Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической логике. Учебное пособие.pdf
Задачи 11
15.
Для каждого из следующих отношений найти
R ◦ R, R ◦ R−1:
dom R,rng R,R−1,
(а) R={(x, y
такое z, что xz = y;
(б) R = {(x, y) : x, y ∈ ω и x + y 6 10};
(в) R = {(x, y) : x, y ∈ ω и y = 3x + 1};
(г) R = {(x, x2) : x ∈ ω и x 6 10};
(д) R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, d), (d, b)}.
16.
Для каждого из следующих бинарных отношений на множестве
A={a, b, c}
ным, антисимметричным, транзитивным:
(а) R1= {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)};
(б) R2= {(a, a), (a, c), (c, b), (a, b), (b, b), (c, c)};
(в) R3= {(a, a), (a, c), (c, b), (a, b)}.
17.
Построить множество наименьшей мощности, на котором суще-
ствует нетранзитивное отношение.
18.
На множестве всех непустых отрезков числовой прямой заданы
три отношения:
(а) P = {([a, b], [c, d]) : c < a < b < d},
) :
x, y ∈ ω и x делит y},x
определить, является ли оно рефлексивным, симметрич-
делитy, если существует
~
~
~
(б) Q = {([a, b], [c, d]) : a < c < b < d} и
(в) R = {([a, b], [c, d]) : b < c}.
Определить, какие из них являются отношениями частичного порядка.
19.
Пусть бинарные отношенияPиQна множествеAявляются
рефлексивными. Определить, какие из следующих отношений также
являются рефлексивными:
~
12 1. Множества, отношения и функции
(а) P ∩ Q; (б) P ∪ Q; (в) P ◦ Q; (г) P−1.
20.
Пусть бинарные отношенияPиQна множествеAявляются
симметричными. Определить, какие из следующих отношений также
являются симметричными:
(а) P ∩ Q; (б) P ∪ Q; (в) P ◦ Q; (г) P−1.
21.
Пусть бинарные отношенияPиQна множествеAявляются
антисимметричными. Определить, какие из следующих отношений
также являются антисимметричными:
(а) P ∩ Q; (б) P ∪ Q; (в) P ◦ Q; (г) P−1.
22.
Пусть бинарные отношенияPиQна множествеAявляются
транзитивными. Определить, какие из следующих отношений также
являются транзитивными:
(а) P ∩ Q; (б) P ∪ Q; (в) P ◦ Q; (г) P−1.
23.
Пусть множествоS={(
ной доски. Описать следующие бинарные отношения на S:
(а) L={(a, b
клетку b};
) : ладья за один ход может перейти с клеткиaна
i, j
) : 1
6 i, j 68}
задаёт клетки шахмат-
~
~
~
~
(б) K={(a, b
клетку b}.
Будут ли эти отношения эквивалентностями? Описать отношение
L ◦ L.
24.
ПустьA={1,2,3,4,5}. Определить, какие из следующих отношений наAявляются отношениями эквивалентности. Для тех из них,
которые являются отношениями эквивалентности, найти их классы
эквивалентности.
(а) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 4), (4, 1)};
(б) {(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5)};
(в) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 4), (4, 1), (4, 2), (2, 4)};
) : конь за один ход может перейти с клеткиaна
~
Задачи 13
(г) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5),
(5, 3), (1, 4), (4, 1)};
(д) {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A и a + b делится на 3};
(е) {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A и a − b делится на 2};
(ж) {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A и a + 3 делится на b}.
25.
Пусть Π — множество всех прямых на евклидовой плоскости.
Определить, будут ли следующие отношения на Π отношениями
эквивалентности:
(а)
параллельность прямых (будем считать, что прямая параллельна себе самой);
(б) перпендикулярность прямых.
26.
Для каждого из следующих бинарных отношений над множеством положительных натуральных чисел определить, является ли
оно рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным:
(а) D1= {(x, y) : x делится на y};
(б) D2= {(x, y) : x делится на y или y делится на x};
(в) D3= {(x, y) : x не делится на y}.
27.
Для каждого из следующих трёх отношений
лённых на совокупности всех непустых подмножеств действительных
(вещественных) чисел, определить, являются ли они рефлексивными,
симметричными, антисимметричными, транзитивными, отношениями
частичного порядка:
Ri,i= 1,2,3, опреде-
~
~
~
(а) R1={(
такие, что |a − b| 6 ε};
(б) R2={(
что |a − b| 6 ε};
(в) R3={(
a0∈ A и b0∈ B такие, что |a − b0| 6 ε и |a0− b| 6 ε}.
