Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической логике. Учебное пособие.pdf
Многочлены Жегалкина 51
7. Многочлены Жегалкина
Значение формулы
x ∧ y
равно произведению значенийxиy, поэтому
вместо конъюнкции ∧ можно писать обычное умножение: xy вместо x ∧ y.
М н о г о ч л е н Ж е г а л к и н а — это формула вида
где каждая
Ki,i= 1
, . . . , n
, является нулём, единицей или произведением
K1⊕ ·· · ⊕ Kn,
какого-то числа переменных.
Многочлен Жегалкина называется п р и в е д ё н н ы м, если он равен 0
либо все его слагаемые не равны 0, не содержат повторяющихся множителей
и сами попарно различны (с точностью до перестановки сомножителей).
При построении многочлена Жегалкина для произвольной формулы
можно применять следующие эквивалентности:
¬x ≡ (x ⊕ 1), (6)
(x1∧ x2) ≡ (x1x2), (7)
(x1∨ x2) ≡ (x1x2⊕ x1⊕ x2), (8)
(x1⊕ x2)(x3⊕ x4) ≡ (x1x3⊕ x1x4⊕ x2x3⊕ x2x4). (9)
Пусть
Ki=
V
j
σ
=1
i
xj, гдеi=
турального числаi,i= 0
, . . . ,
1
2
σ
σ
i
2n−
n
. . . σ
i
— двоичное представление на-
i
1. Тогда многочлен Жегалкина для
n-местной булевой функции f можно записать в виде:
f(x1, . . . , xn) = α0K0⊕ α1K1⊕ α2K2⊕ . . . ⊕ α
2n−1K2n−1
, (10)
где
αi∈ B
дляi= 0
, . . . ,
2n−
1. М е т о д н е о п р е д е л ё н н ы х к о э ф -
ф и ц и е н т о в заключается в подстановке в это равенство всевозможных
значений переменных и решении получившейся треугольной системы линейных уравнений относительно αi.
52 7. Многочлены Жегалкина
Другой, т а б л и ч н ы й , способ нахождения коэффициентов многочлена
1
2
Жегалкина состоит в следующем. Пусть по-прежнемуi=
двоичное представление натурального числаi,i= 0
fiобозначим значение булевой функцииf(
1
2
(
σ
, σ
i
i
, . . . , σ
n
). Для функцииfопределим булеву треугольную матрицу
i
x1, . . . , xn) на наборе аргументов
, . . . ,
2n−
σ
σ
i
1. При помощи
i
. . . σ
n
i
J
размера 2n× 2n:
• Нулевая строка содержит значения fi: J
•
Каждая следующая строка содержит суммы по модулю два чисел
сверху от текущего и следующего за ним:
0,i
= fi.
f
J
i+1,`
f
i,`
⊕ J
f
i,`+1
для
=
J
` = 0, . . . , 2n− i − 1.
Тогда нулевой столбец этой матрицы даст упорядоченный поiнабор коэффициентов αiдля многочлена Жегалкина функции f .
Задачи
164. Доказать эквивалентности (6)–(9).
165.
Используя основные эквивалентности и тождества
эквивалентные многочлены Жегалкина и доказать эквивалентность
следующих пар формул:
(а) Φ = ((z ∧ (x → y)) ∨¬(¬x → z)), Ψ = (x → (y ∧ z));
(б) Φ = ¬(x → (y ∧z)) ∧(¬y ∨¬x),
Ψ = (¬(x → y) ∨ z) ∧¬((¬x ∧ z) ∨ (y ∧ z));
(6)–(9)
, найти
—
f
~
(в)
Φ = (((
y ∧ z)→ ¬(x ∨ z))∧ ¬(¬y ∧ z ∧x
)), Ψ = (
z →(¬y ∧ ¬x
));
(г) Φ = ¬(((x → y) ∨ ¬z) ∧x), Ψ = (¬(z → y) ∨¬x);
(д) Φ = (¬((x → y) ∨ ¬(y → x)) ∧z), Ψ = ¬((x ∧ z) → y).
166.
Найти многочлены Жегалкина (методом неопределённых коэффициентов и с помощью матрицыJ) для следующих функций от
трёх аргументов. Считаем, что наборы их аргументов упорядочены
лексикографически и значения на них задаются последовательностью
8 нулей и единиц:
~
Задачи 53
(а) f = (0010 1100);
(б) f = (1110 1100);
167.
Найти методом неопределённых коэффициентов многочлены
(в) f = (1100 0011);
(г) f = (0110 1011).
