Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической логике. Учебное пособие.pdf
Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Тверской государственный
университет
М. И. Дехтярь
С. М. Дудаков
Б. Н. Карлов
Сборник задач
по множествам,
булевым функциям
и математической логике
Учебное пособие
Тверь — 2020
УДК 510 + 519
ББК 22.12 + 22.176 я73-4
Д 39
Тверской государственный университет
Факультет прикладной математики и кибернетики
Дехтярь М. И., Дудаков С. М., Карлов Б. Н.
Д 39
Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической логике : Учебное пособие. — Тверь : Твер. гос.
ун-т, 2020. — 128 с.
Учебное пособие адресовано изучающим курс дискретной математики,
прежде всего, студентам младших курсов, обучающихся по направлениям
укрупненных групп 01.03.00 «Математика и механика», 02.03.00 «Компьютерные и информационные науки», 09.03.00 «Информатика и вычислительная техника».
Настоящий сборник задач является пособием для практических занятий
по некоторым разделам дискретной математики и может быть использован
преподавателями и студентами для подготовки к семинарским занятиям и
контрольным работам.
В книге помещено более 250 задач и упражнений, многие из которых
состоят из нескольких независимых подзадач. Большинство задач снабжено ответами, а многие более сложные задачи сопровождаются также
указаниями или решениями.
Задачи в сборнике собраны в 11 разделов. Они посвящены элементам
теории множеств и комбинаторики, булевым функциям и их реализациям,
логике предикатов. Каждому разделу предшествует небольшое теоретическое введение, содержащее основные определения и формулы, используемые
при решении его задач.
УДК 510 + 519
ББК 22.12 + 22.176 я73-4
© Дехтярь Михаил Иосифович ,
Дудаков Сергей Михайлович,
Карлов Борис Николаевич, 2020
ОГЛАВЛЕНИЕ 3
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Множества, отношения и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Логика высказываний и булевы функции . . . . . . . . . . . . 30
5. Эквивалентность формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные
формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. Многочлены Жегалкина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8. Полные множества функций и теорема Поста . . . . . . . . 55
9. Хорновские формулы и задача получения продукции 61
10. Логика предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
11. Логика предикатов и базы данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Указатель терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4 Предисловие
Предисловие
Настоящий сборник задач является пособием для практических
занятий по некоторым из разделов дискретной математики. В качестве основы взят материал, который обычно излагается в первом
семестре студентам первого курса Тверского государственного университета, обучающимся по направлениям 01.03.02 — «Прикладная
математика и информатика», 02.03.02 — «Фундаментальная информатика и информационные технологии» и 09.03.03 — «Прикладная
информатика». Он может быть использован преподавателями для
подготовки к практическим занятиям и контрольным работам.
По темам задач и по структуре, а также по терминологии и обозначениям данный задачник является дополнением к учебнику [4],
который используется в ТвГУ в качестве основного учебника по курсу
дискретной математики. В частности, в настоящее пособие вошли
почти все задачи из первых глав книги [4]. Общая структура и часть
задач были заимствованы из ранее изданного задачника [5]. При
написании также использовался материал некоторых других изданий,
полный перечень которых приведён в конце книги.
Задачник может использоваться и как независимое пособие, поскольку задачам каждого раздела предшествует небольшое теоретическое введение, содержащее основные определения и формулы,
используемые при их решении.
В книге помещено более 250 задач и упражнений, многие из которых состоят из нескольких независимых подзадач. Условно их можно
отнести к следующим категориям.
Предисловие 5
1)
Упражнения на закрепление основного материала, в частности,
задачи на выполнение стандартных преобразований и на пошаговое исполнение тех или иных методов, процедур и алгоритмов.
2)
Задачи на доказательство (как правило, не очень сложное)
отдельных утверждений об основных изучаемых понятиях.
3)
Задачи на установление свойств новых, не определённых в основном тексте понятий. Эти задачи расширяют материал книги
[4] и предназначены для самых любознательных читателей.
Задачи в сборнике собраны в 11 разделов. Первые три являются
введением и позволяют получить первоначальные представления о
множествах, отношениях и функциях, приобрести некоторые навыки в проведении доказательств методом математической индукции,
научиться применять основные формулы комбинаторики. Разделы
4–9 посвящены булевым функциям. Тематика первых пяти из них
достаточно традиционна. Задачи раздела 9 посвящены интересному
подклассу булевых формул — хорновским формулам — и эффективным алгоритмам проверки выводимости для них. Задачи разделов 10
и 11 должны научить пониманию семантики формул логики предикатов и продемонстрировать её связь с теорией баз данных.
Почти для всех задач приведены ответы и решения.
Список литературы содержит некоторые учебники и сборники
задач аналогичной тематики.
Все замечания и предложения следует отправлять авторам по
адресам электронной почты:
sergeydudakov@yandex.ru
bnkarlov@gmail.com
6 1. Множества, отношения и функции
1. Множества, отношения и
функции
Основные множества.
