Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник задач по множествам, булевым функциям и математической логике. Учебное пособие.pdf
Эквивалентность формул 41
5. Эквивалентность формул
Из формулы Φ с л е д у е т формула Ψ (это записывается в виде Φ⇒Ψ),
если формула Ψ истинна во всех интерпретациях, в которых истинна формула Φ.
Две формулы Φ и Ψ называются э к в и в а л е н т н ы м и , если они следуют друг из друга или, что то же самое, они имеют одинаковые значение во
всех интерпретациях:I(Φ) =I(Ψ) для всехI. Обозначается эквивалентность
формул с помощью Φ ≡ Ψ.
Запись (Φ)
ний пропозициональной переменнойxна формулу Ψ. Если Φ≡Ψ, то
x
(Θ)
≡ (Θ)
Φ
Для формул логики высказываний выполняются перечисленные далее
основные эквивалентности.
1) Ассоциативность:
x
означает результат замены в формуле Φ всех вхожде-
Ψ
x
.
Ψ
((Φ ◦Ψ) ◦Θ) ≡ (Φ ◦(Ψ ◦Θ)),
где ◦ ∈ {∧, ∨, ⊕}.
2) Коммутативность:
(Φ ◦Ψ) ≡ (Ψ ◦Φ),
где ◦ ∈ {∧, ∨, ⊕}.
3) Дистрибутивность:
((Φ ∨Ψ) ∧Θ) ≡ ((Φ ∧Θ) ∨(Ψ ∧Θ));
((Φ ∧Ψ) ∨Θ) ≡ ((Φ ∨Θ) ∧(Ψ ∨Θ));
((Φ ⊕Ψ) ∧Θ) ≡ ((Φ ∧Θ) ⊕(Ψ ∧Θ)).
4) Двойное отрицание: ¬¬Φ ≡ Φ.
42 5. Эквивалентность формул
5) Законы де Моргана:
¬(Φ ∨Ψ) ≡ (¬Φ ∧¬Ψ);
¬(Φ ∧Ψ) ≡ (¬Φ ∨¬Ψ).
6) Идемпотентность:
(Φ ∧Φ) ≡ Φ, (Φ ∨Φ) ≡ Φ.
7) 0-1-законы:
(Φ ∧¬Φ) ≡ 0; (Φ ∨¬Φ) ≡ 1; (Φ ⊕ Φ) ≡ 0;
(Φ ∧0) ≡ 0; (Φ ∨0) ≡ Φ; (Φ ⊕0) ≡ Φ;
(Φ ∧1) ≡ Φ; (Φ ∨1) ≡ 1; (Φ ⊕1) ≡ ¬Φ.
8) Представление импликации:
(Φ → Ψ) ≡ (¬Φ ∨ Ψ).
9) Представление сложения по модулю два:
(Φ ⊕Ψ) ≡ ((Φ ∧¬Ψ) ∨(¬Φ ∧Ψ)) ≡ ((Φ ∨Ψ) ∧ (¬Φ ∨ ¬Ψ)).
10) Законы поглощения:
Φ ∨(Φ ∧Ψ) ≡ Φ; (1)
(Φ ∧Ψ) ∨(¬Φ ∧Θ) ∨(Ψ ∧Θ) ≡ (Φ ∧Ψ) ∨ (¬Φ ∧ Θ) (2)
Задачи
135.
Доказать, что из формулы Φ следует формула Ψ тогда и только
тогда, когда Φ ∧ Ψ ≡ Φ, тогда и только тогда, когда Φ ∨Ψ ≡ Ψ.
136.
Проверить все основные эквивалентности, приведённые в начале раздела, непосредственно построив истинностные таблицы для
функций, представляемых их левыми и правыми частями.
~
Задачи 43
137.
Назовём л о г и ч е с к и м п р о и з в е д е н и е м формулу, имеющую вид Φ1∧
называть с о м н о ж и т е л я м и . Аналогично, л о г и ч е с к о й с у м м о й назовём формулу вида Φ1∨
1 6 i 6 n, будем называть с л а г а е м ы м и .
Показать, что из основных тождеств можно вывести следующие
правила преобразования логических произведений и сумм:
(а)
если в логическом произведении хотя бы один из сомножителей
равен 0, то и всё произведение равно 0;
(б)
если в логической сумме хотя бы одно из слагаемых равно 1, то
и вся сумма равна 1;
(в)
если в логическом произведении
равный 1, то его можно вычеркнуть;
(г)
если в логической сумме
можно вычеркнуть.