Жегалкина для следующих функций:
(а) f(x, y, z) = (x ↑ y) → (¬y ∨ z);
(б)
значения функцииg(
x, y, z, u
) задаются следующей последовательностью нулей и единиц при лексикографическом упорядочении аргументов: (1010 1100 0110 1101);
(в) h(x, y, z) = (x ∧ ¬y ∧¬z) ∨(¬x → (y ∧ z ∧¬u)).
168.
Доказать, что многочлен Жегалкина для булевой функции
f(x1, x2, . . . , xn) можно получить, раскрыв скобки в следующей формуле и упростив её:
pf(x1, x2, . . . , xn) =
M
=
f(σ1,σ2,...,σn)=1
169.
Используя предыдущую задачу, найти многочлены Жегалкина
для следующих функций. Значения функцийf(
(x1⊕ σ1⊕ 1)(x2⊕ σ2⊕ 1) . . . (xn⊕ σn⊕ 1).
x, y, z
) иg(
x, y, z
) заданы последовательностями нулей и единиц при лексикографическом
упорядочении аргументов:
~
~
~
(а) f = (0110 1000);
(б) g = (1010 1100);
(в) h(x, y, z) = (x ∧ ¬y ∧z) → (y ∧ z).
170.
Доказать, что многочлен Жегалкина тождественно равен нулю
тогда и только тогда, когда все его коэффициенты
αiв представлении
(10) равны нулю.
171.
Д л и н о й многочлена Жегалкина называется количество его
слагаемых. Например, многочленp(
x1, x2) = 1
⊕x1⊕x1x2имеет длину
три. Определить, сколько существует различных многочленов Жегалкина отnпеременных длиныk, которые одновременно обращаются в
~
~
54 7. Многочлены Жегалкина
ноль на наборах (0,0
, . . . ,
0) и (1,1
, . . . ,
1), состоящих из одних нулей
и единиц, соответственно.
172.
Пусть приведённый многочлен Жегалкинаp(
мает значение 1 в точности на одном наборе (
x1, . . . , xn) прини-
σ1, . . . , σn). Найти его
длину.
Найти булеву функцию отnпеременных, у которой приведён-
173.
ный многочлен Жегалкина имеет наибольшую длину.
174.
Пусть приведённый многочлен Жегалкинаp(
x1, . . . , xn) при-
нимает значение 1 в точности на двух противоположных наборах:
(σ1, . . . , σn) и (¬σ1, . . . , ¬σn). Найти его длину.
175.
Доказать, что приведённый многочлен Жегалкинаp(
x1, . . . , xn)
задаёт функцию, которая коммутативна по любой паре аргументов,
тогда и только тогда, когда для любогоk= 0
, . . . , n
многочлен или содержит всевозможные слагаемые сkмножителями, или не содержит
ни одного из них.
176.
Пусть длина многочлена Жегалкина определена как в задаче 171
на предшествующей странице. Индукцией по
всякогоk= 0
, . . . ,
2nсуществует многочлен Жегалкинаp(
n >
1 доказать, что для
x1, . . . , xn)
длины не большей чемn, который обращается в единицу в точности
на k наборах аргументов.
177. Пусть многочлен Жегалкина задаётся формулой
~
~
~
~
~
~
pn(x1, . . . , xn) = 1 ⊕x1⊕ x1x2⊕ x1x2x3⊕ . . . ⊕ x1x2. . . xn.
Доказать индукцией по
единицу в точности на
178.
Пусть ненулевой многочлен Жегалкина сnпеременными не
1
3
n >
1, что этот многочлен обращается в
n+1
(2
+ (−1)n) наборах аргументов.
содержит слагаемых с более чемkпеременными. Используя индукцию поn, доказать, что количество единиц среди значений этого
многочлена не меньше 2
n−k
.
~
~
Полные множества функций и теорема Поста 55
8. Полные множества
функций и теорема Поста
З а м ы к а н и е множества булевых функцийF(обозначается с помощью
[F]) — это множество всех функций, которые можно задать с помощью
формул надF. Множество функцийFназывается з а м к н у т ы м , если
F = [F].
Основные замкнутые множества функций:
1)
Множество
таких f , что f(0, . . . , 0) = 0.
S0булевых функций, с о х р а н я ю щ и х н о л ь, то есть
2)
Множество
есть таких f , что f(1, . . . , 1) = 1.
3)
МножествоSс а м о д в о й с т в е н н ы х булевых функций, то есть
таких f , что ¬f(x1, . . . , xn) = f(¬x1, . . . , ¬xn).
4)
МножествоLл и н е й н ы х булевых функций, то есть такихf, что
f(x1, . . . , xn) =
5)
МножествоMм о н о т о н н ы х булевых функций, то есть такихf,
что f(σ1, . . . , σn) > f (τ1, . . . , τn) всегда, когда σ1> τ1, . . . , σn> τn.
