Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической логике. Учебное пособие.pdf
Хорновские формулы и задача получения продукции 61
9. Хорновские формулы и
задача получения
продукции
ПустьA— это множество пропозициональных переменных. Х о р н о в -
с к а я формула — это формула вида
(a1∧ a2∧ · · · ∧ ar) → b,
где
ai, b ∈ A
хорновских формулF, если на всяком наборе значений переменных изA,
на котором истинны все формулы изF, истинна иϕ(обозначение:
Те х н о л о г и ч е с к и й п р о ц е с сtзадаётся множеством
х о д н ы х п р о д у к т о в этого процесса и его р е з у л ь т и р у ю щ и м п р о д у к т о м bt∈ A.
Задача п о л у ч е н и я п р о д у к ц и и : выяснить по заданному набору
исходных продуктов
с помощью технологических процессов из множестваFполучить выход
по входным продуктам из X .
Для множества технологических процессовFи исходного множества
продуктовXз а м ы к а н и е мXс п о м о щ ь юFназывается множество
продуктов
Простейший алгоритм построения замыкания заключается в выборе из
на каждом шаге продукций, у которых вся левая часть уже получена и
. Хорновская формулаϕявляется с л е д с т в и е м множества
F ⇒ ϕ
X ⊆ A
cl(X, F ) = {y ∈ A : F ⇒
и результирующему продукту
^
x∈X
x→ y}.
y ∈ A
Lt⊆ A
, можно ли
и с -
F
).
y
62 9. Хорновские формулы и задача получения продукции
добавлением правой части к полученным продуктам ([4], рис. 13, алгоритм
Замыкание).
Более совершенный алгоритм учитывает для каждой продукции количество ещё не полученных продуктов в левой части и при получении каждого
из них уменьшает соответствующий счётчик на единицу. Как только счётчик стал равен нулю, продукт из правой части считается полученным ([4],
рис. 15, алгоритм ОптЗам).
Задачи
218.
Определить, каким из классов
булева функцияf(
x1, . . . , xn, y
), задаваемая хорновской формулой
(x1∧ ··· ∧ xn) → y.
219. Пусть задано множество хорновских формул
F = {(x ∧ y) → z, (v ∧ z) → x,
(v ∧ z) → y, (z ∧ v) → u, (u ∧ x) → w}.
Какие из следующих формул являются следствиями F ?
S0,
S1,S,L,
M
принадлежит
~
(а) (v ∧ z) → w; (б) (x ∧ y) → w; (в) (x ∧ y ∧ z) → w.
220.
Доказать, что каждое множество хорновских формул имеет
модель, то есть интерпретацию, в которой все они истинны.
221.
Доказать, что если КНФ в каждой элементарной конъюнкции
содержит в точности одну переменную без отрицания, то она эквивалентна конъюнкции хорновских формул.
222.
ПустьIиJ— интерпретации. Назовём их пересечением интерпретацию
K=IJ
такую, чтоK(x) = 1 тогда и только тогда,
когдаI(x) =J(x) = 1, для всех переменныхx. Доказать, что если
хорновская формула имеет моделиIиJ, то их пересечениеK=
IJ
тоже будет моделью.
223.
Доказать, что формула Φ эквивалентна конъюнкции хорнов-
ских формул тогда и только тогда, когда сокращённая ДНФ для
~
~
~
~
Задачи 63
¬
Φ содержит в каждой элементарной конъюнкции в точности одну
переменную с отрицанием.
224.
Назовём с л о ж н ы м т е х н о л о г и ч е с к и м п р о ц е с с о м
такой процессt, который по набору исходных продуктов
временно производит некоторое множество продуктов
продукт
соответствует конъюнкция хорновских формул.
225.
набора исходных продуктовX=
процессов F :
bt). Доказать, что сложному технологическому процессу
Используя алгоритм Замыкание, вычислить замыкание для
{c, d}
a, b, d → h; e, f → c; h, d, c → g;
a, c, d, g → f ; b, k → a; d, g, a → e;
d, g → b; d, c → k; c, d, k → h.