138.
Используя основные тождества, доказать эквивалентность следующих пар формул.
Φ2∧ . . . ∧
Φn. Её подформулы Φi,16 i 6 n
Φ2∨ . . . ∨
n >
2 и есть слагаемое равное 0, то его
Φn. Её подформулы Φi,
n >
2 и есть сомножитель
, будем
~
(а) ¬(x ∨ ¬y) ∧(x → ¬y) и ¬x ∧y;
(б) ¬((x ∧ ¬y) → (¬x ∨ z)) и x ∧ ¬y ∧ ¬z;
(в) (x ⊕ y) → (x ∧ ¬y) и (¬x ∧ ¬y) ∨x.
139.
Вывести законы поглощения, используя предыдущие эквивалентности.
140. Доказать следующие эквивалентности:
(а) Φ → 0 ≡ ¬Φ;
(б) 1 → Φ ≡ Φ;
(в) (Φ → Ψ) → Ψ ≡ Φ ∨Ψ;
(г)Φ↔Ψ≡(Φ→Ψ)∧(Ψ→
141.
Используя основные тождества, доказать тождественную истинность следующих формул:
(д) ¬Φ → Φ ≡ Φ;
(е) (Φ → Φ) → Φ ≡ Φ;
(ж) Φ ∨(¬Φ ∧Ψ) ≡ Φ ∨Ψ;
Φ);
(з)
(Φ→Ψ)⊕(Ψ→Φ)≡Φ⊕Ψ.
~
~
44 5. Эквивалентность формул
(а) (x → (y → x));
(б) ((x ∧ y) → x);
(в) (((x → y) ∧ (y → z)) → (x → z));
(г) (x → (x ∨ y));
(д) (((x → y) ∨ (x → z)) → (x → (y ∨ z)));
(е) ((x → y) → ((x → ¬y) → ¬x));
(ж) ((x → ¬y) → ¬(x ∧ y)).
142.
Пусть интерпретацияJотличается от интерпретацииIтолько
тем, чтоJ(x) =I(Θ). Индукцией по построению формулы Φ доказать,
что J(Φ) = I(Φ)
143. Доказать, что если Φ ≡ Ψ, то (Φ)
144.
Булева функция
к функцииf(
x
.
Θ
f∗(
x1, . . . , xn) называется д в о й с т в е н н о й
x1, . . . , xn), если
x
≡ (Ψ)
Θ
f∗(
x1, . . . , xn) =¬f(
x
.
Θ
¬x1, . . . , ¬xn) для
всех значений переменных. Например, конъюнкция двойственна к
дизъюнкции и наоборот.
(а) Доказать, что отношение двойственности симметрично.
(б)
Пустьf(
y1, . . . , ym)
, g1(
x1, . . . , xn)
, . . . , gm(
x1, . . . , xn) — булевы
функции и
h(x1, . . . , xn) = f(g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn)).
Установить следующий принцип двойственности: двойственная
функция от суперпозиции функций равна суперпозиции двой-
ственных функций:
h∗(x1, . . . , xn) = f∗(g
∗
(x1, . . . , xn), . . . , g
1
∗
(x1, . . . , xn)).
m
~
~
~
~
145. Построить двойственные функции для ¬, →, ⊕, ↑.
146.
Построить двойственные функции для функций, заданных следующими формулами:
~
Задачи 45
(а) (x → ¬(¬y ⊕x ⊕ z));
(в) ((x ∨ ¬y) → (¬x ↓ y)).
(б) ((x ↑ y) ⊕(¬x → z));
147. (а)
Доказать, что среди 20 формул от переменных
всегда найдутся две эквивалентные.
(б)
Верно ли, что среди 20 формул от переменных
x1,
найдутся три попарно эквивалентные?
(в)
Пусть имеетсяkформул отnпеременных
x1, . . . , xn. Требует-
ся выбрать несколько попарно эквивалентных формул. Какое
количество таких формул можно гарантированно найти?
x1,
x
x2всегда
~
2
~
46 6. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
6. Дизъюнктивные и
конъюнктивные
нормальные формы
ПустьV=
{x1, . . . , xn}
— это конечное множество пропозициональных
переменных. Введём для x ∈ V и σ ∈ B такое обозначение:
(
xσ=
x, если σ = 1,
¬x, если σ = 0.