Множество булевых функцийFназывается п о л н ы м , если формулами
над ним можно задать любую булеву функцию, то есть [F ] = P.
Те о р е м а П о с т а о п о л н о т е : множество булевых функций
является полным тогда и только тогда, когда оно не включено ни в один
из классов S0, S1, S, L, M.
Полное множество булевых функций называется б а з и с о м, если при
удалении из него любой функции оно становится неполным.
S1булевых функций, с о х р а н я ю щ и х е д и н и ц у , то
α0⊕α1x1⊕· ·· ⊕αnxnдля каких-то
α0, α1, . . . , αn∈ B
.
F
56 8. Полные множества функций и теорема Поста
Задачи
179.
Определить, какие из следующих формул задают самодвойственные функции:
(а) Φ1= x ∨ (¬y ∧ z);
(б) Φ2= (¬x ∧ y) ∨(z ∧ ¬(x ⊕ y));
(в) Φ3= (x ∧ ¬z) ∨(y ∧ ¬z) ∨ (x ∧y);
(г) Φ4= (¬x → (y ∨ z)) → (¬y ∧ z).
180.
Определить, какие из следующих формул задают монотонные
функции:
(а) Φ1= (y → ¬x) → (y ∧z);
(б) Φ2= (¬(x ∧ y) ∨¬z) → (¬x → (y ∧ z));
(в) Φ3= (¬x → (y ∧ ¬z)) → y;
(г) Φ4= ¬z → (y ∧ ¬x).
181.
Доказать полноту множества
Пирса, непосредственно выразив через неё отрицание, дизъюнкцию
и конъюнкцию.
182.
Доказать, что множество
ли его сделать полным, добавив некоторую константу?
183.
Определить принадлежность каждой из функций, представленных в таблице на рис. 1 на следующей странице, каждому из множеств
S0, S1, S, L и M.
184.
Используя результаты задачи 183, определить, какие из троек
функций, представленных на рис. 1 на противоположной странице,
являются полными множествами. Имеются ли среди них полные
множества из двух функций? Из одной функции? Какие из них будут
базисами?
185.
Какие функции следует удалить из множестваF=
чтобы оно стало базисом?
{↓}
, включающего только стрелку
{∨, ∧, →}
не является полным. Можно
{f, g, h}
~
~
~
~
~
~
,
~
f(x, y) = x ∨y; g(x, y) = x → ¬y; h(x, y) = x ⊕ y.
Задачи 57
x
x
x
f
f
f
f
f
f
1
2
3
1
2
3
4
5
f
6
7
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1 0 0
Рис. 1: Функции из задачи 183.
x1x2x3f g h
0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1
1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0
Рис. 2: Функции f, g, h.
186.
Найти все базисы, которые можно получить, удаляя функции
из множества {0, 1, ∧, ∨, →}.
187.
Найти все базисы, составленные из функций на рис. 2. Для
каждого из них выразить с помощью функций базиса обе константы,
отрицание ¬ и импликацию →.
188.
Выразить функции 0, 1,∨,∧,↔с помощью формул, построенных из функций полного множества {¬, →}.
~
~
~
58 8. Полные множества функций и теорема Поста
189.
Булевы функции заданы последовательностью их значений при
лексикографическом упорядочении аргументов. Найти все базисы,
которые можно составить из следующих функций.
(а) f1= (0011 1100);
(б) f2= (1010 0101);
(в) f3= (0110 1001);
(г) f4= (1001 0110);
(д) f5= (1110 1000);
(е) f6= (0111 0001);
(ж) f7= (1001 1011);
(з) f8= (1100 1000);
(и) f9= (0101 0111);
(к) f10= (0001 0101).
Для каждого базиса показать, как с помощью его элементов по-
строить константы, отрицание и конъюнкцию (или дизъюнкцию).
190.
Определить, как по заданной ДНФ (КНФ) определить, будет
ли она сохранять ноль или единицу, не вычисляя её значений.
191.
Доказать, что замыканием множества
{∧, ∨, →}
является
S1.
Можно ли то же самое утверждать для множества {∧, →}?
192.
Доказать, что замыканием каждого из множеств
{↔, ∧},{↔, ∨}
{↔, →} является S1.
193.
Назовём функциюf(
f
можно представить в видеf(
g(x1, . . . , xn) — некоторая функция, не зависящая от
Доказать, что булева функцияf(
x1, . . . , xn) линейной по переменной
x1, . . . , xn) =g(
x1, . . . , xn)
xi,
⊕ αixi, где
αi∈ {0,1}
x1, . . . , xn) является линейной тогда
xi, если
и только тогда, когда она линейна по всем переменным.