A, B
) : для любого
A, B
) : для любых
A, B
) : для любых
ε >
0 существуют
a ∈ Aиε >
a ∈ A,b ∈ Bиε >
0 существует
a ∈ Aиb ∈ B
b ∈ B
0 существуют
такое,
~
14 1. Множества, отношения и функции
28.
ПустьA=
есть множество символов. Обозначим через
n
в алфавитеA(это обозначение согласовано с тем же обозначением
декартовой степениA, так как степень
тельностей элементовAдлиныn). Через
{a1, . . . , am}
— произвольный конечный алфавит, то
Anмножество слов длины
Anсостоит из всех последова-
A∗обозначим множество
всех слов в алфавите A.
(а)
Определим следующее отношение
v=a
только тогда, когда
a
. . . a
i
i
1
2
,w=
i
n
a
a
. . . a
j
j
1
2
ik6 jkдля всехkот 1 доnи
R1на словах из
. Тогда (
j
n
v, w)∈ R1тогда и
An. Пусть
ik< jkдля
некоторого такогоk, то есть номер каждой буквы словаvне
больше номера той же буквы в словеwи хотя бы у одной из
букв он меньше. Определить, является ли это отношение
R
отношением частичного (линейного) порядка.
(б)
Определим следующее отношение
v=a
a
. . . a
i
i
1
2
,w=
i
n
a
a
. . . a
j
j
1
2
R2на словах из
. Тогда (
j
r
v, w)∈ R2тогда и
A∗. Пусть
только тогда, когда существует такоеkв интервале от 1 доn,
что
il=
jlпри
l < kиik< jkили
n < r
и первыеnсимволов
w
совпадают со словомv. Определить, является ли это отношение
R2отношением частичного (линейного) порядка.
За меч ани е 1.
н о ш е н и е м п о к о о р д и н а т н о г о п о р я д к а , а отношение
та (б) — о т н о ш е н и е м л е к с и к о г р а ф и ч е с к о г о п о р я д к а . В
соответствии с лексикографическим порядком упорядочены, например,
слова в словарях и энциклопедиях.
Определённое в пункте (а) отношение
R1называется о т -
R2из пунк-
1
~
29.
Для каждой из следующих функций найти её область значений и
определить, какие из них являются разнозначными, сюръективными,
взаимно однозначными функциями.
(а) f : R → R, f (x) = 3x + 1;
(б) f : R → R, f (x) = x2+ 1;
(в) f : R → R, f (x) = x3− 1;
(г) f : R → R, f (x) = ex;
Задачи 15
(д) f : R → R, f (x) =√3x2+ 1;
(е) f : [−π/2,π/2] → R, f(x) = sin x;
(ж) f : [0, π] → R, f (x) = sin x;
(з) f : R → [−1, 1], f(x) = sin x;
(и) f : R → R, f (x) = x2sin x.
30.
Даны две функцииg:
композиция этих функций, то есть (
какие из следующих утверждений верны.
(а)
Еслиgявляется разнозначной функцией, то
ется разнозначной.
(б)
Еслиgиfявляются сюръективными функциями, то
также является сюръективной.
(в)
Еслиgиfявляются взаимно однозначными функциями, то
g ◦ f также является взаимно однозначной.
(г)
Если
g ◦ f
является разнозначной функцией, тоfтакже явля-
ется разнозначной.
(д)
Если
g ◦ f
является разнозначной функцией, тоgтакже явля-
ется разнозначной.
(е)
Если
g ◦ f
является сюръективной функцией, тоfтакже явля-
ется сюръективной.
31.
Доказать следующие включения и равенства для образов и прообразов:
A → Bиf:B → C
g ◦ f)(x
) =f(g(x)). Определить,
. Пусть
g ◦ f
g ◦f:A → C
также явля-
~
—
g ◦ f
~
(а) f[A ∩ B] ⊆ f [A] ∩f [B];
(б) f[A ∪ B] = f[A] ∪f [B];
(в) f[A \ B] ⊇ f [A] \f [B];
Привести примеры, когда указанные включения будут строгими.
32.
Доказать, что если множестваAиBконечны, то для мощностей
выполнены следующие равенства
(г) f−1[
(д) f−1[
(е) f−1[
A∩B
A∪B
A \B
] =
] =
] =
f−1[A]
f−1[A]
f−1[A]
∩f−1[B];
∪f−1[B];
\f−1[B].
