Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Планирование и организация эксперимента. Методические указания к практическим занятиям для студентов, обучающихся по направлению подготовки 221700 «Ст
.pdf
3. Вопросы для самоконтроля
1. Что считают методом крутого восхождения?
2. Каким образом устанавливаются значения факторов на каждом
опыте крутого восхождения?
3. Каким образом устанавливаются количество опытов при поиске
минимального значения выходного параметра?
4. Представьте геометрическую интерпретацию метода крутого
восхождения для двухфакторного эксперимента?
5. Каким образом устанавливаются значения факторов в каждом
опыте первой серии опытов?
6. Каким образом устанавливается значение выходного параметра в
u-м опыте крутого восхождения?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
ПРОЦЕССА В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Цель работы: ознакомиться с методами линейного программиро-
вания на примере решения задачи оптимизации параметров организации технологического процесса строительного производства, а также
используемым при этом основным понятиям в решении задач линейного программирования.
1. Порядок работы
1. Изучить основные положения теории решения задач линейного
программирования.
2. Составить таблицу исходных данных согласно заданному преподавателем варианту.
3. Провести анализ задачи и выполнить все этапы ее решение,
определив оптимальные значение переменных.
4. Составить отчет по работе и выводы.
2. Методические указания по выполнению заданий
Рассмотрим решение задач линейного программирования.
Задачи линейного программирования в общем виде представляют-
ся как задачи нахождения экстремального значения линейной функции
от n переменных:
(хi)= с0 + с1 х1 + с2 х2 + ... + с3 х3, (77)
61
а набор ограничений может задаваться как система равенств, так и
как система неравенств линейного характера. При этом значения всех
переменных хi i=1..n принимаются неотрицательными.
Решение задачи возможно алгебраически и графически. Суть решения задачи заключается в определении значений переменных хi в
допустимом пространстве возможных решений, когда целевая функция
имеет экстремальное значение.
Задачу линейного программирования при двух переменных в общем виде можно представить как целевую функцию вида:
(х1, х2 )= с1 х2 + с2 х2 (78)
с ограничениями вида:
а
+ а2 х 2 b
1 х1
d1 x1 + d2x2 b
0 x1 k1 (79)
0 x2 k
Графическое решение задачи с двумя переменными выполняется в
следующей последовательности:
1) ввести обозначения в задачи;
2) формализовать условия задачи, т.е. представить в виде уравне-
ний связи между переменными;
3) составить целевую функцию и ограничения на условия задачи;
4) устанавить систему координат, в которой за оси координат при-
нимаются переменные х1 и х2;
5) определить область Q допустимых решений, используя уравнения ограничений на задачу (если такая область Q отсутствует, то соответственно и отсутствует решение задачи);
6) по двум значениям х1 и х2, произвольно взятым из области Q допустимых решений, построить график — прямую линию целевой
функции (х1, х2), устанавливающее базисное ее значение;
7) для точки пространства Q (х1, х2) вне построенной прямой
функции (х1, х2) определить новое значение целевой функции и таким
образом по изменению ее значения в сопоставлении с базисным значением определяем ее возрастание или убывание;
1
2
2
62
8) в зависимости от направления изменения значения целевой
функции и требованием задачи, перенося параллельно базисному положению целевой функции линию, определяющую новые ее значения,
устанавливаем экстремальное значение функции, соответствующее
требованиям задачи.
Рис. 4. Графический метод решения задачи линейного программирования
Так, факт отсутствия ограничений по направлению смещения ли-
нии целевой функции указывает на множество решений и наличие конкретного решения. При совпадении линии целевой функции с линией,
отражающей одно из ограничений, представляет решение задачи, как
комбинацию значений х1 и х2 на всем отрезке прямой,
Обычно решение задачи совпадает с одной из вершин многогран-
ника, определяющего допустимую область Q решений.
Порядок решения.
1. Изучив общую теории решения задач линейного программирования, записываем условия задачи согласно исходным данным по заданному преподавателем варианту расчета. Данные выбираются исходя
из табл. 33.
