Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник расчётных работ и задач по материаловедению. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Техносферная безопасность».pdf
Предельная деформация связи также зависит от параметра Грюнайзена:
x
1
m
=
6γ
.
a
Сначала воспользуемся оригинальным приближением Сандитова, согласно которому закон Гука выполняется вплоть до предельной деформации, откуда
p
внутр
= ε
max
B = 3
x
m
a
B = 3
6γ
1
B =
B
2γ
.
Уравнение предельного баланса давлений при игнорировании атмосферного принимает вид (Tg– температура размягчения, она же температура стеклования, см. работу 2):
γ
3RT
V
B
g
=
и Tg=
2γ
m
BV
6R
1
m
·
. (4.1)
2
γ
Задание 4.2. Одно из стёкол по указанию преподавателя возьмите из
табл. 4.1. Рассчитайте мольный объём Vm. Вычислите параметр Грюнайзена из коэффициента Пуассона по обоим уравнениям, сравните полученные значения. Наконец, оцените температуру стеклования, перейдите
к градусам Цельсия, сравните с экспериментом.
Пример расчёта мольного объёма.
Дан состав стекла в мольных процентах:
Na2O 15
Al2O
SiO
3
2
5
80
Находим массу моля атомов:
15 ·62 + 5 ·102 + 80 · 60
M =
100
= 62,4 г/моль.
Делим на плотность:
M
Vm=
62,4
=
ρ
= 26,5 см3/моль.
2,358
Для расчётов в СИ переведите полученное значение в м3/моль.
31
Данные для оценки жаропрочности стёкол [1, 2]
Номер
варианта
1 15 0 85 1,339 34,2 0,196
2 15 5 80 2,355 37,0 0,206
3 15 10 75 2,410 38,6 0,194
4 15 15 70 2,465 41,6 0,212
5 15 20 65 2,426 42,5 0,211
6 15 25 60 2,472 47,0 0,226
7 25 0 75 2,439 35,9 0,226
8 25 5 70 2,455 39,4 0,231
9 25 10 65 2,461 41,1 0,228
10 25 15 60 2,480 41,8 0,227
11 25 20 55 2,470 40,5 0,208
12 25 25 50 2,499 43,2 0,215
13 25 30 45 2,519 49,0 0,233
14 35 0 65 2,497 39,8 0,253
15 30 5 65 2,486 41,3 0,244
16 20 15 65 2,450 39,0 0,195
17 17,5 17,5 65 2,447 41,8 0,216
Химический состав, мол. % ρ, г/см
Na2O Al2O
3
SiO
2
3
B, ГПа µ
4.2. Уточнённая модель
Таблица 4.1
Если вы обнаружили значительное, на порядок, завышение Tg, следу-
ет воспользоваться уточнением теории Сандитова [3]. Доказывается, что
вместо мольного объёма стекла в расчётах следует брать так называемый термически активный псевдомольный объём Vmt, равный для всех
силикатных стёкол NAa3, где NA– число Авогадро, a – длина недеформированной связи Si–O («слабое звено»), равная 0,15–0,16 нм. Отсюда
Vmt≈2,4 см3, что на один десятичный порядок меньше Vм. Природа кон-
кретного стекла, таким образом, отражается на температуре размягчения
только через величины B и γ.
Задание 4.3. Для того же стекла, что и в задании 4.2, уточните оцен-
ку Tgс использованием величины Vmt. Насколько улучшилось согласие
с экспериментом?
Теперь критически отнесёмся к рис. 4.1. Угловой коэффициент каса-
тельной к кривой p(x) (для краткости опустим индекс «внутр») в точке
x = 0 равен 3B/a (закон Гука, ср. с E/a в работе 1), и он искусственно
поддерживается постоянным вплоть до x = xm. Иными словами, кривая
на этом участке фактически заменяется прямой (касательной к начальной
32
точке). Однако из рис. 1.2 видно, что касательная идёт над прямой и в
точке с абсциссой x = xmордината точки на прямой существенно выше,
чем на кривой. Соответственно завышается и p
, так что для его ком-
внутр
пенации требуется увеличенные тепловое давление, а значит, завышенная
температура Tg.