и системы технологических
Ltодно-
Bt(а не один
~
~
Определить, какая цепочка процессов приводит к получению e.
226.
Используя алгоритм ОптЗам, вычислить замыкание для набора исходных атрибутовX=
стей F :
a, b, c → h (1); e, f → c (3); g, d → e (5);
a, c, d, g → h (2); f, a → d (4); d, f, a → g (6).
Определить, какая цепочка процессов приводит к получению h.
227.
ПустьA=
ит из следующих шести процессов:
a, b, c, h → d (1); g, b → e (3); f, e → d (5);
b, c, d → a (2); e, f → c (4); b, f → g (6).
Используя алгоритм ОптЗам, определить, какая последовательность
процессов приводит к получению a.
{a, b, c, d, e, f, g, h},X={b, f }
{a, f }
и следующей системы зависимо-
, а множествоFсосто-
~
~
~
64 10. Логика предикатов
10. Логика предикатов
С и г н а т у р о й языка логики предикатов называется пара Σ = (
(n1)
в которойP=
{P
(n2)
, P
2
, . . . , P
1
д и к а т н ы е с и м в о л ы ),V=
(nk)
, . . .}
k
— имена предикатов (или п р е -
{x1, x2, . . . , xm, . . .}
— имена объектов (или
P , V
п р е д м е т н ы е п е р е м е н н ы е).
А т о м н а я ф о р м у л а сигнатуры Σ — это строка одного из двух
следующих видов:
(n)
P
(
x1, . . . , xn) или
x1≈ x2для произвольных
(n)
P
∈ P
x1, x2, . . . , xn∈ V . Ф о р м у л а сигнатуры Σ определяется индуктивно:
1)
Каждая атомная формула является формулой. Все вхождения пере-
менных в формулу являются с в о б о д н ы м и .
2)
Если Φ и Ψ формулы, то строки вида (Φ∧Ψ), (Φ∨Ψ), (Φ→Ψ) и
¬
Φ тоже формулы. Все вхождения переменных в новые формулы
остаются такими же, какими были в исходных.
3)
Если Φ — формула,
x ∈ V
, то строки вида (∀x)Φ и (∃x)Φ тоже формулы. Строки (∀x) и (∃x) называются к в а н т о р а м и в с е о б щ н о с т и
и с у щ е с т в о в а н и я соответственно по переменнойx. Формула Φ
называется о б л а с т ь ю д е й с т в и я соответствующего квантора.
Все свободные вхождения переменнойxв формулу Φ становятся
с в я з а н н ы м и кванторами (∀x) или (∃x) соответственно. Остальные вхождения переменных остаются такими же, какими были в
формуле Φ.
Формула без свободных переменных называется з а м к н у т о й. Формула,
имеющая видQΦ, гдеQ— последовательность кванторов, а Φ — бескванторная формула, называется п р е д в а р ё н н о й.
С помощью (Φ)
x
обозначается результат замены всех свободных вхож-
y
дений переменнойxв формуле Φ наy. При этом требуется, чтобы вновь
),
,
Задачи 65
полученные вхождения переменнойyтоже были свободными, иначе результат замены неопределён.
И н т е р п р е т а ц и я сигнатуры Σ = (
в которой
1) A
— произвольное непустое множество, п р е д м е т н а я о б л а с т ь
или н о с и т е л ь;
2) ν
— функция, которая каждому символу
ствие n-местное отношение на множестве A;
3) σ — функция, отображающая V в A.
P , V
) — это тройкаI= (
(n)
P
∈ P
A, ν, σ
ставит в соответ-
),
Значение переменной
x
(I)
, где
x ∈ V,a ∈ A
a
x ∈ V
в интерпретацииI— этоσ(x). С помощью
, обозначается интерпретация, которая отличается от
I только тем (если вообще отличается), что значением x является a.
З н а ч е н и е каждой формулы в интерпретацииI= (
A, ν, σ
) равняется
0 или 1.