Э л е м е н т а р н а я к о н ъ ю н к ц и я — это формула вида
σ
σ
1
x
i
2
∧ x
∧ · · · ∧ x
i
1
2
σ
k
.
i
k
Э л е м е н т а р н а я д и з ъ ю н к ц и я — это формула вида
σ
σ
1
x
i
2
∨ x
∨ · · · ∨ x
i
1
2
σ
k
.
i
k
Д и з ъ ю н к т и в н а я н о р м а л ь н а я ф о р м а (сокращённо Д Н Ф)
D
— это дизъюнкция элементарных конъюнкций:D=
где
Kj,j= 1
, . . . , r
, — это элементарные конъюнкции. ДНФDназывается
с о в е р ш е н н о й , если в каждую элементарную конъюнкцию
K1∨ K2∨ . . . ∨ Kr,
Kjкаждая
переменная изVвходит в точности один раз. Для каждой булевой функции
f не тождественно равной нулю существует задающая её ДНФ:
Df=
_
f(σ1,...,σn)=1
n
^
σ
i
x
. (3)
i
i=1
Задачи 47
К о н ъ ю н к т и в н а я н о р м а л ь н а я ф о р м а (сокращённо К Н Ф)
C
— это конъюнкция элементарных дизъюнкций:C=
где
Dj,j= 1
, . . . , r
, — это элементарные дизъюнкции. КНФCназывается
с о в е р ш е н н о й , если в каждую элементарную дизъюнкцию
переменная изVвходит в точности один раз. Для каждой булевой функции
f не тождественно равной единице существует задающая её КНФ:
Cf=
^
f(σ1,...,σn)=0
n
_
i=1
¬σ
i
x
. (4)
i
И м п л и к а н т о м для формулы Φ (или булевой функцииf, которая
задаётся формулой Φ) называется выполнимая элементарная конъюнкция,
из которой Φ следует. Импликант называется м и н и м а л ь н ы м, если
никакая его часть импликантом для Φ не является. soСокращённой ДНФ
для формулы Φ называется дизъюнкция всех её минимальных импликантов.
Она эквивалентна Φ и единственна с точностью до перестановок элементов
конъюнкций и дизъюнкций.
М е т о д Б л е й к а для построения сокращённой ДНФDдля формулы
Φ:
1) Построить для Φ совершенную ДНФ D1.
2)
Для получения
D2применять к
D1, сколько возможно, справа налево
закон поглощения (2).
3)
Для получения
D3применять к
D2, сколько возможно, слева направо
закон поглощения (1).
4)
Для полученияDисключить из
D3повторы элементарных конъюнк-
ций.
D1∧ D2∧ . . . ∧ Dr,
Djкаждая
М и н и м а л ь н а я ДНФ для функцииf— это эквивалентная ей ДНФ,
имеющая минимальную длину.
Задачи
148. Доказать эквивалентности при σ, τ ∈ B, σ 6= τ
1σ≡ σ; 0σ≡ ¬σ; σσ≡ 1; στ≡ 0. (5)
149.
Определить, сколько изnпеременных
можно составить
x1, . . . , xnи их отрицаний
~
48 6. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
(а)
неэквивалентных элементарных конъюнкций, содержащих ровноkэлементов и не содержащих одну и ту же переменную два
или более раз;
(б) всего неэквивалентных элементарных конъюнкций.
150.
Доказать равенства
(3)и(4)
: для каждого набора значений
аргументов σ1, . . . , σnвыполнено
f(σ1, . . . , σn) = Df(σ1, . . . , σn) = Cf(σ1, . . . , σn).
151. Предложить процедуры для решения следующих задач:
(а)
По произвольной элементарной конъюнкции построить эквивалентную ей совершенную ДНФ с заданным множеством переменных.
(б)
По произвольной элементарной дизъюнкции построить эквивалентную ей совершенную КНФ с заданным множеством переменных.
152.
Доказать, что для всех
k 6 n
каждую булеву функцию
можно представить в виде
f(x1, . . . , xk, x
=
, . . . , xn) =
k+1
_
(σ1,...,σk)∈B
x
k
σ
1
∧ . . . ∧ x
1
σ
k
∧ f(σ1, . . . , σk, x
k
, . . . , xn).
k+1
f ∈ P
~
~
~
n
Такое представление называется разложениемfпо
x1, . . . , xk. При
k = n из него получается совершенная ДНФ (3).
153.
Предложить метод одновременного построения эквивалентных
ДНФ и КНФ для произвольной формулы Φ, используя индукцию по
построению Φ.
154.