63
Условие задачи. На строительном производстве осуществляется
мелкосерийное изготовление строительных конструкций двух моделей.
При этом в качестве сырья используются при изготовлении основные и
вспомогательные строительные материалы, количество которых ограничено. Требуется составить план, т.е. указать, какое количество изделий каждой модели изготовить предприятию, чтобы суммарная прибыль от их производства была наибольшая.
Таблица 33
Исходные данные к расчету
2. Для всех вариантов расчета принимаем обозначения всех переменных, представленных в табл. 33 и согласно условиям задачи.
3. Формализацию связей между рассматриваемыми величинами
выполняем по следующим условиям задачи:
а) общий расход основного материала по двум моделям для планируемого объема выпускаемых изделий с учетом его ограниченного объема;
б) общий расход вспомогательных материалов по двум моделям с
учетом ограниченного его запаса;
в) ограничения по планируемому количеству изделий каждой
модели.
64
4. Составление уравнения, определяющего значение целевой функции (х1, х2) согласно условиям задачи.
5. В установленной системе Х1ОХ2 определяем область Q допустимых решений. Для этого строим по каждому уравнению (преобразуя их
в равенство) графики линий и, учитывая знак неравенства, уточняем
область Q, в которой находится решение.
6. Находим в области допустимых решений базисное значение целевой функции (х1, х2) и устанавливаем направление изменения ее значений. Определяем экстремальное значение целевой функции (х1, х2) и
оптимальные значения переменных.
7. Анализ результатов решения задачи выполняется по следующим
направлениям:
какого материала необходимо больше, чтобы повысить эффек-
тивность производства;
по какой модели недостаточно использовано мощности произ-
водства и др.
Содержание отчета.
1. Название и цель работы.
2. Основные теоретические сведения о решении задач линейного
программирования.
3. Исходные данные (табл. 33).
4. Постановка задачи, целевая функция, математическая модель и
основные этапы ее решения.
5. Результаты работы.
6. Выводы (отметьте возможный класс задач, решаемых данным
способом, непременные условия задачи для решения данным способом
и др.).
3. Вопросы для самопроверки
1. Какие задачи можно считать задачами линейного программирования?
2. Какими методами решаются задачи линейного программирования?
3. Укажите основные этапы решения задачи линейного программирования графическим методом?
4. В каких случаях возможно применение графического метода решения задачи линейного программирования?
5. Какие существуют численные методы для решения задач линейного программирования?
6. В каком случае отсутствует решение в задачах линейного программирования?
7. В каком случае существует множество решений по задаче линейного программирования?
65
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
ПРОЦЕССА В ЗАДАЧАХ
НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Цель работы: изучить параметры задач нелинейного программи-
рования и методы их решения.
1. Порядок работы
1. Составить таблицу исходных данных согласно заданному преподавателем варианту.
2. Изучить основные положения теории по решению задач линейного программирования.
3. Провести анализ условий задачи и разработать целевую функцию для отимизации варьируемых параметров.
4. Разработать алгоритм решения задачи в виде блок-схемы.
5. Составить программу решения задачи на алгоритмическом языке
программирования (например, на языке Паскаль).
6. Ввести программу в ЭВМ, отредактировать, устранив возмож-
ные ошибки, и выполнить расчет по заданным исходным данным.
7. Провести исследования поверхности отклика целевой функции в
области, близкой к экстремальному ее значению, используя возможности Ехсеl.
8. Составить отчет о работе и выводы.
2. Методические указания по выполнению заданий
Рассмотрим решение задач нелинейного программирования.
Задачи нелинейного программирования в общем виде представля-
ются как задачи нахождения экстремального значения линейной функции от n переменных:
(х)= с0 + с1 х1 + с2 х2 + ... + сn хn, (80)
а набор ограничений может задаваться как система равенств, так и
как система неравенств нелинейного характера. При этом значения всех
переменных хi i=1..n принимаются неотрицательными.