~
16 1. Множества, отношения и функции
(а) |A × B| = |A| · |B|;
(б) |A ∪B|=|A|+|B| −|A ∩ B|
33.
Найти, сколько существуетk-местных отношений на множестве
(в) |{0, 1}n| = 2n;
;
(г) |P(A)| = 2
|A|
.
мощности n.
34.
Определить, сколько бинарных отношений существует на множестве мощности n:
(а) всего;
(б) рефлексивных;
(в) антирефлексивных;
(г) симметричных;
(д) антисимметричных;
(е) линейных порядков.
35. Доказать, что следующие множества счётны:
(а)
множество всех точек евклидовой плоскости с целочисленными
координатами;
(б)
множество всех векторов размера
n >
0 с неотрицательными
целочисленными координатами, то есть множество
ωn= {(k1, k2, . . . , kn) : ki∈ ω, i = 1, 2, . . . , n};
(в)
множество всех векторов с неотрицательными целочисленными
координатами, то есть множество
∞
S
n=1
ωn;
(г) множество всех слов в алфавите с m символами;
~
~
~
(д) множество всех рациональных чисел;
(е) множество всех многочленов с целыми коэффициентами;
(ж) множество всех корней таких многочленов.
~
Метод математической индукции 17
2. Метод математической
индукции
ПустьU(n) — это некоторое утверждение, однозначно зависящее от
целочисленного параметраn. Доказательство утверждения «для всех натуральныхn, начиная с
случае включает два этапа:
1)
Б а з и с и н д у к ц и и состоит в доказательстве утвержденияU(
для некоторого начального значения n0.
2)
Ш а г и н д у к ц и и состоит в предположении справедливостиU(n)
приn=
вости утверждения U (k + 1).
В более сложных ситуациях базис может содержать не один, а несколько
случаев, например, n = 0 и n = 1 для чисел Фибоначчи.
Индукционный шаг может тоже принимать разные формы, например:
если утверждение U (k) верно для всех k меньших n, то U (n) верно для n.
Другой вариант — обратная индукция, когда утверждение доказывается
от б´ольших значенийnк меньшим. В этом случае базис рассматривается
для наибольшего возможного значенияn, а индукционный шаг заключается
в переходе от n к n − 1.
В любом случае главным условием применения метода индукции является то, что из базисных значенийnс помощью многократных применений
индукционного шага можно прийти к любому другому.
k > n0и доказательстве из этого предположения справедли-
n0, выполняетсяU(n)» п о и н д у к ц и и в простейшем
n0)
Задачи
36. Используя индукцию, доказать, что
18 2. Метод математической индукции
(а) 2n + 1 6 2nпри n > 3;
(б) n26 2nпри n > 4.
37. Используя индукцию, доказать, что при натуральных n
(а) 7n− 1 делится на 6;
(б) 11n− 6 делится на 5;
(в) 67n− 23nделится на 4;
(г) 3n+ 7n− 2 делится на 8;
(д) 3n+ n2делится на 4 при нечётных n.
38.
Доказать, что 14+ 24+
. . .+n4=
39. Доказать, что 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) =
30
1
n(n
+ 1)(2n+ 1)(3
n(n + 1)(n + 2)
3
n2+ 3
n −
.
1).
40. Доказать, что (1 + 2 + 3 + ··· + n)2= 13+ 23+ 33+ ··· + n3.
41.
Доказать, что 1·n+2·(n−1)+3·(n−2)+
···+n·
42. Доказать, что 1 + x + x2+ x3+ .. . + xn=
43.
Доказать формулу Муавра для натуральных степеней комплекс-
ного числа: еслиz=r(
cos ϕ+i sin ϕ
), то
zn=
n(n + 1)(n + 2)
1 =
n+1
x
− 1
x − 1
rn(
при x 6= 1.
cos nϕ+i sin nϕ
6
Здесь i — мнимая единица, i2= −1, r и ϕ — действительные числа.
44.
Доказать, чтоnразличных прямых на плоскости разбивают её
на области, которые можно закрасить белой и чёрной красками так,
что смежные области будут закрашены разными красками.
45.
Доказать, чтоnразличных прямых на плоскости, никакие две из
которых не параллельны и никакие три из которых не пересекаются
в одной точке, разбивают плоскость на
46.
Пусть в выпукломn-угольнике,
(n2+ n + 2)
n >
4, никакие три диагона-
/2областей.
ли не пересекаются в одной точке. Доказать, что в нём имеется
D(n) =
47.
(n − 3)(n −2)(n −1)n
24
точек пересечения диагоналей.
