Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической логике. Учебное пособие.pdf
Задачи 21
верхний диск с любого стержня на любой другой, но при этом запрещено класть диск большего диаметра на диск меньшего диаметра.
Требуется перенести всю пирамидку на другой стержень.
(а)
Доказать, чтоnдисков можно переместить за 2n−
(б)
Доказать, чтоnдисков нельзя переместить меньше чем за 2n−
операций.
(в)
Легенда гласит, что в начале времён в храме города Бенарес бог
Брахма создал три стержня и надел на один из них 64 диска.
Монахи непрерывно переносят диски со стержня на стержень
по вышеописанным правилам. Когда они перенесут все диски на
другой стержень, наступит конец света. Используя результаты
предыдущих пунктов, определить, следует ли ожидать конца
света в ближайшем будущем.
1 операций.
1
~
22 3. Элементы комбинаторики
3. Элементы комбинаторики
ПустьX— множество «мест» (ящиков),Y— множество «объектов»,
|X| = n, |Y | = m.
Р а з м е щ е н и е с п о в т о р е н и я м иmобъектов поnместам — это
функция изXвY, которая говорит для каждого места, какой объект на
нём находится. Количество таких функций равно
количество всех слов длиныnвm-буквенном алфавите (размещение
возможных букв наnпозиций в слове) равно
множеств множестваXравно 2n(на каждом месте размещаем 1, если это
место входит в подмножество, или 0 в противном случае).
Р а з м е щ е н и е б е з п о в т о р е н и йmобъектов поnместам — это
разнозначная функция из X в Y . Количество таких функций равно
n
F
=
mn. В частности,
m
mn. Количество всех под-
m
n
A
= m(m − 1) . . . (m − n + 1).
m
Если m > n, то A
n
m
=
(m − n)!
m!
.
П е р е с т а н о в к уnобъектов можно рассматривать как размещение
без повторенийnобъектов наnмест, количество всех перестановок
объектов равно A
n
n
= n! .
С о ч е т а н и е изmобъектов поn— этоn-элементное подмножествоY.
Количество сочетаний из m объектов по n равно
n
A
m
n
C
=
m
n!
=
n!(m − n)!
m!
.
Б и н о м Н ь ю т о н а :
m
X
k
(x + y)m=
C
k=0
m
xky
m−k
.
n
Задачи 23
П р и н ц и п в к л ю ч е н и я и и с к л ю ч е н и я . Если имеетсяmобъектов, каждый из которых может обладать (или не обладать) свойствами
p1, p2, . . . , pn, то
n
m0= m −
где
N{pi, . . . , pj}
pi, . . . , pj(не обязательно только ими), а
обладающих ни одним из свойств p1, p2, . . . , pn.
X
N{pi} +
i=1
— количество объектов, которые обладают свойствами
X
16i<j6n
N{pi, pj} −
X
N{pi, pk, pj} + . . . ,
16i<k<j6n
m0— количество объектов, не
Задачи
56. Пусть X — множество из трёх элементов. Найти количество
(а) двухместных функций, которые можно определить на X;
(б) трёхместных функций, которые можно определить на X;
(в) трёхместных отношений, которые можно определить на X.
57. Пусть A = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Сколько существует
(а) трёхэлементных подмножеств множества A?
(б) пятиэлементных подмножеств множества A, содержащих b?
(в)
пятиэлементных подмножеств множестваA, не содержащихb?
(г)
пятиэлементных подмножеств множестваA, содержащихc, но
не содержащих f и h?
(д)
подмножеств множестваA, содержащих хотя бы три элемента?
(е)
подмножеств множестваA, содержащих не более шести элементов?
58.
Сколько существует строго возрастающих последовательностей
целых чисел, которые
(а) начинаются 1 и заканчиваются 7?
(б) начинаются 4 и заканчиваются 11?
(в) начинаются k и заканчиваются k + m?
~
~
~
24 3. Элементы комбинаторики
59.
Предположим, что имеетсяnпопарно непересекающихся мно-
жеств
A1,
A2, . . . ,
Anи
|Ai|=ki,i= 1
, . . . , n
. Доказать, что количество множеств, содержащих не более чем по одному элементу из
каждого Ai, равно (k1+ 1)(k2+ 1)···(kn+ 1).
k
k
60.
