Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по общему курсу физики. Учебное пособие
.pdf
11
7. С башни высоты Н бросили вертикально вниз камень с начальной
t
S
2
gt
2
2
2
H
2
gt
2
1
g
H2
g
H
t
S
12
ttS
122
gH
скоростью v
= 0. Найти среднюю скорость на второй половине пути.
0
Ускорение свободного падения равно g.
Дано: v0 = 0; g; S = H/2.
vср – ?
Решение. По определению средняя скорость равна
vср =
,
где S – перемещение тела, а t – время, за которое это перемещение совершено.
По условию задачи S = H/2. Найдем время движения тела на нижней
половине пути t = t
– t
2
. Время падения тела до уровня Земли t
1
и время
2
падения до середины башни t1 находим из уравнений:
Н =
,
=
,
откуда
t2 =
, t1 =
и
vср =
=
=
.
8. С ледяной горки длиной ℓ = 10 м съезжают санки. В начальный момент
санки были неподвижны, а у подножия горки их скорость достигла v = 9 м/с.
Определите коэффициент трения полозьев санок о лёд, если наклон горки с
горизонтом составляет угол = 30
0
. Ускорение свободного падения g = 10 м/с
2
.
Дано: ℓ = 10 м; v0 = 0; v = 9 м/с; = 30
0
; g = 10 м/с
2
.
- ?
12
Решение. На санки действуют силы: сила тяжести mg, направленная
F
тр
N
mg
х
y
вертикально вниз, сила реакции опоры N, направленная перпендикулярно к
поверхности горки, сила трения F
, направленная в
тр
сторону, противоположную направлению движения,
т.е. Fтр направлена вверх вдоль горки. Оси координат
0х и 0у направим вдоль наклонной плоскости и
нормально к ней (см. рисунок). Нужно отметить, что
равнодействующая силы тяжести mg и силы реакции
опоры N, т.е. mg + N направлена вдоль наклонной
плоскости в сторону положительной полуоси 0х.
Она вызывает ускоренное движение тела по наклонной плоскости, если эта
равнодействующая превосходит F
, направленную в противоположном
тр
направлении – в сторону отрицательной полуоси 0х. В случае, когда
равнодействующая равна по модулю Fтр, т.е. mg + N = F
, тело находится в
тр
покое или движется равномерно вдоль наклонной плоскости.
Для перехода от записи второго закона Ньютона в векторной форме
ma = mg + N + Fтр,
к скалярной, спроектируем векторные величины на две
взаимноперпендикулярные оси 0х и 0у. Если направление проекции вектора на
ось совпадает оси координат, то ее проекция берётся со знаком +, в
противном случае – со знаком :
0х: ma = mgsin Fтр
0у: 0 = mgcos + N
Fтр = N.
Третье уравнение в записанной системе представляет собой соотношение,
выражающее закон Амонтона-Кулона. Для решения системы уравнений из
второго уравнения полученной системы уравнений находим N = mgcos и
подставляем в третье уравнение: Fтр = N = mgcos. Подставляя полученное
13
выражение для Fтр в первое уравнение, находим из него коэффициент трения
cosαg
a
tg
gcosα
agsinα
2
vv
2
0
2
cosαg2
vv
tg
2
0
2
cosαg2
vv
tg
2
0
2
0
2
30cos10102
09
скольжения:
ma = mgsin Fтр = mgsin mgcos =
.
Ускорение санок а находим из уравнения:
a =
,
где v и v0 – скорости санок в конце и начале пути ℓ, соответственно.
Подставляя полученное соотношение для ускорения в выражение для
коэффициента трения, имеем:
=
.
Из полученного выражения видно, что коэффициент трения tg, так
как v 0, a 0, v0 = 0. Если же а = 0, то v = 0 и = tg это значение = tg
является предельным, санки с наклонной плоскости соскальзывать не будут,
т.к. v0 = 0. Подставляя данные, произведём вычисления:
=
= tg300
= 0,11.
9. Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены с
одной стороны два груза массами m
= 2 кг и m2 = 5 кг, а с другой стороны груз
1
массой m3 = 3 кг. Найдите ускорение системы и силу натяжения нити,
связывающей грузы 1 и 2. Нить считайте невесомой и нерастяжимой. Трение
нити о блок не учитывайте. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Дано: m1 = 2 кг; m2 = 5 кг; m3 = 3 кг; g = 10 м/с2.
a – ? N – ?
14
Решение. Делаем рисунок к задаче. На тело 1 действует сила тяжести m1g
m2g
T
3
Т
2
N
2
N
1
m1g
a
3
m3g
a
2
a
1
m2g
Т Т
N
N
m1g
a
m3g
x
g
0
a
a
и сила натяжения нити N1. На тело 2 действует сила тяжести m2g и сила
натяжения нити N
(сила взаимодействия груза 2 с нижней нитью) и Т
2
(взаимодействие груза 2 с верхней нитью). К грузу 3 приложены сила тяжести
m3g и сила натяжения нити Т3.