Используя основные эквивалентности, построить для следующих формул эквивалентные совершенные ДНФ и КНФ:
(а) Φ1= ((x ↑ y) ∨(z ⊕ x)) → ¬y;
(б) Φ2= ((¬x ⊕ z) → (x ∨ y)) ∧(¬x → ¬y);
~
~
Задачи 49
(в) Φ3= (((z ∨ x) ⊕y) ∨(x → ¬z)) ∧z.
155.
Преобразовать следующие ДНФ в эквивалентные совершенные
ДНФ:
(а) (x ∧ y) ∨(¬x ∧ z) ∨(x ∧ z);
(б) (¬x ∧ y) ∨z ∨ (x ∧ ¬z);
(в) x ∨ (¬x ∧z) ∨(y ∧ z) ∨(¬x ∧¬y).
156.
Преобразовать следующие КНФ в эквивалентные совершенные
КНФ:
(а) (x ∨ y) ∧(¬x ∨ z) ∧(x ∨ ¬z);
(б) ¬x ∧ (x ∨y) ∧z ∧ (¬x ∨ ¬z);
(в) (¬x ∨ z) ∧(y ∨ z) ∧ (¬x ∨¬y).
157.
Привести пример трёхместной булевой функцииf, обладающей
следующим свойством: если в совершенной ДНФ дляfзаменить конъюнкции на дизъюнкции, а дизъюнкции на конъюнкции, то получится
совершенная КНФ для f.
158.
С помощью основных эквивалентностей преобразовать следующие ДНФ в КНФ:
(а) (x ∧ y) ∨(¬x ∧ y ∧ z) ∨(x ∧ z);
~
~
~
~
(б) (¬x ∧ ¬y ∧ z) ∨(¬x ∧ y ∧ z) ∨(x ∧y ∧ ¬z);
(в) x ∨ (¬x ∧z) ∨(¬x ∧ y ∧ z) ∨(¬x ∧ ¬y ∧ ¬z).
159.
Функцияf(
восьми нулей и единиц при лексикографическом упорядочении аргументов:f= (1011 1010). Определить, какие из следующих элементарных конъюнкций являются импликантами и какие из них —
минимальными импликантами для функции f :
(а) ¬x ∧ y ∧ z;
(б) ¬z;
160.
Доказать, что минимальная ДНФ состоит из минимальных
импликантов.
x, y, z
), задана следующей последовательностью
(в) x ∧ ¬y;
(г) ¬x ∧ y;
(д) ¬y;
(е) x ∧ ¬z.
~
~
~
50 6. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
161.
Доказать, что совершенная, сокращённая и минимальная ДНФ
для функции
n−1
2
элементарных конъюнкций длины n.
162.
Наборы значений трёх аргументовx,yиzбулевых функций
odd(x1, . . . , xn) =
x1⊕ . . . ⊕ xnсовпадают и состоят из
упорядочены лексикографически. Их значения задаются следующими последовательностями восьми нулей и единиц. Определить для
каждой из следующих совершенные ДНФ и КНФ и сокращённую
ДНФ:
~
(а) f = (1011 0011);
(б) f = (0011 1001);
163.
Найти эквивалентные сокращённые ДНФ и доказать эквива-
(в) f = (1110 1011);
(г) f = (0011 1011).
лентность следующих пар формул:
(а)
Φ = (((
¬x ∧¬y)→ ¬z)∧(x → y
)), Ψ = ((1⊕y)→(
¬x ∧(1⊕z
(б) Φ = (¬((x1→ x2) ∨¬(x2→ x1)) ∧x3), Ψ = ¬((x1∧ x3) → x2);
(в) Φ = ¬(¬x ∧ y ∧ ¬z) → ((y ⊕ 1) ∧((x ⊕ 1) → ¬(¬u ∨ z))),
Ψ = (¬x ∨ y) → ((¬u ∨ y ∨ z) → (¬(x ∨ ¬y) ∧¬z));
(г) Φ = (¬(x → (¬y → (x ∧ ¬z))) ∧ (z ∨ ¬(x ∧ y))),
Ψ = ((x ∧ z) ⊕(x ∧ y ∧ z));
(д) Φ = (((x ∧ y) → ¬z) ∧ (¬x → ¬y)), Ψ = (y → (x ∧ (z ⊕ 1)));
(е) Φ = (((x ∨ y) → ¬z) ∧ ((x ∧z) → y)), Ψ = (z → ((x ⊕ 1) ∧¬y)).
~
)));
~