Пустьn=
1
p
p
1
2
Используя предыдущую задачу, доказать, что количество различ-
ных делителейnравноt(n) =
2
···p
k
r
— разложениеnна простые сомножители.
r
r
Y
(
ki+ 1). Доказать, чтоnявляется
i=1
квадратом тогда и только тогда, когда t(n) нечётно?
∞
P
61.
Числоeявляется суммой следующего ряда:e=
en— сумма первыхnчленов этого ряда:
en=
P
1
/i!. Доказать, что
i<n
1
i=0
/i!. Пусть
An— общее количество размещений без повторений изnпредметов
по любому количеству местm, равняется
enn
! . Сделать вывод, что
при больш´их n оно приближённо равно en! .
62. Доказать тождества:
k
n
= C
k−1
n−1
k
n−1
= kC
(а) C
(б) nC
63.
Доказать с помощью математической индукции формулу бинома
+ C
k
;
n
k−1
n−1
;
(в) C
m−k
k
C
n
n−k
= C
k
m
C
.
m
n
Ньютона.
64. Доказать, что
~
~
~
~
~
0
C
где
1
< C
n
n
bxcиdxe
< . . . < C
означают округление числаxдо ближайшего целого
bn/2c−1
n
< C
= C
bn/2c
n
dn/2e
n
=
> C
dn/2e+1
n
> . . . > C
n−1
n
> C
n
,
n
вниз и вверх соответственно.
65.
Сколько имеется различных путей на плоскости из точки (0,0) в
точку (
x, y
), проходящих через точки с целочисленными координатами, в которых каждый отрезок единичной длины идёт либо слева
направо, либо снизу вверх?
66. (а) В разложении (x + 2y)7найти коэффициент при x3y4.
~
~
Задачи 25
(б) В разложении (5x − y)6найти коэффициент при x3y3.
67. В разложении (1 + x2+ x5)15найти коэффициент при x20.
68.
Доказать, что количество разбиенийn-элементного множества на
k
подмножеств, первое из которых содержит
n2элементов, . . . , k-е — nkэлементов, равно
69.
Определить, сколько различных слов можно составить из букв
n1элементов, второе —
n!
n1!n2! . . . nk!
.
слова АБРАКАДАБРА, если каждую букву нужно использовать в
точности один раз.
70. Доказать равенство
X
(x1+ x2+ ··· + xk)n=
n1+n2+···+nk=n
71.
Найти количество раздач для каждой из следующих карточных
n!
n1!n2! . . . nk!
2
. . . x
n
k
.
k
n
n
1
x
x
1
2
игр.
(а)
При игре в бридж колоду из 52 карт раздают четырём игрокам —
каждому по 13 карт.
(б)
При игре в преферанс колоду из 32 карт раздают трём игрокам —
каждому по 10 карт, а оставшиеся 2 карты оставляют в прикупе.
Порядок карт в прикупе имеет значение.
~
~
~
~
~
(в)
При игре в «дурака» колоду из 36 карт раздают четырём игрокам — каждому по 6 карт, а оставшиеся 12 карт оставляют в
прикупе. Порядок карт в прикупе имеет значение.
(г)
Пусть в некоторой карточной игре колоду изNкарт раздают
k
игрокам — каждому поrкарт, а оставшиесяm=
N − kr
карт оставляют в прикупе. Вывести формулы, определяющие,
каким количеством способов можно произвести такую раздачу
в случаях, когда (г1) порядок карт в прикупе несущественен,
(г2) порядок карт в прикупе имеет значение.
72.
Преподаватель рассчитывает читать один и тот же курс в течение
20 лет. Чтобы не наскучить студентам, он решил рассказывать им
~
26 3. Элементы комбинаторики
каждый год три анекдота, причём этот набор из трёх анекдотов
не должен повторяться. Каково минимальное количество анекдотов,
которые он должен приготовить?
73.
Известно, что из всех пятиэлементных подмножеств множества
{1,2,3, . . . , n},n >
7, четвёртая часть содержит элемент 7. Опреде-
лить, чему равно число n.
