Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по общему курсу физики. Учебное пособие
.pdf
21
Итак,
2
1
2
1
t
A
t
V
2
1
2
1
t
V
2
1
2
1
A = Wп + Wк =
V(v
2
1
v
2
) + Vgh = V
2
Развиваемая водяной турбиной мощность Р равна работе А, совершаемой
за единицу времени:
P =
=
(v
2
1
v
2
) + gh = Q
2
где t – время, за которое совершается работа А;
Q =
Полезная мощность Р
объёмный расход воды (расход воды за единицу времени).
по определению равна:
п
Р
= Р = Q
п
(v
2
1
Подставляя численные значения, находим:
v
2
) + gh.
2
(v
(v
2
1
v
2
v
1
2
) + gh.
2
2
) + gh,
2
Р
= 0,9110320
п
(62 12) + 9,84 = 1106 Вт = 1 МВт.
14. Материальная точка массой m = 5 г совершает гармонические
колебания с частотой = 0,5 Гц и амплитудой А = 3 см. Определите:
1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см;
2) максимальную силу Fm, действующую на точку; 3) полную энергию W
колеблющейся точки.
Дано: m = 5 г = 5103 кг; А = 3 см = 3102 м; = 0,5 Гц; х(t).
v(t) ? Fm ? W ?
Решение. Кинематическое уравнение гармонических колебаний запишем
в виде
х = Аsin(t+),
где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
А - амплитуда; (t+) – фаза колебания;
- начальная фаза;
- циклическая частота ( = 2);
22
t – время.
1
A
v
A
x
22
2
2
2
1
2A
v
A
x
2
2
2
2
2
22
хА
22
5,13
2
m
mv
2
1
1) Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от
смещения, v = x = Acos(t+). Исходя из условия задачи, скорость надо
выразить через смещение. Для этого исключим время из двух записанных
уравнений. Возведя оба уравнения в квадрат, затем, разделив первое уравнение
2
на А
, второе – на А22 и, сложив их, получим:
или
.
Решив это уравнение относительно v, найдем
v = 2
= 20,5
= 8,16 см/с.
Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с
положительным направлением оси абсцисс, знак минус - в противном случае.
2) Силу F, действующую на точку, найдем из второго закона Ньютона:
F = ma,
где а – ускорение точки, которое определим, взяв производную по времени от
скорости:
а = v = -A2sin(t+) или а = -A422sin(t+),
откуда найдём максимальное значение силы
Fm = mam = mA422 = 5103420,523102 = 1,49103 Н = 1,49 мН.
3) Полная энергия колеблющейся точки представляет собой сумму
кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента
времени. В данной задаче проще всего найти полную энергию в момент, когда
кинетическая энергия достигает максимального значения, так как в этот момент
потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия W колеблющейся
точки равна максимальной кинетической энергии
Wк =
.
Максимальное значение скорости vm определим, положив в формуле скорости
cos(t+) = 1, тогда vm = 2A. Итак, полная энергия
23
2
m
mv
2
1
2
1
2
1
k
m
k
mm
xF
xgm
k
m4
2
W = Wк =
=
m(2A)2 =
5103(20,53102)2 = 22,2106 Дж.
15. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период ее вертикальных
колебаний Т1. После того, как на чашку положили добавочные гири, период
вертикальных колебаний стал равен Т2. Насколько удлинилась пружина после
увеличения груза? Ускорение свободного падения равно g.
Дано: Т1; Т
; g.
2
х ?
Решение. Период вертикальных колебаний чашки с гирями до того, как
был добавлен груз,
Т1 = 2
,
где m – масса чашки с гирями;
k – коэффициент жёсткости пружины.
Пусть масса добавленных гирь m, тогда период колебаний
Т
= 2
2
.
Вызывающая удлинение пружины х сила равна
F = kх,
отсюда
k =
=
,
где g – ускорение свободного падения.
Возводя выражения для периодов колебаний в квадрат и вычитая одно
выражение из другого, получим:
Т
2
2
Т
2
=
1
.