1) Значение формулы x ≈ y равно 1, если σ(x) = σ(y).
2) Значение P (x1, . . . , xn) равно 1, если (σ(x1), . . . , σ(xn)) ∈ ν(P ).
3)
Значение формул (Φ∧Ψ), (Φ∨Ψ), (Φ→Ψ) и¬Φ определяется как в
логике высказываний.
4)
Значение формулы (∀x)Φ равно 1, если значение формулы Φ равно 1
в интерпретациях (I )
5)
Значение формулы (∃x)Φ равно 1, если значение формулы Φ равно 1
в интерпретации (I )
x
для всех a ∈ A.
a
x
хотя бы для одного a ∈ A.
a
Формула Φ называется и с т и н н о й в интерпретации, если её значение
равно 1, в противном случае формула называется л о ж н о й. Формула
Φ называется т о ж д е с т в е н н о и с т и н н о й , если она истинна во всех
интерпретациях.
Формула Ψ с л е д у е т из формулы Φ, если Ψ истинна во всех интер-
претациях, в которых истинна Φ. Следование записывают в виде Φ⇒Ψ.
Формулы Φ и Ψ называются э к в и в а л е н т н ы м и , если их значения
совпадают во всех интерпретациях. Эквивалентность записывают в виде
Φ ≡ Ψ.
66 10. Логика предикатов
Задачи
228.
Для каждой из следующих формул определить, какие вхожде-
ния переменных в них являются свободными, а какие — связанными
(и каким квантором). Здесь Q — трёхместный предикатный символ.
(а)(∀x
)((∃z)Q(
x, z, y)→(∀x)(Q(z, x, y)→(∃y)(Q(z, y, x)∨ x ≈ z
)));
(б) (∃y)((∃x)(¬x ≈ y ∧ Q(x, x, y)∧
∧(∀x)(Q(x, z, y) → (∃z)(Q(x, y, z) ∨Q(z, z, y))));
(в) (∀x)((∃z)Q(z, z, x) ∧(∃x)Q(y, y, x))∨
∨(∃x)((∃z)Q(x, x, z) → (∀x)Q(x, y, y));
(г)(∃y)Q(x, y, z)∨(∃x)(Q(z, x, y)∧(∀y)Q(y, x, y))∧(∀z)(∃x)Q(z, z, x
229.
Для каждой формулы Φ из предыдущей задачи определить,
какие из следующих замен возможны: (Φ)
z
(Φ)
. Объяснить, почему. В тех случаях, когда это возможно, найти
y
x
, (Φ)
y
x
, (Φ)
z
y
, (Φ)
x
y
, (Φ)
z
результат замены.
(2)
230.
Будем считать, что сигнатура содержит символы
(1)
M
, означающие отношения «быть родителем», «состоять в браке с»
P
(2)
,
S
и «быть мужчиной» соответственно. Написать формулы, означающие:
(а) x является внуком y;
(б)уx
(в) xиy
есть не менее двух детей;
имеют одного общего
ребёнка;
231.
Предметная область включает только действительные числа
(г)уx
(д) xиy
(е) x
есть незамужняя сестра;
— двоюродные братья;
женат, а из его сыновей
женат только один.
R
и одноместные бесконечно дифференцируемые функции на множествеR. Сигнатура содержит трёхместный предикатный символV,
V(f, x, y
двухместный символD, гдеD(
) говорит «значение функцииfна аргументеxравноy»; и
f, g
) означает «f— производнаяg».
Записать формулы, обозначающие следующее. Допускается строить
вспомогательные формулы и использовать построенные ранее:
).
~
z
,
x
~
и
~
~
Задачи 67
(а) x — число;
(б) f — функция;
(в) f — функция-константа;
(г) f
— функция тождественно
равная нулю;
(д) x = 0;
(е) f
(ж) x = 1;
(з) f — экспонента ex;
(и) x+y=z
232.
зывается следующая интерпретацияN= (
жество натуральных чиселω, трёхместные предикатные символы
A(x, y, z
а названия чисел записывают обычным образом в десятичной системе:
0 — нуль, 1 — один и т.д. Также есть переменные
значения которых заранее неизвестны.