74.
На острове живёт племя туземцев, у которых набор зубов во
рту состоит максимально из 30 зубов. При этом на острове нет двух
жителей с одинаковыми наборами зубов (наборы одинаковы, если
каждый зуб у обоих либо одновременно присутствует, либо одновременно отсутствует). Может ли на этом острове быть больше жителей
чем в
(а) Торжке?
(в) Москве?
(д) всём мире?
~
~
~
(б) Твери?
(г) России?
75. Доказать т о ж д е с т в о К о ш и :
i=k
X
i
=
i=0
k
нечётно тогда и только тогда, когда
n
k−i
C
C
.
n
m
76.
Доказать, что число
ρ(k)⊆ ρ(n
), где значение функцииρ(x) — это множество двоичных
C
k
n+m
C
разрядов, которые содержат единицы в двоичной записи числаx.
Иначе говоря, если в двоичной записиkна каком-то разряде стоит
единица, то и в двоичной записиnна этом разряде должна стоять
единица.
Указание. Использовать индукцию поn, представитьn= 2u+mдля
1 6 m 6 2uи применить тождество Коши.
77.
М у л ь т и м н о ж е с т в о м называется неупорядоченный набор
элементов, каждый из которых может встречаться в нём сколько
угодно раз. Два мультимножества равны, если каждый элемент встречается в них одно и тоже количество раз. Например, мультимножество
{1,2,1,3}
равно мультимножеству{3,1,1,2}и не равно мультимно-
жеству {1, 2, 2, 3}.
~
~
Задачи 27
Доказать, что количество способов, которыми можно породитьkэлементное мультимножество, имеяnпопарно различных элементов
и используя каждый из них сколько угодно раз, равно C
78.
Сколько натуральных решений имеет уравнениеx+y+z+u= 10 ?
79.
Сколько натуральных решений имеет уравнение
k
n+k−1
x1+
···+xn=k,
.
если xi> m для всех i = 1, . . . , n ?
80.
Сколько натуральных решений имеет уравнение
x1+
···+xn=k,
если k > (n − 1)m и xi6 m для всех i = 1, . . . , n ?
81.
В парламенте некой страны имеется 401 место. Сколько имеется
вариантов распределения мест в парламенте между тремя партиями,
при которых ни одна из них не имеет абсолютного большинства (более
половины мест)?
82.
В кондитерском магазине продаются четыре сорта пирожных:
заварные, песочные, «картошка» и бисквитные. Сколькими способами
можно купить
(а) 6 пирожных?
~
~
~
~
~
(б) 7 пирожных?
(в)
7 пирожных, если должно быть куплено хотя бы одно пирожное
каждого сорта?
83.
Назовём два исхода первенства России по футболу с о в п а д а ю щ и м и в г л а в н о м, если в этих исходах совпадают обладатели
золотых, серебряных и бронзовых медалей, а также две команды,
покидающие премьер-лигу (то есть занявшие два последних места).
Найти количество р а з л и ч н ы х в г л а в н о м исходов (напомним,
что в первенстве участвуют 16 команд).
84.
Сколько существует способов расположитьnшаров, из них —
m
чёрных, остальные — белые, в один ряд, чтобы никакие два чёрных
шара не оказались рядом?
85. Доказать тождество
P
2m6n+1
m
C
n−m+1
= F
n+2
.
~
~
~
~
28 3. Элементы комбинаторики
86.
На книжной полке стоятnкниг. Сколькими способами можно
взятьmкниг, так чтобы не брать соседние книги и книги, стоящие
на краях полки?
87.
За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Каждый из
них враждует со своими соседями. Нужно выбрать 5 рыцарей, чтобы
освободить принцессу. Сколькими способами это можно сделать так,
чтобы среди выбранных рыцарей не оказалось врагов?
Решить эту задачу в случае, когда изnрыцарей за столом нужно
выбрать k рыцарей.
88.
Доказать принцип включения и исключения в теоретико-множественной форме: если A1, . . . , An— это конечные множества, то
89.