Доказать, что если стоимость некоторого письма больше или
равна 6 руб., то его можно точно оплатить, используя двух- и семирублёвые марки.
~
~
~
~
~
.
~
~
).
~
~
~
~
~
Задачи 19
48.
Найти ошибку в следующем доказательстве «по индукции» утверждения: для всех n > 1 справедливо неравенство 3n> 3(n + 1) + 1.
Пусть для некоторого
3k>3(k
+ 1) + 1, обозначим это неравенство (∗). Докажем, что оно
верно и дляn=k+ 1, то есть 3
что для любого
k >
k >
1 неравенство справедливо, то есть
k+1
>3(k
+ 2) + 1. Для этого заметим,
1 верно неравенство 2·3k>
3. Прибавив его
левую и правую часть к соответствующим частям неравенства (∗),
получим 3k+ 2·3k>3(k
+ 1) + 1 + 3 или 3
k+1
>3(k
+ 2) + 1, что и
требовалось.
Установить, при какихnсправедливо неравенство 3n>3(n
+1) + 1
на самом деле.
49.
Найти ошибку в доказательстве «по индукции» следующего
утверждения. Пустьnокружностей на плоскости расположены так,
что любые две из них имеют ровно две общие точки и в каждой точке
пересекаются не более двух окружностей. Тогда плоскость делится
этими окружностями на N (n) = 1 + n(n − 1) частей.
Базис: еслиn= 0, то имеется только одна часть. Шаг: пусть для
окружностей утверждение верно,N(n) = 1 +n(
n −
1). Тогда (n+ 1)-я
n
окружность имеет 2nточек пересечения с предыдущими (с каждой по
две). Следовательно, она проходит через 2nобластей и делит каждую
из них на две. Поэтому количество областей возрастает на 2nи мы
получаем N (n + 1) = N(n) + 2n = 1 + n(n − 1) + 2n = 1 + (n + 1)n.
Установить настоящее значение N(n).
50.
Пусть
n >
1 сфер в пространстве расположены так, что любые
три из них имеют ровно две общие точки и в каждой точке пересекаются не более чем три сферы. Доказать, что пространство делится
этими сферами на N(n) = 2n +
51.
Предположим, что некоторая колония бактерийCсостоит из
n(n − 1)(n −2)
3
кусков.
конечного числа особей, для каждой из которых указано натуральное
число — максимальное количество делений, которое бактерия может
пережить, то есть
~
~
~
C = {(b, t) : b — идентификатор бактерии, t — количество делений}.
20 2. Метод математической индукции
На каждом шаге в жизни колонии происходит одно событие: выбирается какая-нибудь одна бактерия (
из колонии («умирает»), а если
b, t
) и, еслиt= 0, то она удаляется
t >
0, то эта бактерия заменяется на
некоторое конечное множество бактерий («делится»), при этом все
её потомки способны к делению менее t раз.
Доказать, что любая такая колонияCв конце концов станет пустой
(«вымрет»).
Указание. Использовать индукцию по максимальному количеству де-
ленийT:T=
max{t
: (
b, t)∈ C}
, а внутри — индукцию по количеству
таких бактерий.
52.
Числа Фибоначчи определяются следующими рекуррентными
соотношениями: F0= 0, F1= 1, F
(а) Fn=
√
"
1
1 +√5
5
!
n
2
−
n+2
1 −√5
2
= F
!n#
+ Fn. Доказать, что
n+1
;
~
(б) F1+ F2+ F3+ ··· + Fn= F
(в) n · F1+ (
n −1)·F2+ (
n −2)·F3+
n+2
− 1;
···
+ 1
·Fn=
F
n+4
−n −
3 при
n > 1;
(г) F
n−1Fn+1
(д) числа Fnи F
2
= F
+ (−1)nдля n > 1;
n
взаимно просты при n > 1;
n+1
(е) число Fnчётное тогда и только тогда, когда n делится на 3;
(ж) F
n+m
= F
n−1Fm
+ FnF
m+1
при n > 1.
53. Доказать, что при n > 1
54.
Доказать, что существует
1 1
1 0
!
n
=
F
n+1
F
n
F
последовательностей нулей и
n+2
F
F
n
n−1
!
.
единиц длины n, в которых нет двух единиц подряд.
55.
Задача о Ханойских башнях. Имеется три стержня. На один
из них надето несколько дисков, диаметры которых убывают снизу
вверх (получается детская пирамидка). Разрешается перекладывать
~
~
~