3,0.4); Lc2:%*b;
(% o15) 0.3653824508056541
(Lc2) 0.07307649016113082
6.3. Оценка предельного числа циклов нагружения
Третья часть работы заключается в интегрировании уравнения Париса в пределах от начальной длины трещины до критической с целью нахождения предельного числа циклов Nc. Достаточно сложный вид функции Y (λ) препятствует аналитическому взятию интеграла в ещё большей
степени, чем решению алгебраического уравнения (6.1). Опять же возможны два варианта действия.
1. Принимаем Y = const = Y (λ0). Тогда
l
c
w
dl
= A(Y∆σ)
1/2
l
l
0
n
−1
2
l
−l
c
n
2
0
−1
n
=
2
N
c
w
n
dN ,
0
−1A(Y∆σ)nNc,
откуда легко выражается Nc.
Вопрос. Функция Y в точке l0должна убывать или возрастать, что-
бы приближение Y = const давало ошибку в безопасную сторону, т. е.
занижало Nc?
2. Используем численное интегрирование:
λ
c
w
Y (λ)nλ
λ
0
dλ
= A(∆σ)nb
n/2
n
−1
2
Nc,
откуда выразите Ncсамостоятельно.
Задание 6.3. Для того же варианта (задания 6.2), используя ранее вычисленные значения σfи lc, рассчитайте Ncдвумя способами и сравните
результаты.
Листинг 6.2. Расчёт долговечности изделия двумя способами (вариант 0)
(% i17) Nc1:fix((L0^(1-n/2)-Lc1^(1-n/2))/((n/2-
-1)*A*(Y0*sigma)^n));
(Nc1) 726
46
(% i18) quad_qag(1/(Y(lambda)^n*lambda^(n/2)),
lambda,lambda0,%th(3),3);
(% o18) [0.1039039345261533, 1.15356540460080210
−15
,31, 0]
(% i19) Nc2:fix(first(%)/(A*sigma^n*b^(n/2-1)));
(Nc2) 319
Вопрос: какова размерность величины A?
Таблица 6.2
Исходные данные для задачи [1]
Параметр Номер варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l0, мм 30 45 40 35 20 25 25 15 35 35
b, мм 200 250 300 250 200 250 300 250 300 200
∆σ, МПа 170 140 150 170 180 200 90 70 120 100
K
f c
1/2
, МПа·м
A×10
n 3,5 3,2 3,0 2,9 2,5 2,6 3,2 3,3 2,9 3,6
165 140 120 150 100 90 60 50 70 80
12
17 1,8 20 1,5 14 1,3 30 2,5 19 1,6
Библиографический список
1. Сазонов, К. Е. Материаловедение. Руководство к лабораторным
работам. Санкт-Петербург : Издательство РГГМУ, 2006. 96 с.
Работа 7. ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ ЗДАНИЯ
К ЛАВИНООБРАЗНОМУ ОБРУШЕНИЮ
Прогрессирующее разрушение – это лавинообразный процесс, при
котором несущие конструкции, сохранившиеся в первый момент аварии,
не выдерживают дополнительной нагрузки, ранее воспринимавшейся повреждёнными элементами, и тоже разрушаются. Начальное локальное
повреждение распространяется в виде цепной реакции от элемента к элементу, что в конечном счёте приводит к обрушению всего сооружения
или непропорционально большой его части. Это свойственно сложным
конструкциям, обычно – многоэтажным зданиям.
Рассмотрим первый этап лавинообразного обрушения на учебном
примере одного этажа многоэтажного здания, в котором нагрузка от верхних этажей выдерживается сеткой колонн, а стеновое ограждение – не
несущие навесные панели [1]. В результате аварии одна из колонн любого этажа здания исчезает из расчётной схемы (разрушается тем или
иным образом). Следует установить, выдержит ли нескомпенсированную
нагрузку верхнего этажа арматура перекрытия, а конкретно – превысит
ли нагрузка на арматуру (стальную проволоку в составе железобетона)
предел текучести материала. Если да, то последующая пластическая деформация вызовет обрушение потолка, что может привести к жертвам
и дальнейшему развитию процесса разрушения. Если же нет, то деформация будет упругой (потолок лишь прогнётся), что позволит эвакуировать
людей и приступить к аварийно-спасательным работам.