Сколько в первой сотне положительных натуральных чисел не
n
[
i=1
A
i
= −
X
I⊆{1,...,n}
I6=∅
(−1)
|I|
\
i∈I
A
.
i
делится ни на одно из чисел 2, 3, 5? А в первой тысяче чисел?
90.
Определить, сколько целочисленных решений имеет следующая
система:
x + y + z = 11
0 6 x 6 4
0 6 y 6 3
0 6 z 6 7
~
~
~
~
~
91.
Найти количество перестановок изnэлементов, при которых ни
один элемент не остаётся в первоначальном положении.
92. Сколько существует перестановок букв {a, c, f, m, p, r, t, x}, если
(а) нет никаких ограничений;
(б) между a и c должны стоять две или три буквы;
(в)
буквыaиcне должны быть разделены двумя или тремя буквами;
(г) первые четыре буквы должны быть выбраны из a, c, f и r;
~
Задачи 29
(д) буквы a, c, f и r должны стоять рядом?
93.
Две команды играют в волейбол до трёх побед. Сколько существует различных вариантов изменения счёта по партиям?
94.
В олимпиаде по программированию участвуютnстудентов. Три
человека, занявшие призовые места, получают дипломы первой, второй и третьей степени, ещё пять человек получают одинаковые дипломы лауреатов. Сколько существует различных вариантов награждения?
95. n
девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они
могут встать в круг?
96.
Пять юношей и пять девушек купили 10 билетов в кино в одном
ряду. Сколькими способами они могут занять места, если
(а) все юноши сядут рядом;
(б) два юноши сядут по краям;
(в) никакие два юноши не будут сидеть рядом;
(г) ни юноши, ни девушки не будут сидеть все вместе;
(д) один юноша и одна девушка всегда будут сидеть рядом;
(е) один юноша и одна девушка откажутся сесть рядом?
~
~
~
~
~
97.
Доказать, что количество слов длиныnв алфавите изkбукв, в
которых каждая буква встречается хоть один раз равно
k−1
X
U∗(n, k) =
98.
У заведующего лабораторией имеется пять сотрудников. Скольки-
(−1)iC
i=0
i
(k − i)n.
k
ми способами он может распределить среди них 8 различных заданий
так, чтобы у каждого было хоть одно задание?
~
~
30 4. Логика высказываний и булевы функции
4. Логика высказываний и
булевы функции
ПустьB={0,1}. Е д и н и ч н ы йn- м е р н ы й к у б — это
множество всех д в о и ч н ы х последовательностей (векторов) длины n.
n
- м е с т н а я б у л е в а ф у н к ц и я — этоn-местная функция наB:
f:Bn→ B.Pn— это множество всехn-местных булевых функций. При
n
= 0 множество
Каждую булеву функцию можно задать таблицей, указав значение этой
функции для каждого набора аргументов, или в виде множества вершин
куба
Bn, на которых значение функции равно 1. Наборы аргументов в такой
таблице, как правило, располагают в лексикографическом порядке.
ПустьB— некоторое (конечное или бесконечное) множество булевых
функций,V=
переменных, то есть переменных, принимающих значения изB. Определим
по индукции множество п р е ф и к с н ы х б у л е в ы х ф о р м у л надBс
переменными изV. Одновременно будем определять числовую характеристику depth(Φ) формулы Φ, называемую её гл у б и н о й.
•
Б а з и с и н д у к ц и и . Каждая переменная
станта
depth(xi) = depth(c) = 0.
•
Ш а г и н д у к ц и и . Допустим, что
max{depth
является формулой, её глубина depth(Φ) равна k + 1.
Для формул над множеством функций
P0состоит из двух нульместных функций-констант: 0 и 1.
{x1, x2, . . .}
c ∈ B
является формулой, глубина которой равна 0, то есть
(Φi) :i= 1
— счётное множество п р о п о з и ц и о н а л ь н ы х
xi∈ V
(m)
f
∈ B
, Φ1, . . . ,
, . . . , m}=k
. Тогда строка Φ =f(Φ1, . . . ,
Bn, то есть
и каждая кон-
Φm— формулы,
Φm)
Be= {0, 1, ¬, ∧, ∨, →, ⊕, ↔, ↑, ↓},