Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник расчётных работ и задач по материаловедению. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Техносферная безопасность».pdf
Саратовский национальный исследовательский государственный
университет имени Н. Г. Чернышевского
С. Л. Шмаков
С Б О Р Н И К
РАСЧЁТНЫХ РАБОТ И ЗАДАЧ
ПО МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЮ
Учебное пособие для студентов,
обучающихся по направлению
«Техносферная безопасность»
Саратов
Издательство Саратовского университета
2019
УДК
620.22(076.5)
ББК
30.3я75
Ш71
Шмаков, С. Л.
Ш71
Сборник расчётных работ и задач по материаловедению : учебное
пособие для студентов, обучающихся по направлению «Техносферная
безопасность» [Электронный ресурс] / С. Л. Шмаков. – Саратов : Издво Сарат. ун-та, 2019. – 80 с. : ил. – URL: https://books.sgu.ru/tutorials/
978-5-292-04593-9. – Имеется печатный аналог.
ISBN 978-5-292-04593-9 (online)
ISBN 978-5-292-04592-2 (print)
Пособие содержит десять работ по материаловедению преимущественно расчётного характера. Охвачены свойства материалов как в обычных, так и в экстремальных условиях. Описано применение системы компьютерной математики
MAXIMA для решения расчётных задач, приведены тексты программ.
Для студентов, обучающихся по направлению «Техносферная безопасность»
и проходящих курс материаловедения.
Р е к о м е н д у ю т к п е ч ат и:
Саратовского национального исследовательского государственного университета
кафедра полимеров на базе ООО «Акрипол» Института химии
имени Н. Г. Чернышевского
кандидат химических наук М. П. Смотров
(утверждён Учёным советом Саратовского национального исследовательского
ISBN 978-5-292-04593-9 (online)
ISBN 978-5-292-04592-2 (print)
Работа издана по тематическому плану 2019 года
государственного университета имени Н. Г. Чернышевского,
протокол № 3 от 19 февраля 2019 г.)
УДК 620.22(076.5)
ББК 30.3я75
©©Шмаков С. Л., 2019
Саратовский университет, 2019
Посвящается
государственного университета имени Н. Г. Чернышевского
Саратовского национального исследовательского
110-летнему юбилею
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник расчётных работ, задач и упражнений ориентирован на студентов, обучающихся по специальности «Техносферная безопасность» и проходящих курс «Устойчивость строительных и конструкционных материалов в аварийных ситуациях». Задачи могут решаться на
семинарских занятиях (совместно) или задаваться на дом (индивидуально). Поскольку общий курс материаловедения (не «аварийного») для названной специальности не предусмотрен, в сборник включены три задачи
по общему материаловедению, что должно расширить круг его читателей.
Задачи количественного характера рекомендуется решать с помощью
той или иной системы компьютерной математики. Здесь приводятся решения с помощью системы MAXIMA (бесплатная, лицензия GNU). Литература по ней обширна и легко может быть найдена в Интернете, поэтому
мы ограничились только частными пояснениями.
Важно не просто набирать на клавиатуре приводимые здесь программы (с некоторой натяжкой «активный» документ MAXIMA может
быть назван программой – в отличие от «пассивных» документов, скажем,
созданных в Word), не вдаваясь в их смысл, но и представлять назначение каждой строки, каждого оператора, понимать, зачем что-то вводится
и что должно получиться в результате, как оценить этот результат и действовать дальше, если желаемое не достигается. Студент обязан уметь
ответить на любой вопрос преподавателя, касающийся выполненного на
компьютере задания. Приветствуются модификация готовых программ
и создание новых.
Работа 1. ОЦЕНКА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ
КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Конструкционные и строительные материалы по определению должны выдерживать воздействие нагрузок, включая собственный вес, без
разрушения изготовленных из них изделий, поэтому их прочность имеет
важное, можно сказать, первостепенное значение. При совершенствовании технологии изготовления материалов полезно знать «потолок» этой
прочности, определяемый природой составляющих материал веществ,
т. е. теоретическую (конечно, недостижимую на практике) прочность того
или иного конструкционного материала. Если конструкторские требования превышают этот «потолок», материал нуждается в замене.
Механическая устойчивость всего материала определяется наименее
прочными его частями (участками), разрушение которых ведёт к выходу
из строя всего изделия. Поэтому наивысшей прочностью при заданной
природе обладает строго однородный материал, который проще всего
моделировать.