Подставим в последнее равенство выражение для k и получим
24
g
х4
2
откуда находим:
2
2
1
2
2
4
TTg
m
k
2
mv
2
2
mA22
2
mA22
22
5,01tcos1
Т
2
2
Т
2
=
1
,
х =
.
16. Шарик, прикрепленный к пружине, совершает гармонические
колебания на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На
сколько сместится шарик от положения равновесия за время, в течение
которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
Дано: A = 10 cм; Wк = 0,5W
к макс
.
x – ?
Решение: Запишем уравнение колебаний шарика x(t) и, взяв первую
производную по времени от этого уравнения, найдем зависимость скорости от
времени v(t):
x = Asint; v = Acost, где 2 =
или k = m2;
Кинетическая энергия шарика в момент времени t равна:
Wк =
Так как по условию в этот момент времени Wк = 0,5W
=
cos2t; W
к макс
=
.
к макс
, то из
выражений для кинетических энергий следует, что в момент времени t:
cos2t = 0,5 и sint =
= 0,707.
Теперь найдем смещение шарика от положения равновесия в момент
времени t:
x = Asint = 10 cм 0,707 = 7,07 см = 7 см.
17. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м,
совершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом
равно 10 м/с
2
. Какова максимальная скорость груза?
Дано: m = 2 кг; k = 200 Н/м; а0 = 10 м/с2.
v0 – ?
25
Решение: Подставим выражение для циклической частоты ω колебаний
m
k
m
k
k
m
200
2
пружинного маятника: ω =
ускорения а
и амплитуду скорости v0 при колебательном движении:
0
в уравнение, связывающее амплитуду
а
= ωv0 =
0
v0.
Затем из полученного уравнения выразим искомую величину – амплитуду
скорости v0 при колебательном движении пружинного маятника и, подставляя
известные параметры, рассчитаем ее значение:
v0 = а0
= 10
= 1 м/с
1.2 Задачи для самостоятельного решения
1. С какой скоростью движется полоса бумаги при печатании газет, если
машина отпечатывает 18 000 листов в час? Длина каждого газетного листа
50 см.
2. Сколько времени потребуется, чтобы увеличить скорость движения
тела в 3 раза при его движении с ускорением 5 м/с
2
на пути 20 м?
3. Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью 72 км/час.
Через 10 мин по тому же направлению вышел экспресс, скорость которого
30 м/с. На каком расстоянии от станции экспресс догонит товарный поезд?
4. Определите расстояние, которое пройдет тело до остановки, если оно
движется равнозамедленно. Начальная скорость тела v0 = 0,64 м/с, а ускорение
а = - 0,16 м/с2.
5. Автомобиль, движущийся с начальной скоростью 30 м/с, проехал
175 м с ускорением 2 м/с
2
. Сколько времени потребовалось на это?
6. Первую четверть пути автомобиль двигался со скоростью 60 км/час, а
оставшуюся часть пути – со скоростью 20 км/час. Найдите среднюю скорость
автомобиля на всем пути.
26
7. По одному направлению из одной точки одновременно начали
двигаться два тела: одно равномерно со скоростью v = 9,8 м/с, а другое –
равноускоренно без начальной скорости с ускорением а = 9,8 см/с2. Через какое
время второе тело догонит первое?
8. Уклон длиной 50 м лыжник прошел за 10 с, двигаясь с
ускорением 0,2 м/с
2
. Какова скорость лыжника в начале уклона?
9. Зависимость координаты от времени для некоторого тела описывается
уравнением x = 8t t
2
. В какой момент времени проекция скорости тела на ось
Ох равна нулю?
10. Теплоход проходит по течению реки путь 40 км за 2 часа, а против
течения 45 км за 3 часа. Определите скорость теплохода.
11. Чему равно центростремительное ускорение тела на экваторе,
обусловленное вращением Земли? Радиус Земли равен 6 370 км.
12. Реактивный самолет летит со скоростью v
= 720 км/час. С некоторого
0
момента самолет движется с ускорением в течение t = 10 с и в последнюю
секунду проходит путь S = 295 м. Определите конечную скорость v самолета.