Невесомость нити означает, что масса грузов много больше массы нити.
Поэтому можно считать, что сила натяжения нити в любом месте нити между
грузами одинакова, т.е. силы натяжения, действующие на два тела, связанные
одной нитью, равны по величине. В данном случае Т
= Т3 = Т и N1 = N2 = N.
2
Нерастяжимость нити
позволяет считать ускорение
тел, связанных одной нитью,
равными по величине. В
нашем случае а
= а2 = а3 = а.
1
Так как суммарная масса
2
грузов 1 и 2, висящих на
одной стороне блока, больше
массы груза 3, висящего на
другой стороне, то грузы m
1
и
m2 движутся вертикально вниз, а m3 – вверх (на рисунке направления движения
грузов показаны векторами ускорений а).
С учётом упомянутых условий запишем уравнения движения каждого
груза (второй закон Ньютона) в проекциях на ось 0х, направленную
вертикально вниз:
m1a = m1g N
m2a = m2g + N T
m3a = m3g T
Чтобы найти ускорение а системы сложим уравнения 1 и 2 и вычтем
уравнение 3 почленно:
(m1 + m2 + m3)a = (m1 + m2 m3)g,
15
g
mmm
mmm
321
321
10
352
352
Подставляя полученное выражение для ускорения а в уравнение 1,
g
mmm
mmm
321
321
g
mmm
mm2
321
31
10
352
322
R
v
m
R
mM
G
2
2
получим
a =
=
= 4 м/с2.
m1
= m1g N
откуда находим силу натяжения нити, связывающей грузы 1 и 2:
N =
=
= 12 Н.
Проанализируем предельные случаи, возможные в данной задаче. Если
положить массу груза m
= 0, то грузы 1 и 2 падают свободно с ускорением
3
свободного падения g. При этом сила натяжения N = 0.
Если же увеличивать массу груза m3, то ускорение а системы
уменьшается, и, при m3 = m1 + m2 система будет в равновесии, т.е. а = 0. При
этом, как и следует ожидать, N = m
1
g.
Если уменьшать массу груза m1, то натяжение N уменьшается и
обращается в нуль (N = 0) при m1 = 0.
10. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое
меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения
искусственных спутников Марса и Земли ТМ/ТЗ, движущихся по круговым
орбитам на небольшой высоте?
Дано: М
Т
= ММ 10; dМ = dЗ 0,5;
З
– ?
М/ТЗ
Решение. Так как высота полета спутника мала, то радиус орбиты
совпадает с радиусом планеты R = 0,5 d. Согласно второму закону Ньютона
сила тяготения равна произведению массы спутника на центростремительное
ускорение:
,
16
где G – гравитационная постоянная;
R
M
G
GM
R
R2
v
R2
GM
R
23
М
3
М
GM
R
2
З
3
З
GM
R
2
М
З
3
З
М
М
М
R
R
М
З
3
З
М
М
М
d
d
105,03
2
1
m – масса спутника;
М – масса планеты;
v – скорость орбитального движения спутника.
Из этого соотношения выразим скорость
v =
.
Период обращения спутника равен времени совершения одного оборота
вокруг планеты со скоростью v:
Т =
=
.
Поскольку записанные соотношения для периодов справедливы для любой
планеты, найдем искомое отношение периодов обращения спутников Марса и
Земли:
ТМ/Т
=
З
:
=
=
=
= 1,1.
11. Тележка массой 0,8 кг движется по инерции со скоростью 2,5 м/с. На
тележку с высоты 50 см падает кусок пластилина массой 0,2 кг и прилипает к
ней. Рассчитайте энергию, которая перешла во внутреннюю при этом ударе.
Дано: M = 0,8 кг; v = 2,5 м/с; h = 0,5 м; m = 0,2 кг; g = 10 м/с2.
Q – ?
Решение. Так как кинетическая энергия куска пластилина в момент удара
о тележку равна его потенциальной энергии на высоте h, то полная энергия
системы пластилин-тележка в момент удара куска пластилина равна
Е
= mgh +
1
Mv2.
Поскольку пластилин после удара о тележку прилипает к ней, то удар
неупругий. В момент удара куска пластилина его скорость направлена
вертикально, т.е. перпендикулярно направлению движения тележки, и поэтому
17
«сила удара» куска пластилина направлена также вертикально. Применяя закон
mMM
2
1
2
1
mM
M
2
2
1
2
1
mM
M
2
2
1
mMm
2
1
2,08,0
2,0
сохранения импульса системы пластилин-тележка в горизонтальном
направлении, имеем:
Mv = (M+m)u,
где u – скорость системы пластилин-тележка после прилипания пластилина.
Из последнего выражения находим
u =
v.
Теперь можем записать выражение для энергии системы пластилин-тележка
после прилипания пластилина:
Е
=
2
(M+m)u2.
Подставляя в последнее выражение для u, имеем:
Е
2
=
v2.