Ограничимся рассмотрением деформации растяжения. Если мысленно разбить растягиваемый по длине образец на несколько частей, то их
относительная деформация будет равна, совпадая также с относительной
деформацией всего образца, что находит отражение в законе Гука (запишите формулу для него). Иными словами, часть однородного материала
при деформации подобна целому – это так называемый принцип аффинности (сродства). Для целей приближённого расчёта этот принцип распространяют вплоть до минимальной «порции» вещества, в отношении
которой ещё применимо понятие деформации растяжения, – двух атомов
(ионов, молекул, ион-атомов). Один из них служит точкой отсчёта, а второй находится в потенциальном поле окружающих частиц. Его смещение
уподобляется такому виду деформации, как растяжение – сжатие всего
макроскопического образца. Разрушению соответствует удаление второго
атома на бесконечно большое расстояние, точнее, на такое, после которого для дальнейшего движения атома уже нет помех.
4
1.1. Модель Леннард-Джонса
Типичная зависимость потенциальной энергии атома от межатомного
расстояния показана на рис. 1.1. Её можно описать уравнением ЛеннардДжонса:
U (x) = U
12
a
m
−2
x
6
a
,
x
где Um– глубина потенциальной ямы, a – наиболее устойчивое межатомное расстояние (абсцисса минимума), т. е. длина недеформированной
связи.
Рис. 1.1. Типичная кривая потенциальной энергии U двух атомов (потенциал
Леннард-Джонса): x – расстояние между атомами; a – длина связи; Um– глубина
потенциальной ямы
Продифференцировав по x это выражение, получим:
– приписав результату минус, силу, с которой атом стремится вернуть-
ся в равновесное состояние (направлена влево при смещении атома
вправо, и наоборот);
– без минуса, по третьему закону Ньютона, силу, которую нужно при-
ложить к атому, чтобы зафиксировать данное межатомное расстояние
(рис. 1.2).
В реологии используют механическое напряжение σ, относя деформирующую силу к площади поперечного сечения образца. В силу принципа аффинности зависимость σ(x) также будет описываться кривой на
5
Рис. 1.2. Сила f , необходимая для удаления второго атома на расстояние x: fm–
максимальная сила; a – длина связи (соответствует нулевой силе)
рис. 1.2, изменится лишь масштаб по оси ординат. По оси абсцисс к относительной деформации не переходим.
Как видно из рис. 1.2, при растяжении образца существует некое максимальное механическое напряжение σm, без приложения которого нельзя
разрушить образец, т. е. удалить второй атом на бесконечно большое
расстояние. Поэтому естественно принять σmза искомую теоретическую
прочность материала. Задача сводится к его нахождению.
Для прямого расчёта нужно знать, кроме межатомного расстояния
a, глубину потенциальной ямы Umи площадь, приходящуюся на один
атом, если смотреть с торца (или число атомов на единицу площади).
Как правило, известны не все эти величины или же они определяются
с погрешностью. Поэтому в расчёт вводят более удобную величину, легко
определяемую экспериментально, – модуль Юнга E из закона Гука:
σ = Eε,
где относительная деформация ε в данном случае равна (x − a)/a.
Поскольку в нашей модели линейная зависимость между σ и x отсутствует (см. рис. 1.2), примем, что она имеет место на бесконечно узком
интервале близ x = a, тогда
E =
∂σ
∂ε
ε→0
= a
∂σ
∂x
x→a
или
∂σ
∂x
x→a
E
=
.
a
6
Запишем явные выражения:
σ(x) = 12σ
7
a
0
−
x
13
a
,
x
∂σ
∂x
= 12
13
14
a
−7
x
σ
0
a
8
a
,
x
где σ0= Um/a. При x →a ∂σ/∂x = 72σ0/a, откуда E = 72σ0.
Находим положение максимума xmзависимости σ(x) из условия
∂σ/∂x = 0:
a
x
m
7
6
=
13
и подставляем в выражение для σ:
σm= −12
E
72
7
13
13/6
−
13
7/6
7
7/6
7
=
13
13/6
E ≈ 0,0374E .
Таким образом, в данной модели прочность линейно связана с модулем Юнга через постоянный коэффициент, численно равный относительной деформации при разрыве (εp= 3,74%). Кроме того, в случае
неоднородности материала модуль Юнга будет усредняться по участкам
с разными механическими свойствами, в то время как прочность будет
определяться наименее прочным участком. Это, конечно, является недостатком рассмотренной модели.
В MAXIMA проведённый расчёт выглядит так (листинг 1.1).
Листинг 1.1. Расчёт теоретической прочности по уравнению
Леннард-Джонса
(% i1) U:Um*((a/x)^12-2*(a/x)^6);
(U) Um
12
a
12
x
6
2a
−
6
x
(% i2) sigma:diff(U,x);
(sigma) Um
12a
x
6
7
12
12a
−
13
x
7
(% i3) diff(sigma,x);
(% o3) Um
156a
x
(% i4) subst([x=a],%)=E/a;
84a
x
6
8
12
−
14
(% o4)
72Um
a
E
=
2
a
(% i5) solve(%,Um);
(% o5) [Um =
Ea
72
]
(% i6) solve(%o3,x);
(% o6) [x =
x = −
√
313
√
313
1
6
%i + 13
27
1
6
%i + 13
27
1
6
1
6
1
6
1
6
a
,x = −
a
,x =
√
1
6
313
%i −13
27
√
1
6
313
%i −13
1
6
27
1
6
a
1
6
,x = −
1
6
a
,x =
(% i7) subst([%[6],first(%o5)],sigma),radcan;
7
6
7
(% o7)
13
E
13
6
(% i8) %,numer;
(% o8) 0.03735973468339889E
13
1
6
13
a
,
1
6
7
1
6
a
]
1
6
7
Задание 1.1. Разберитесь в приведённом листинге и введите программу в компьютер. Возьмите из табл. 1.1 материал по указанию преподавателя и оцените его теоретическую прочность. Сравните с технической
прочностью из соответствующего столбца.