13. Искусственный спутник обращается по круговой орбите на высоте
600 км от поверхности планеты со скоростью 3,4 км/с. Радиус планеты равен
3 400 км. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты?
14. С высокой башни вертикально вниз со скоростью 8 м/с бросили
камень. На сколько увеличивается скорость камня за вторую секунду полета?
Ускорение свободного падения 10 м/с
2
.
15. Тело массой 200 кг равномерно поднимается по наклонной плоскости,
образующей угол 30
0
с горизонтом, под действием силы 1 500 Н, приложенной
вдоль линии движения. С каким ускорением тело будет соскальзывать вдоль
наклонной плоскости, если его отпустить? Ускорение силы тяжести 10 м/с
2
.
16. Парашют сконструирован таким образом, чтобы скорость
приземления женщины массы 50 кг составляла 6,5 м/с. С какой скоростью
приземлится мужчина массы 70 кг, если воспользуется этим парашютом?
27
17. Автодрезина ведет равноускоренно две платформы. Сила тяги F =
1,8 кН. Масса первой платформы m1 = 10 т, второй m2 = 5 т. С какой силой
натянуто сцепление между платформами?
18. Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущемся
равнозамедленно вертикально вверх с ускорением 1 м/с2. Определите силу
давления человека на полкабины лифта. Ускорение свободного падения равно
9,8 м/с
2
.
19. Жесткость одной пружины 20 Н/м, другой – 30 Н/м. Пружины
соединили последовательно. Найдите жесткость этого соединения.
20. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом
R = 4 м. При какой минимальной частоте n вращения платформы вокруг
вертикальной оси человек не сможет удержаться на ней при коэффициенте
трения = 0,27? Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.
21. Определите плотность вещества планеты, сутки на которой равны 24 ч,
если на ее экваторе тела невесомы. Гравитационная постоянная равна
6,6710
-11
Нм
2
/кг
2
.
22. Чтобы удержать тело на наклонной плоскости с углом наклона = 450
надо приложить силу F
= 0,2 Н, направленную вверх вдоль наклонной
1
плоскости, а чтобы равномерно втаскивать вверх, надо приложить силу F2 =
0,6 Н. Найдите коэффициент трения.
23. Чему равен тормозной путь автомобиля массой 1 000 кг, движущегося
со скоростью 30 м/с? Коэффициент трения скольжения между дорогой и
шинами автомобиля равен 0,15. Ускорение свободного падения 10 м/с
2
.
24. Вычислите работу, совершаемую при равноускоренном подъёме груза
массой 100 кг на высоту 4 м за время 2 с. Ускорение свободного падения
9,81 м/с
2
.
25. Пружина растянута сначала на величину L, а затем еще на столько
же. Сравните значения работ А
и А
1
, совершенных при первом и втором
2
растяжениях.
28
26. Камень массой 0,25 кг брошен вверх под углом 300 к горизонту. Его
начальная скорость равна 16 м/с. Какова кинетическая энергия камня в верхней
точке траектории? Сопротивлением воздуха пренебречь.
27. Кинетическая энергия тела 16 Дж. Чему равна масса тела, если при
этом импульс тела равен 8 кгм/с?
28. Один шар налетает на другой, большей массы, первоначально
покоившийся. После центрального упругого шара разлетаются так, что
величина скорости меньшего шара в 2,5 раза больше величины скорости
большого шара. Найти отношение массы большего шара к массе меньшего
шара.
29. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется в земляной вал и,
двигаясь равнозамедленно, проникает в него на глубину 36 см. Чему будет
равна скорость пули к моменту, когда пуля пройдет 99 % своего пути?
30. Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата,
если масса пули m = 10 г, а скорость пули при вылете из ствола v = 300 м/с?
Число выстрелов из автомата в единицу времени n = 300 мин-1.
31. Тело массой 2 кг движется вдоль оси 0х. Его координата меняется в
соответствии с уравнением х = А + Bt + Ct
2
, где А = 2 м, В = 3 м/с, С = 5 м/с
2
Чему равен импульс тела в момент времени t = 2 с?