ство: для любогоxвыполнено
натуральных чисел;R— множество всех вещественных (действительных)
чисел.
Операции над множествами. О б ъ е д и н е н и е множеств:
A ∪ B = {x : x ∈ A или x ∈ B}.
П е р е с е ч е н и е множеств:
Р а з н о с т ь множеств:
При наличии универсума U д о п о л н е н и е множества A:
С и м м е т р и ч е с к а я р а з н о с т ь (или д и з ъ ю н к т и в н а я с у м м а):
Д е к а р т о в о п р о и з в е д е н и е множеств A1, . . . , An:
Символом∅обозначается п у с т о е множе-
x /∈ ∅;ω={0,1,2,3, . . .}
A ∩ B = {x : x ∈ A и x ∈ B}.
A \ B = {x : x ∈ A и x 6∈ B}.
¯
A = U \ A.
A −·B = (A \ B) ∪(B \ A).
— множество
A1× . . . × An= {(a1, . . . , an) : a1∈ A1, . . . , an∈ An}.
Задачи 7
Д е к а р т о в а с т е п е н ь: при n > 1
An= A × A × . . . × A
| {z }
n раз
.
МножествоAявляется п о д м н о ж е с т в о м множестваB(записывается в виде
A ⊆ B
), если все элементыAявляются также элементамиB.
М н о ж е с т в о п о д м н о ж е с т в множества A
P(A) = {x : x ⊆ A}.
Отношения и функции.
Б и н а р н о е (или д в у х м е с т н о е) о т -
н о ш е н и е между элементами множествAиB— подмножествоRих
декартова произведения A × B. О б л а с т ь о п р е д е л е н и я R:
dom R = {x : существует y такое, что (x, y) ∈ R}.
О б л а с т ь з н а ч е н и й R :
rng R = {y : существует x такое, что (x, y) ∈ R}.
О б р а т н о е отношение для бинарного отношения R:
R−1= {(x, y) : (y, x) ∈ R}.
К о м п о з и ц и я отношений R1⊆ A × B и R2⊆ B × C:
R1◦ R2= {(x, z) : существует y ∈ B такое,
что (x, y) ∈ R1и (y, z) ∈ R2}.
Бинарное отношениеRна множествеAназывается отношением э к в и -
в а л е н т н о с т и , если для него выполнены следующие условия:
1) р е ф л е к с и в н о с т ь: (a, a) ∈ R для любого a ∈ A;
2)
с и м м е т р и ч н о с т ь : для любых
a, b ∈ A
если выполнено (
то (b, a) ∈ R;
3)
т р а н з и т и в н о с т ь : для любых
a, b, c ∈ A
если (
a, b)∈ R
и (
то и (a, c) ∈ R.
a, b)∈ R
b, c)∈ R
,
,
8 1. Множества, отношения и функции
К л а с с ы э к в и в а л е н т н о с т и отношенияR: для
валентности [a]Rвключает все эквивалентные a элементы:
[a]R= {b ∈ A : (a, b) ∈ R}.
Бинарное отношениеRна множествеAназывается отношением ч а -
с т и ч н о г о п о р я д к а, если для него выполнены следующие условия:
1)
а н т и с и м м е т р и ч н о с т ь : для любых
(b, a) ∈ R, то a = b;
2) транзитивность.
Отношением л и н е й н о г о п о р я д к а называют такое отношение частичного порядка R, что кроме условий 1) и 2) выполнено
3)
л и н е й н о с т ь: для любых
или a = b.
Бинарное отношение R частичного порядка на множестве A называется
4) н е с т р о г и м, если выполнена рефлексивность;
5)
с т р о г и м , если выполнена а н т и р е ф л е к с и в н о с т ь: (
для любого a ∈ A.
Бинарное отношениеfназывается ф у н к ц и е й (или о т о б р а ж е н и е м ) изAвB, если
что (
x, y1)
∈ f
и (
виде:f:
dom f=A ⊆ A0, тоfназывается ч а с т и ч н о й ф у н к ц и е й из
B
. Функцияfназывается р а з н о з н а ч н о й (или о б р а т и м о й , и н ъ -
е к т и в н о й, 1 - 1 - ф у н к ц и е й), если для любых
f(x1) =yиf(
с ю р ъ е к т и в н о й, если
и м н о о д н о з н а ч н о й (или б и е к т и в н о й), если она разнозначна и
сюръективна. Взаимно однозначная функцияf:
с т а н о в к о й множестваA. О б р а з множества
f : A → B — это множество
A → B
. Для функцииfвместо (
x2) =yследует, что
dom f=A,rng f ⊆ B
x, y2)
∈ f
rng f=B
a, bизA
, следует, что
x1=
x2. Функцияf:
. Функцияf:
выполнено (
и для всех
y1=
x, y)∈ f
a ∈ A
его класс экви-
a, b ∈ A
A → A
, если (
a, b)∈ R
y2. Записывается это в
пишемf(x) =y. Если
x1, x2, y
A → B
A → B
C ⊆ A
называется в з а -
называется п е р е -
при отображении
a, b)∈ R
, (
b, a)∈ R
a, a)/∈ R
x, y1, y2из того,
из того, что
называется
A0в
и
П р о о б р а з множества
ство
f[C] = {f(x) : x ∈ C}.