На практике наблюдается большой диапазон значений εp, материалы
могут быть хрупкими или пластичными. Следовательно, усреднённая по
всему объёму образца функция U (x) не обязательно должна описываться
уравнением Леннард-Джонса, хотя общий вид кривой на рис. 1.1, повидимому, сохранит. Мы можем усложнить эту функцию, чтобы получить
лучший, более вариабельный результат.
8
Исходные данные для оценки теоретической прочности материалов [1]
Номер
варианта
1 Полиамиды 0,4 50 0,17 40
2 Стекло 0,3 90 0,2 40
3 Кварц 0,3 65 0,2 50
4 Керамика 0,3 70 0,25 250
5 Титан 0,14 90 0,3 800
6 Сталь 0,17 110 0,4 1200
7 Tитановые 0,14 120 0,55 500
8 Арамидные 0,4 140 0,9 3000
9 Борные 0,17 9 0 0,7 3000
10 Стальные 0,15 120 0,5 3500
11 Стеклянные 0,3 90 0,8 4000
12 Кварцевые 0,3 75 1 ,2 6000
13 SiC 0,35 150 1,25 10800
14 BeO 0,33 160 1,3 12000
15 Fe 0,29 140 1,35 13000
16 B4C 0,36 200 1,4 13700
Материал a, нм E, ГПа γS, Дж/м
Литые материалы
Волокна
Волокнообразные монокристаллы
2
Таблица 1.1
σ
, МПа
T EX
Представляется целесообразным ввести в модель ещё одну экспериментально измеряемую величину, причём лучше, если для неоднородного
материала она будет определяться по нижнему порогу прочности. Обратимся для этого к работе, которую должны совершить внешние силы,
чтобы разрушить образец, растянув его (формально) до бесконечности
(по сравнению со считанными ангстремами между атомами даже миллиметровая трещина выглядит бесконечно широкой). В расчёте на атом это
не что иное как глубина потенциальной ямы, обозначенная на рис. 1.1
как Um. Отметим, что ранее она не входила в конечный результат. Это
можно было предсказать из соображений размерности: исходными данными служат E [Па] и a [м], а в результате должна получиться величина
σm, измеряемая в Па. Отсюда σm∼E, а a оказывается «лишней» и должна
неминуемо сократиться при расчётах, что мы и видели.
В качестве новой эмпирической величины привлечём удельную ударную вязкость γS– работу разрушения образца ударной нагрузкой на единицу создаваемой площади скола. Правда, на практике она оценивается
при сдвиговом ударном воздействии, а не при медленном равновесном
9
растяжении, но этим различием приходится пренебрегать, ведь всё равно
атомы должны удаляться друг от друга. Зато удельная ударная вязкость
не усредняется по объёму вещества, а берётся по минимуму (принцип
«слабого звена»). Если по аналогии с σ отнести U к единичной площади,
то 2γSбудет глубиной потенциальной ямы (Дж/м2). Также
∞
w
2γS=
σ(x) d x.
a
Коэффициент 2 здесь появляется ввиду того, что в эксперименте
работу разрушения делят на общую площадь образовавшейся поверхности скола, равную удвоенной площади поперечного сечения. В нашей же
модели площадь поперечного сечения не удваивается.
1.2. Модель Морзе
Возьмём в качестве потенциальной кривой функцию Морзе с дополнительным параметром b (с размерностью обратной длины):
U(x) = 2γ
S
−2b(x−a)
e
−2e
−b(x−a)
.
Как нетрудно проверить, она имеет минимум при x = a глубиной (−2γS).
Дифференцируя, находим σ:
.
Из условия
σ(x) = −4γSbe
∂σ
=
∂x
x→a
E
получаем b:
a
−2b(x−a)−e−b(x−a)
b =
E
2γSa
.
Таким образом, в формулу для U теперь входят экспериментальные величины E, γSи длина связи a.
Находим положение максимума σ:
∂σ
∂x
= 0, xm= a+
x=a
ln2
.
b
Видим, что параметр b определяет деформацию при разрыве (xm−a).
Осталось вычислить σm= σ(xm):
1
σm=
γSE
2
.
a
10