194.
Доказать, что функцияf(
тогда и только тогда, когда при изменении значения переменной
x1, . . . , xn) линейна по переменной
x
x
значение функции либо всегда меняется (то есть для всех значений
остальных переменных), либо никогда не меняется (то естьfот
x
не зависит).
195. Доказать, что замыканием множества {↔} является S1∩ L.
196.
Доказать, что для монотонных функций
(n)
f
∈ M
справедливо
представление
~
~
~
,
~
.
~
i
i
i
~
~
f(x1, . . . , xn) = (xi∧ f(x1, . . . , x
, 1, x
i−1
i+1
∨ f(x1, . . . , x
, . . . , xn))∨
, 0, x
i−1
, . . . , xn),
i+1
Задачи 59
для всехi= 1
, . . . , n
. Вывести отсюда (индукцией поn), что для
всякой монотонной функции, отличной от константы, существуют
задающие её ДНФ и КНФ, не содержащие отрицаний переменных.
197.
Доказать, что булева функция
(n)
f
является монотонной тогда
и только тогда, когда она монотонна по каждому аргументу: для всех
i = 1, . . . , n и всех σ1, . . . , σn∈ B выполнено неравенство
f(σ1, . . . , σ
198.
Доказать, что булева функцияf(
i−1
, 0, σ
, . . . , σn) 6 f (σ1, . . . , σ
i+1
i−1
, 1, σ
, . . . , σn).
i+1
x1, . . . , xn) является монотон-
ной тогда и только тогда, когда её сокращённая ДНФ не содержит
отрицаний.
199. Определить, что будет замыканием множества {∧, ∨}.
200.
Доказать, что булева функцияfявляется самодвойственной
тогда и только тогда, когда f∗= f (см. задачу 144 на стр. 44).
201.
Доказать, что булева функцияf(
x1, . . . , xn) является самодвой-
ственной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет свойству из
задачи 157 на стр. 49.
202.
Доказать, что двойственной к линейной (монотонной) функции
снова будет линейная (соответственно, монотонная) функция. Определить, как ведёт себя двойственная функция
f∗, еслиfсохраняет
ноль или единицу (см. задачу 144 на стр. 44).
203.
Доказать, чтоn-местная булева функцияf(
x1, . . . , xn) самодвой-
ственна тогда и только тогда, когда
~
~
~
~
~
~
~
f(x1, . . . , xn) = g(x1⊕ x2, . . . , x1⊕ xn) ⊕x
1
для некоторой (n − 1)-местной булевой функции g.
204.
Определить количество функций из
Pn, принадлежащих каж-
дому из множеств S0, S1, S и L.
205.
Найти количество булевых функций отnпеременных, являющихся одновременно самодвойственными и линейными.
206.
Найти количество булевых функций отnпеременных, являющихся одновременно монотонными и линейными.
~
~
~
~
60 8. Полные множества функций и теорема Поста
207.
Определить количество функций из
Pn,
принадлежащих каж-
дому из классов:
(а) S0∩ S1;
(б) S0∪ S1;
(в) S ∩ S0;
208.
Сколько имеется монотонных булевых функций отnперемен-
(г) L ∩ S0;
(д) L ∩ S1;
(е) S ∩ S0∩ S1;
(ж) (S \ S0) ∩S1;
(з) M \ S0;
(и) M \ S1.
ных, у которых значения зависят лишь от числа единиц в наборе
аргументов?
209.
Пусть ДНФDне содержит отрицаний и к ней не применимы
законы поглощения. Доказать, что она является сокращённой.
210.
Доказать, что количество монотонных функций в
bn/2c
C
n
2
211.
.
Доказать, что еслиf(
x1, . . . , xn) — линейная функция, отличная
от константы, то количество единиц в таблице истинности равно 2
Pnне меньше
n−1
Верно ли обратное?
212.
Доказать, что если функцияfпостроена только с помощью
дизъюнкции и импликации, то количество единиц в таблице истинности не меньше половины. Верно ли обратное?
213.
Доказать, что в условии задачи 191 на стр. 58 конъюнкцию
удалить нельзя.
214.
Найти все трёхместные булевы функцииf, которые в одиночку
образуют полное множество {f }. Найти их количество.
215.
Доказать, что если двухместная булева функция сохраняет
ноль и единицу, то она является монотонной. Показать, что уже для
трёхместных функций это неверно.
216.
Доказать, что если базис не содержит функций местности более
двух, то он содержит не более трёх функций.
217.
Доказать, что если базис не содержит нульместных функций и
ни одна из функций не имеет фиктивных аргументов, то он содержит
не более трёх функций.
~
~
~
~
.
~
~
~
~
~
~
~