Попробуем найти коэффициент завышения, на который затем следует делить Tg, или сразу подставить его в знаменатель уравнения (4.1).
Возьмём по очереди несколько кривых, как в работе 1, причём в форме,
из которой явно видно наличие максимума при x = xm.
1. Синусоида:
π2x
,
x
m
π2x
.
x
m
x=0
= p
π
.
0
2x
m
d p
dx
= p
x=0
p(x) = p0sin
π
cos
0
2x
m
Этот угловой коэффициент касательной в нулевой точке умножаем
на горизонтальный катет, равный во всех случаях xm, получаем p0π/2.
Значение p(xm) равно p0. Коэффициент завышения, таким образом, равен
π/2 ≈ 1,57.
2. Перевёрнутая парабола:
d p
dx
x=0
p(x) = p
= p
0
x
0
x
m
2
2x
−
2
x
x
m
m
2 −
x
x
m
x=0
,
2
= p
.
0
x
m
Угловой коэффициент умножаем на xmи получаем 2p0. В вершине
параболы значение функции равно p0. Коэффициент завышения 2.
3. Функция Максвелла:
2
−x2/2x
m
,
2
m
(−2bx)
= A.
x=0
d p
dx
x=0
= Ae
p(x) = Axe
2
−x2/2x
m
+ xe
−x2/2x
Умножаем на горизонтальный катет xmи получаем Axm. А p(xm) =
= Ax
−1/2
e
. Таким образом, коэффициент завышения равен e
m
1/2
≈1.65.
4. Кривая Морзе для межатомного потенциала, которая в дифферен-
циальном виде даёт
m
,
p(x) = Ae
−ln2x/x
−2ln2x/x
m
−e
33
d p
dx
x=0
= A−
ln2
x
m
−ln2x/x
e
ln2
x
m
−2ln2x/x
e
m
+ 2
m
x=0
= A
ln2
x
.
m
Полученное значение умножаем на xmи получаем A ln 2. Значение функции в максимуме A(1/2 − 1/4) = A/4. Коэффициент завышения
4ln 2 ≈2.77, самый большой из вычисленных.
Здесь бралась обработанная функция Морзе, с уже «внедрённой»
абсциссой максимума. Листинг 4.1 показывает, как производить расчёт
исходя из оригинальной функции Морзе.
Листинг 4.1 Расчёт коэффициента завышения для кривой Морзе
(% i1) U(x):=A*(exp(-2*b*(x-x0))-2*exp(-b*(x-x0)))$
(% i2) sigma(x):=diff(U(x),x)$
(% i3) sigma(x),factor;
(% o3) −2Ab%e
bx0
−%e
bx
bx0−2bx
%e
(% i4) diff(sigma(x),x);
(% o4) A4b2%e
−2b(x−x0
)
−2b2%e
−b(x−x0)
(% i5) solve(%,x);
(% o5) [x =
bx0 + log (2)
b
]
(% i6) subst(%,%th(3)),radcan;
(% o6)
Ab
2
(% i7) subst([x=x0],%th(3))*(rhs(first(%th(2)))-x0),
radcan;
(% o7) 2log (2)Ab
(% i8) %/%th(2);
(% o8) 4log (2)
(% i9) float(%), numer;
(% o9) 2.772588722239781
Задание 4.4. Рассчитайте коэффициент завышения для потенциала
Леннард-Джонса (см. работу 1).
Задание 4.5. Для того же стекла, что и в задании 4.2, уточните оценку Tgс использованием рассчитанных выше коэффициентов завышения
и величины
V
. В каком случае наблюдается лучшее согласие с экспе-
mt
риментом?
34
Библиографический список
1. Сандитов, Б. Д., Дармаев, М. В., Сандитов, Д. С., Мантатов, В. В.
Поперечная деформация и температура размягчения стеклообразных материалов // Деформация и разрушение материалов. 2008. № 4. С. 18–23.
2. Сандитов, Д. С., Машанов, А. А., Сандитов, Б. Д., Сангади-
ев, С. Ш. Ангармонизм колебаний решётки и скорости распространения
акустических волн в квазиизотропных твёрдых телах // Журнал технической физики. 2011. Т. 81, вып. 5. С. 44–48.