Искомую величину Q найдем, применяя закон сохранения энергии для
системы пластилин-тележка:
Q = Е1 – Е2 = mgh +
Mv2
v2 =
= mgh +
Mv
2
= 0,2100,5 +
0,82,52
= 1,5 Дж.
12. Определите величину силы, поднимающей тело массой m = 10 кг из
состояния покоя по наклонной плоскости с углом наклона = 300 и
коэффициентом трения = 0,1 на высоту h = 10 м с ускорением а = 1,5 м/с2.
Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2. Рассчитайте работу этой силы и
определите составляющие работы, связанные с изменением потенциальной и
кинетической энергии тела и количество теплоты, выделяющееся при трении.
Дано: v0 = 0; m = 10 кг; g = 9,8 м/с2; = 300; = 0,1; h = 10 м; а = 1,5 м/с2.
А – ? Q – ? Wп – ? Wк – ?
18
Решение. На тело действуют силы (см. рисунок):
y
x
N
mg
F
тр
F
т
h
ℓ
- сила тяги Fт, направленная вдоль наклонной плоскости;
- сила тяжести mg, которую следует разложить на две составляющие
mgsin, параллельную наклонной
плоскости, и mgcos, перпендикулярную
наклонной плоскости;
- сила реакции опоры N,
перпендикулярная наклонной плоскости;
- сила трения F
, направленная вдоль
тр
наклонной плоскости.
Сила трения и сила реакции опоры согласно закону Амонтона-Кулона
связаны соотношением:
Fтр = N, (*)
где коэффициент трения.
Запишем второй закон Ньютона для данного тела в векторной форме:
ma = Fт + mg + N + F
тр.
Перепишем это уравнение в проекциях на взаимно перепндикулярные оси 0х и
0у – параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости (см. рисунок):
ma = Fт mgsin F
тр
0 = N mgcos
Решая полученную систему уравнений с учётом выражения (*)
относительно силы тяги, находим:
Fт = mgsin + ma + mgcos = m(g(sin + cos) + a). (1)
Подстановка численных данных даёт:
Fт = mg(sin + cos) + a = 109,8(sin300 + 0,1cos300) + 1,5 = 72,5 Н.
19
Работа силы тяги определяется как произведение величины силы на
sin
h
sin
h
2
mv
2
2
mv
2
2
at
2
sin
h
0
03sin
10
перемещение ℓ и косинус угла между направлением силы и направлением
перемещения (в нашем случае эти направления совпадают, т.е. угол между
ними равен нулю и косинус нуля равен единице):
А = Fтℓ. (2)
Как видно из геометрического построения на рисунке
ℓ =
. (3)
В уравнение (2) для работы подставим выражение (1) для силы Fт и
выражение (3) для перемещения ℓ и получим:
А = Fтℓ = (mgsin + ma + mgcos)
= mgh + maℓ + Fтрℓ.
Откуда видно, что работа силы тяги состоит из трёх слагаемых, первое из
которых определяет изменение потенциальной энергии тела при подъёме
Wп = mgh,
второе слагаемое – изменение кинетической энергии тела
(действительно, maℓ =
Wк =
, так как при равноускоренном движении ℓ =
, а v
= at, с учётом того, что начальная скорость v0 = 0),
третье слагаемое – количество теплоты, выделяемой при трении, равное работе
силы трения
Q = Fтрℓ = (mgcos)ℓ.
Итак, имеем:
А = Wп + Wк + Q.
Делая подстановку численных данных, получим:
А = Fтℓ = Fт
= 72,5
= 1450 Дж;
20
Wп = mgh = 109,810 = 980 Дж;
2
mv
2
sin
h
0
03sin
10
sin
h
0
03sin
10
2
mv
2
1
2
mv
2
2
2
1
2
1
Wк =
= maℓ = ma
= 101,5
= 300 Дж.
Q = Fтрℓ = (mgcos)
= 0,1109,8 cos300
= 170 Дж.
13. Определите полезную мощность Рп водяной турбины с КПД = 90 %,
если вода поступает в нее со скоростью v
= 6 м/с, а выходит из нее со
1
скоростью v2 = 1 м/с на уровне, находящемся на h = 4 м ниже уровня входа.
Объёмный расход воды Q = 20 м
3
/с. Плотность воды = 1103 кг/м
3
. Ускорение
свободного падения g = 9,8 м/с2.
Дано: =0,9; v1 =6 м/с; v2 =1 м/с; h =4 м; Q =20 м3/с; =1103 кг/м3; g =9,8
2
м/с
.
Р
– ?
п
Решение. Согласно закону изменения полной механической энергии,
изменение полной механической энергии системы равно работе
неконсервативных сил, действующих на систему:
A = Wп + Wк.
Изменение кинетической энергии Wк равно разности кинетических
энергий воды массой m на входе и выходе из турбины:
Wк =
=
m(v
2
1
v
2
2
) =
V(v
2
1
v
2
),
2
где V – объём воды массой m и плотностью .
Изменение потенциальной энергии Wп равно:
Wп = mgh = Vgh,
где h – разность высот на входе и выходе из турбины.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]