рые истинны в элементарной арифметике натуральных чисел тогда
и только тогда, когда
— тождественная функ-
ция;
— для чисел
Э л е м е н т а р н о й а р и ф м е т и к о й натуральных чисел на-
) иM(
Записать формулы со свободными переменными из
x, y, z
) означают, чтоx+y=zиxy=zсоответственно,
x, y, z
(к) xy = z — для чисел x, y, z;
(л) x
— неотрицательное число;
(м) число x меньше числа y;
(н)
функцияfпринимает все
действительные значения;
(о)
функцияfявляется взаимно однозначной;
(п) функция f — это синус;
(р) число x равно π;
(с)
числоxявляется натураль-
;
ным.
ω, ν, σ
): носитель — мно-
x, y, z
{x, y, z}
и другие,
, кото-
(а) x является чётным числом;
(б) x и y взаимно просты;
(в) z лежит в интервале между x и y;
(г) x является наибольшим общим делителем y и z;
(д) x
является наименьшим общим кратным всех чисел промежутка
[y; z).
233.
Пусть сигнатура содержит один двухместный предикатный сим-
вол⊆, который в интерпретацииI= (P(A)
, ν, σ
) означает, как обычно,
~
68 10. Логика предикатов
«быть подмножеством». Записать формулы со свободными перемен-
ными из
{x, y, z}
, которые истинны в такой интерпретации тогда и
только тогда, когда
(а) x = ∅;
(б) x = A;
234.
Пусть сигнатура содержит два предикатных символа
(в) |x| = 1;
(г) x = y ∩ z;
(д) x = y ∪ z;
(е) x = y \ z.
(3)
L
(4)
и
E
Ге о м е т р и е й Т а р с к о г о называется интерпретация, носителем
которой является множество точек на евклидовой плоскости,L(
x, y, z
означает, что точкиx,yиzлежат на одной прямой и именно в такой
последовательности (yмеждуxиz, не обязательно они различны), а
E(x, y, u, v) означает, что длины отрезков xy и uv равны.
Записать формулы со свободными переменными из
{x, y, z, u}
которые истинны в геометрии Тарского тогда и только тогда, когда
(а) x, y и z образуют треугольник;
(б) x является серединой отрезка yz;
(в) луч xy является биссектрисой угла ∠ zxu;
(г) угол ∠ xyz является прямым;
(д) точки x, y, z, u лежат на одной окружности;
(е) треугольник 4xyz является остроугольным;
(ж) отрезок xy короче, чем zu;
~
.
)
,
(з)
точкаxлежит внутри окружности с центромyи точкойzна
ней.
235.
Представить каждое из следующих предложений формулой ло-
гики предикатов, определив в каждом случае подходящую сигнатуру.
(а) Не все студенты изучают и анализ, и историю.
(б)
Только один студент не сдавал экзамен по дискретной математике.
(в) Только один студент сдал все экзамены на 100 баллов.
~
Задачи 69
(г)
Максимальные баллы, полученные по дискретной математике,
превышают максимальные баллы, полученные по информатике.
(д)
Имеется брадобрей, бреющий только тех жителей города, которые не бреются сами.
(е) Есть политики, которые могут обманывать всех людей некото-
рое время, есть политики, которые могут обманывать некоторых
людей всё время, но никто не может обманывать всех людей
всё время.
236.
Написать формулу логики предикатов, истинную только в интерпретациях, носитель которых содержит один элемент (два, три,
. . . , k элементов).
237.
Написать формулу логики предикатов, истинную только в интерпретациях, в которых (n+ 1)-местное отношениеFозначает функцию.
238.