3. Шмаков, С. Л. Уточнённая оценка температуры размягчения стеклообразных материалов на основе модели возбуждённого состояния // Все
материалы : энцикл. справочник. 2017. № 5. С. 6–10.
Работа 5. ОЦЕНКА УДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ ОСКОЛКОВ
ПРИ ВЗРЫВЕ
В аварийных ситуациях, сопровождающихся взрывами, разлетающиеся осколки могут причинять окружающим объектам повреждения
разной степени тяжести. Для количественной оценки такого действия
осколков (так называемых ударников) на мишени (т. е. те объекты, которые случайно встречаются ими на траектории полёта) разработаны полуэмпирические методы [1], основанные на использовании безразмерных
комбинаций величин – факторов и функции отклика. Ознакомимся с ними
для трёх случаев.
5.1. Оценка остаточной деформации мишени
Фактором является безразмерная скорость ударника
√
σ
ρудV
мишρмиш
,
v ≡
где ρуди ρ
σ
– предел текучести материала мишени, V – абсолютная скорость
миш
– плотность материала ударника и мишени соответственно,
миш
ударника.
Функцией отклика является безразмерное остаточное углубление на
мишени
δ ·h
∆ ≡
,
2
a
где a – радиус осколка в пересчёте на сферическую форму, h – толщина
мишени, δ – остаточное углубление на мишени в точке удара.
В силу действия случайных факторов, не учитываемых в теории,
связь между v и ∆ является корреляционной, т. е. каждому значению v
соответствует целое распределение значения ∆, на практике описываемое
диапазоном наиболее вероятных из них. Построенный опытным путём
график содержит коридор между двумя прямыми (рис. 5.1).
Пример. Кусок бетона массой 2 кг ударяет по листу из алюминиевого сплава со скоростью 10 м/с. Толщина листа 1,25 мм, предел текучести
36
Рис. 5.1. Корреляция между безразмерными скоростью ударника v и вели-
сплава σ
чиной остаточного прогиба мишени ∆ [1]. Прямые линии ограничивают
= 300 МПа, его плотность ρ
миш
коридор возможных вариантов
= 2,5, плотность бетона ρуд=
миш
= 2.
Решение. Сначала рассчитаем эффективный радиус осколка, приняв
его форму сферической:
3
=
уд
4 ·3,14/3 ·2000
2
= 0,062 м.
a =
3
m
4π/3ρ
Безразмерная скорость ударника равна
v =
√
σ
ρудV
мишρмиш
2000 ·10
√
=
300 ·106·2500
= 0,0231.
Пересечение вертикальной прямой v = 0,0231 с коридором произойдёт ниже оси абсцисс, т. е. вне имеющего физический смысл участка (см.
рис. 5.1). При таком ударе металлический лист пластически деформироваться не будет, т. е. вмятины на нём не останется. Упругая деформация
по этому методу не оценивается.
В противном случае следовало бы найти ординаты пересечения вертикальной прямой с обеими границами коридора: ∆ = 0,5 ·v −0,06 и ∆ =
= 0,5 ·v −0,014, заменить отрицательное значение (буде таковое получе-
но) на нуль и записать интервал значений ∆, пересчитав затем в интервал
(абсолютных) деформаций δ.
Задание 5.1. Возьмите из табл. 5.1 один из вариантов по указанию
преподавателя и проведите расчёт по описанной схеме.
37
Таблица 5.1
Варианты заданий на остаточную деформацию мишени
Номер
варианта
1 2 2 10 2,5 1,25 300
2 3 2 20 2,7 1 280
3 5 2,1 35 2,5 2 250
4 4 2,3 25 2,7 1,5 275
5 3 2,1 10 2,5 2 340
6 7 2 18 2,7 1,5 290
7 10 2,05 23 2,5 1 295
m, кг ρуд, г/см
3
V , м/с ρ
миш
, г/см
3
h, мм σ
миш
, МПа
5.2. Оценка предельной толщины сквозного пробивания
Фактором является безразмерная относительная толщина мишени
h
w ≡
,
a
функцией отклика – безразмерная пороговая скорость пробивания
ρудV
v50≡
√
σ
мишρмиш
50
,
где индекс «50» означает вероятность сквозного пробивания (в %).
Соответствующая корреляция показана на рис. 5.2 в виде расходя-
щегося веером коридора.