Участок многоэтажного здания с регулярной разбивкой сетки колонн 6,0 ×6,0 м и монолитными железобетонными междуэтажными перекрытиями приведен на рис. 7.1. Перекрытия здания на рассматриваемом
участке монолитные, из бетона класса В25, толщиной t = 240 мм, защитный слой бетона толщиной a = 25 мм. Плиты перекрытия армированы
сетками, нижней и верхней, из стержней диаметромd=12мм с ячейкой
250 мм, класс арматуры А400. Колонны здания железобетонные, бетон
класса В45, сечение 400 × 400 мм, высота 3,5 м. Расчётные значения
нагрузки: собственный вес конструкций перекрытия и пола – 7,6 кН/м2,
нагрузка от мебели и людей – 2,4 кН/м2.
48
Рис. 7.1. План и разрез рассматриваемого участка здания [1]. Цифры и буквы в кружках
(слева) обозначают положения колонн на этаже, числа – длину, мм
Рассматривают все возможные аварийные ситуации, сопровождающиеся разрушением той или иной колонны. Число таких ситуаций
можно существенно уменьшить, выделив по специфике последующего
возможного обрушения плит перекрытия несколько характерных групп
колонн, так что разрушение любой колонны из одной и той же группы
будет сопровождаться идентичным механизмом возможных обрушений
плит перекрытия. В рассматриваемом фрагменте здания можно выделить
шесть характерных групп колонн.
I. Колонны, расположенные на расстоянии более 6 м от любой из стен.
II. Колонны, расположенные на расстоянии 6 м от одной стены и более
6 м от остальных стен.
III. Колонны, расположенные на расстоянии 6 м от двух смежных стен
и более 6 м от остальных стен.
IV. Колонны, расположенные у самой стены, расстояние до остальных
стен больше 6 м.
V. Колонны, расположенные у самой стены, расстояние до одной из
стен 6 м, до остальных более 6 м.
VI. Угловые колонны.
Если в здании есть узкие (6–12 м) участки, возможны и другие типы
колонн (нарисуйте).
Таким образом, достаточно рассмотреть шесть проектных аварийных
ситуаций с несколькими возможными механизмами обрушения.
Разберём проектную аварийную ситуацию с разрушением одной из
колонн из группы I. Процесс деформации верхней плиты перекрытия
при исчезновении такой колонны может развиваться по двум схемам,
показанным на рис. 7.2, 7.3.
7.1. Первая схема деформации плиты
Рассмотрим первую схему деформации плиты (рис. 7.2).
49
Рис. 7.2. Схема первого механизма деформации плит перекрытия при разрушении колонны I группы [1]. Цифры и буквы в кружках обозначают положения колонн на этаже,
числа – длину, мм. «1–1» и «2–2» помогают
соотнести правый чертёж с левым
Четыре смежные квадратные плитки 6,0 ×6,0 м, каждая из которых
одним из углов опиралась на исчезнувшую центральную колонну, перегибаются по аксиальным диагоналям, образующим ромб. Таким образом,
возникают шарниры пластичности двух типов – четыре диагонали плиток и четыре отрезка смыкания между четырьмя просевшими треугольниками.
Рассчитаем двугранные углы по шарнирам пластичности методами
аналитической геометрии. Приурочим плоскость XOY к начальной плос-
кости плиты и рассмотрим квадратную плитку с координатами вершин
A(0, 0, 0), B (L, 0, 0), C (L, L, 0), D(0, L, 0) (нарисуйте). Она перегибается
по диагонали BD, и вершина A опускается на малую высоту h, принимая
координаты A′(0, 0, −h). Плоскость X OY, в которой остаётся треугольник
BCD, задаётся уравнением 0x +0y +1z + 0 = 0. Уравнение плоскости A′BD
50