Определить, какие из следующих формул истинны в элементарной арифметике (задача 232), пояснить, что они означают:
(а) (∀x)(∃y)(∃z)(A(x, y, z) ∧M (x, y, z));
~
~
~
(б) (∀x)(∃y)(A(y, y, x) ∨ (∃z)(A(y, y, z) ∧A(z, 1, x)));
(в) (∀x)(∀y)(∀z)((∃u)M(x, u, y) ∧(∃u)M (y, u, z) → (∃u)M (x, u, z));
(г) (∀x)(∃y)(M (y, y, x) ∨(∃z)(M(y, y, z) ∧M (z, y, x)));
(д) (∀x)(M(x, x, x) ∨(∃y)(M(x, x, y)∧
∧(∃u)(∃v)(∃w)(A(x, u, v) ∧ A(v, w, y)∧
∧(∃z)(M (u, w, z) ∧¬z ≈ 0)))).
239.
Определить, какие из следующих формул истинны в геометрии
Тарского (задача 234), пояснить, что они означают:
(а) (∀x)(∀y)(∃z)(L(x, y, z) ∧E(x, y, y, z));
(б) (∀x)(∀y)(∀z)(∃u)(E(u, x, u, y) ∧ E(u, y, u, z));
(в) (∀x)(∀y)(∃u)(∃v)(∀z)(E(z, x, z, y) →
→ L(z, u, v) ∨L(z, v, u) ∨ L(u, z, v));
~
70 10. Логика предикатов
(г) (∀x)(∃y)(∃z)(∃u)(L(y, u, z)∧
∧(∀v)(L(y, v, z) ∧E(x, u, x, v) → u ≈ v));
(д) (∀x)(∀y)(∀z)(¬x ≈ y ∧ ¬E(x, y, x, z) →
→ (∀u)(E(x, z, x, u) ∧L(x, u, y) →
→ (∀v)(E(x, u, x, v) ∧ E(y, u, y, v) → u ≈ v))).
240.
Сигнатура и интерпретация взяты из задачи 231. Определить,
какие из следующих формул истинны в этой интерпретации, пояснить,
что они означают:
(а) (∀x)(∀y)((∃z)(D(z, x) ∧D(z, y)) → x ≈ y);
(б) (∀x)(∀y)(∃z)(∀u)(∀v)(∀w)(V (x, u, v) ∧V (y, v, w) → V (z, u, w));
(в) (∀x)(∃y)(∀u)(∀v)(V (x, u, v) → V (y, v, u));
(г) (∀x)(∀y)((∃z)(D(z, x) ∧D(z, y))∧
∧(∃u)(∃v)(V (x, u, v) ∧V (y, u, v)) → x ≈ y);
(д) (∃x)(D(x, x) ∧(∀y)¬V (x, y, y));
~
(е) (∃x)(¬D(x, x) ∧(∃y)(D(y, x) ∧D(x, y))).
241.
Сигнатура Σ состоит из двухместного предикатного символа
(2)
E
, предметных переменных
a, . . . , g
и других. Интерпретация
G
изображена на рис.3 на противоположной странице, стрелка из
вyозначает, что (
x, y)∈ E
(такие интерпретации называются графами). Определить, какие из следующих формул истинны в этой
интерпретации, пояснить, что они означают:
(а) (∀x)(∃y)(∃z)(E(x, y) ∧E(z, x));
(б) (∀x)(∃y)(∃z)(E(x, y) ∧E(y, z) ∧E(z, x));
(в) (∀x)(∃z)(E(z, z) ∧(E(x, z) ∨(∃y)(E(x, y) ∧E(y, z))));
(г) (∀x)(∀y)(E(x, y) → ¬E(x, x) ∨¬E(y, y));
(д) (∃x)(∀y)(∀z)(E(x, y) ∧E(y, z) → ¬x ≈ y ∧ ¬x ≈ z);
(е) (∃x)(∃y)(E(x, y) ∧ (∀z)(E(x, z) → y ≈ z));
(ж) (∃x)(∀y)(∀z)(∀u)(E(g, y) ∧ E(y, z) ∧E(z, u) →
→ ¬y ≈ x ∧ ¬z ≈ x ∧ ¬u ≈ x).
242. Доказать следующие эквивалентности:
~
x
~