D ⊆ B
f−1[D] = {x ∈ A : f (x) ∈ D}.
при отображенииf:
A → B
— это множе-
Задачи 9
С помощью
ство конечно, то мощность множества — это просто количество элементов
в нём, натуральное число. МножестваAиBназываются р а в н о м о щ н ы м и (обозначается
функцияf:
р а в н у юB(обозначается
цияf:
g:B → A
меньшую или равную мощности множества натуральных чиселω, то есть
|A| 6 |ω|
ровать натуральными числами.
A → B
. Последнее означает, что все элементы множества можно пронуме-
|A|
обозначается м о щ н о с т ь множестваA. Если множе-
|A|=|B|
A → B
. Множество называется с ч ё т н ы м , если оно имеет мощность
. МножествоAимеет м о щ н о с т ь м е н ь ш у ю и л и
или, что эквивалентно, существует сюръективная функция
), если существует взаимно однозначная
|A| 6 |B|
), если существует разнозначная функ-
Задачи
1.
Найти все подмножества множеств∅,
2.
Дано множествоA={0
, {0,1,2}, {3},4, {{5}},6}
кие из следующих множествB={0,4},C={6
E={{0,1,2}, {3}},F={0, {5}},G={{3},2, {{5}},6}
подмножествами A?
3.
Даны множества:A=
C={a, b, c, d, {e}, ∅}
{a, b, {∅}, {a, c, d}},B={a, c, e, {a}, {b}}
. Найти множествоD= (
мощность?
4.
Даны множества:A=
C={a, b, d, {e}, {∅}}
{a, b, c, {∅}, {a}},B={a, e, {a}, {b}, ∅}
. Найти множествоD= (
мощность?
5. Пусть A = {0, 1}, B = {a, b, c}. Найти множества A × B и B × A.
6.
Для каких множествAиBвыполняется равенство
7.
Даны четыре множества:A={0,1,2},B={2,3},C=
D = {a, c, e}. Определить, чему равны следующие множества:
{∅}, {1,2,3},{a, {1,2}, ∅}
. Определить, ка-
, {3},0},D={0,3}
не являются
A ∪ B)\ C
A \ B)∩C
. Какова его
. Какова его
A×B=B ×A
{a, b, c}
.
~
,
~
и
~
и
~
~
~
?
и
(а) F1= (A \ B) ×(C ∩ D);
(б) F2= (A ∩ B) ×(C ∩ D);
8. Доказать следующие включения:
(в) F3= (B \ A) ×(C \ D).
~
10 1. Множества, отношения и функции
(а) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B; (б) A \ B ⊆ A.
9. Доказать следующие тождества для любых множеств A, B, C:
(а) A ∪ A = A ∩ A = A;
(б) A∩(B∪C
(в)(A∪B)∩A
(г) A\(B∪C
(д) A\(B∩C
(е) (A \ B) ∩C = (A ∩ C) \B;
10.
Пусть множества
ствами универсума U . Доказать следующие тождества:
(а) A ∩ B =¯A ∪¯B;
(б) A ∪ B =¯A ∩¯B;
11. Доказать, что
(а) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪(A × C );
(б) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩(A × C );
(в) A × (B \ C) = (A × B) \(A × C );
) = (
A∩B)∪(A∩C
= (
A∩B)∪A=A
) = (
A\B)∩(A\C
) = (
A\B)∪(A\C
A, B, C
(в) A \¯B = A ∩ B;
(г)¯A \ B =¯A ∩¯B;
(ж) A\(B\C
);
(з) (A \ B) \C = A \ (B ∪ C);
;
(и) A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A;
);
(к) A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅;
);
(л) A −·∅ = ∅ −·A = A;
(м) A −·A = ∅.
и их дополнения являются подмноже-
) = (
A\B)∪(A∩C
(д)¯A \¯B = B \A.
~
);
~
~
(г) если A ⊆ B и C ⊆ D, то (A × C) = (A × D) ∩ (B × C).
12. Доказать, что A ⊆ B тогда и только тогда, когда P(A) ⊆ P(B).
13. Доказать, что
(а) A ⊆ B ∩ C тогда и только тогда, когда A ⊆ B и A ⊆ C;
(б) A ⊆ B \ C тогда и только тогда, когда A ⊆ B и A ∩ C = ∅.
14. Доказать следующие равенства и включения:
(а) P(A ∩ B) = P(A) ∩P(B);
(б) P(A ∪ B) ⊇ P(A) ∪P(B);
(в) P(A \ B) ⊆ (P(A) \P(B)) ∪{∅}.
Привести примеры, когда указанные включения будут строгими.
~
~
~
~