График можно использовать в обоих направлениях – от абсциссы
к ординате и от ординаты к абсциссе.
Пример.
Стальной шар радиусом 12 мм ударяет по листу из того же
материала, что и в предыдущем примере, при скорости 500 м/с. Плотность материала шара ρуд= 8. Рассчитать толщину листа, который будет
пробит в половине случаев.
Решение. В данном случае пороговая скорость V50= 500 м/с. Пере-
считываем в безразмерную:
v50≡
√
ρудV
σ
50
мишρмиш
8000 ·500
√
=
300 ·106·2500
= 4,62.
В источнике задачи [1] расчёт безразмерной толщины мишени проводится по биссектрисе угла на рис. 5.2, при этом получается 1,28. Переводим значение 4,62 в абсолютную толщину:
h = w ·a = 1,28 ·12 мм = 15,4 мм.
38
Рис. 5.2. Корреляция между безразмерными толщиной мишени w и пороговой скоростью пробивания в половине случаев v50[1]. Прямые линии
ограничивают сектор возможных вариантов
Самостоятельно проведите расчёт интервала толщин по нижней гра-
нице коридора v50= 2,96 · w и верхней v50= 4,06 · w.
Задание 5.2. Возьмите из табл. 5.2 один из вариантов по указанию
преподавателя и проведите расчёт по описанной схеме.
Таблица 5.2
Варианты заданий на сквозное пробивание шаром
Номер
варианта
1 12 8 500 2,5 300
2 15 7,8 510 2,7 280
3 13 8 450 2,5 275
4 20 7,8 300 2,7 250
5 18 8 350 2,5 290
6 17 7,8 475 2,7 320
7 15 8 550 2,5 295
r, мм ρуд, г/см
3
V , м/с ρ
, г/см3σ
миш
миш
, МПа
5.3. Оценка пороговой скорости пробивания для деревянного столба
Факторами являются: λ = l /d – отношение длины столба к диаметру – и H = h/d – отношение толщины мишени к диаметру столба. Функция отклика – безразмерный квадрат пороговой скорости:
2
ρудV
2
v
50
50
≡
.
σ
миш
При выполнении условий 5 < l/d < 31 и 0,05 < h/d < 10 корреляционная связь заменяется алгебраической зависимостью
39
1,751H + 144,2H
2
v
=
50
λ
2
.
Пример. Деревянный столб диаметром 30,5 см и длиной 4,57 м уда-
ряет по стальной мишени с пределом текучести σ
= 276 МПа. Тол-
миш
щина мишени 25,4 мм, плотность материала столба ρуд= 0,636. Найти
пороговую скорость столба.
Решение. Находим значения безразмерных факторов:
λ = l/d = 4,57/0,305 = 14,98,
H = h/d = 0,0254/0,305 = 0,083.
14,98
2
:
50
2
= 0,0765.
Подставляем в уравнение для v
1,751 ·0,083 + 144,2 ·0,083
2
v
=
50
Пересчитываем в абсолютную скорость:
V50=
2
v
σ
50
ρ
уд
миш
0,0765 ·0,276 ·10
=
636
9
= 188 м/с.
Задание 5.3. Возьмите из табл. 5.3 один из вариантов по указанию
преподавателя и проведите расчёт по описанной схеме.
Таблица 5.3
Варианты заданий на сквозное пробивание столбом
Номер
варианта
1 30,5 4,57 0,636 25,4 276
2 30 4,5 0,63 25 250
3 31 4 0,636 20 300
4 35 4,5 0,63 25,4 310
5 40 4,5 0,636 23 266
6 45 5 0,63 22 275
7 32 5 0,636 25 276
d, cм l , м ρуд, г/см
3
h, мм σ
миш
, МПа
Задание 5.4. По указанию преподавателя возьмите один из вариантов
из табл. 5.1–5.3 и проведите расчёты по приведённым образцам.
Библиографический список
1. Бейкер, У., Кокс, П., Уэстайн, П. Взрывные явления. Оценка и последствия : в 2 кн. / пер. с англ. ; под ред. Я. Б. Зельдовича, Б. Е. Гельфанда. Москва : Мир, 1986. Кн. 2. 384 с.