32. Молоток массой 800 г ударяет по небольшому гвоздю и забивает его в
доску. Скорость молотка перед ударом равна 5 м/с, после удара она равна 0,
продолжительность удара 0,2 с. Определите среднюю за время удара силу
удара молотка.
33. Пуля массой m, летящая горизонтально, попадает в центр бруска
массой 10 m, висящий неподвижно на нити, и застревает в нем. Во сколько раз
.
кинетическая энергия пули перед ударом превышает кинетическую энергию
бруска с пулей сразу после удара?
34. Тело массой m = 2 кг двигалось со скоростью v = 5 м/с и упруго
столкнулось с жесткой стенкой, двигавшейся навстречу со скоростью u = 2 м/с.
Чему будет равна кинетическая энергия тела после столкновения?
29
35. Из орудия массой М = 10 т выстрелили в горизонтальном
направлении. Масса снаряда m = 40 кг, его скорость при вылете v = 1 км/с.
Определите длину отката орудия, если коэффициент трения лафета о почву =
0,4. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
36. Чему равна мощность двигателя подъемного крана, поднимающего
равномерно со скоростью 0,1 м/с груз массой 4 тонны при общем КПД
установки 40 %? Ускорение свободного падения 10 м/с
2
.
37. Для откачки нефти из скважины глубиной 500 м используют насос
мощностью 10 кВт. КПД насоса 80 %. Какую массу нефти добывают за 1 мин
работы? Ускорение свободного падения 10 м/с
2
.
38. Мотор с полезной мощностью 15 кВт, установленный на автомобиле,
может сообщить ему при движении по горизонтальному участку дороги
скорость 90 км/ч. Определите силу сопротивления движению автомобиля при
заданной скорости.
39. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент
времени смещение точки х = 5 см, скорость ее v = 20 см/с и ускорение а =
80 см/с2. Найти циклическую частоту и период колебаний, фазу колебаний в
рассматриваемый момент времени и амплитуду колебаний.
40. Начальные фазы колебаний двух математических маятников с
периодами колебаний Т
= 5 с и Т2 = 7 с одинаковы. Определите минимальный
1
промежуток времени, через который фазы колебаний маятников снова будут
одинаковы.
41. 3а какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания,
проходит первую половину пути от среднего положения до крайнего?
42. Математический маятник совершает гармонические колебания. На
сколько процентов следует уменьшить его длину, чтобы период колебаний
уменьшился в 1,25 раза?
43. Расстояние между гребнями волн в море 5 м. При встречном
движении катера частота ударов волн о корпус катера 4 Гц, а при попутном
2 Гц. Найти скорость катера.
30
44. Подставка совершает в горизонтальном направлении гармонические
колебания с периодом 5 с. Находящееся на подставке тело начинает скользить,
когда амплитуда колебаний достигает 0,5 м. Определить коэффициент трения
между телом и подставкой.
45. Длина нити одного из математических маятников на 15 см больше
другого. В то время как один из маятников делает 7 колебаний, другой делает
на одно колебание больше. Чему равны периоды колебаний маятников? Чему
равны длины маятников?
46. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает гармонические
колебания на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На
сколько сместится шарик от положения равновесия за время, в течение
которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
47. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со
скоростью v = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с. Определить
разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от
источника волн на расстояниях x1 = 20 м и х2 = 30 м.
48. Тело совершает гармонические колебания в горизонтальной
плоскости на пружине жёсткостью 300 Н/м. Амплитуда колебаний равна 4 см.
Найти полную энергию колебательного процесса.
49. Звуковая волна распространяется со скоростью 346 м/с и частотой
1 кГц. Определить, на каком минимальном расстоянии находятся ближайшие
точки, совершающие колебания в одинаковых фазах.
50. Груз массой 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает 300
колебаний в минуту. Определить жёсткость пружины.
51. Определить первоначальную длину математического маятника, если
при увеличении его длины на 3 м период колебаний маятника увеличился в 2
раза.
52. Как, зная амплитуду смещения А и амплитуду скорости v
, найти
0
частоту ω гармонического колебания?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]