Решение задачи возможно алгебраически и графически. Суть решения задачи заключается в определении значений переменных хi в
допустимом пространстве возможных решений, когда целевая функция
имеет экстремальное значение.
66
3
В
Центр
тяжести
1, A 2
Задачу нелинейного программирования при двух переменных в
общем виде можно представить как целевую функцию вида:
(х1 , х2 )= с0 + с1 х1 + с2 х2 + с3 х1 х2 + с4 х
2
+ с5 х
1
2
(81)
2
с ограничениями вида:
а
+ а2 х 2 b
1 х1
d1 x
2
+ d2x
1
1
2
b
2
2
0 x1 k1 (82)
0 x2 k
2
Для решения задачи воспользуемся симплекс-методом Нелдера и
Мида, когда значение целевой функции определяется в вершинах многогранника и, оценивая полученные значения, устанавливается направление поиска оптимальных значений переменных, при которых целевая
функции принимает экстремальное значение.
В случае двух переменных регулярный симплекс представляет со-
бой равносторонний треугольник (три точки). Целевая функция (х1, х2)
может быть вычислена в каждой из вершин симплекса; из вершины, где
целевая функция максимальна (точка А на рис. 5), проводится проектирующая прямая через центр тяжести симплекса.
Рис. 5. Регулярный симплекс для двух независимых переменных
Затем точка А исключается и строится новый симплекс, называе-
мый отраженным, из оставшихся прежних точек и одной новой В, расположенной на проектирующей прямой на надлежащем расстоянии от
центра тяжести. Продолжение этой процедуры, в которой каждый раз
67
вычерчивается вершина, где целевая функция максимальна, а также
использование правил уменьшения размера симлекса и предотвращения циклического движения в окрестности экстремума, позволяет осуществить поиск, не использующий производные, и в котором величина
шага на любом этапе K фиксирована, а направление поиска можно изменять. На рис. 6 приведены последовательные симплексы, построенные в двумерном пространстве с явно выраженным экстремумом
функции.
При наличии ограничений целевая функция (х1, х2) пополняется
штрафными функциями h(хi), которые устанавливаются, исходя из
условий выполнения ограничений. Так, для представленных условий
задачи (80, 81) штрафные функции имеют следующий вид:
0 при 0 x1 k
1
h1(x1)= (k1 – x1)2 при x1k1 (83)
x
2
при х1 0
1
и
0 при d1 x
2
+ d2 x
1
2
2
b
1
h2(xi) = (84)
(d1 x
2
+ d2 x
1
2
–b1)2 при d1 x
2
2
+ d2 x
1
2
2
b1
Рис. 6. Последовательность регулярных симплексов, полученных
при минимизации функции (х1, х2 )
68
Таким образом, целевая функция с штрафными функциями имеет
вид:
m
(х1 ,х2 )= с0 + с1 х1 + с2 х2 + с3 х
+ с4 х
1х2
2
+ с2 х
1
j=1
где m — количество рассматриваемых ограничений в задаче.
Графическое решение задачи нелинейного программирования с
ограничениями представлено на рис. 6. При выходе за пределы области
Q допустимых решений (точки 11 и 12) значение целевой функции существенно возрастает.
Порядок решения.
1. Изучив общую теории решения задач нелинейного программи-
рования, записываем условия задачи согласно исходным данным по
заданному преподавателем варианту расчета.
Условие задачи. На основании экспериментальных исследований
установлена зависимость между показателем качества Y изготовления
строительных материалов и технологическими режимами его выполнения. Также известны предельно возможные параметры технологических режимов x1 и x2 и ограничения на данное соединение по второму
показателю W. Требуется определить оптимальные параметры технологических режимов, а именно температуры прессования — х1 и давления прессования — х2 при выполнении клеевых соединений при достижении максимального показателя его качества Y (удельной разрушающей нагрузки при расслаивании клеевого соединения).
В общем виде уравнение между показателем качества и переменными можно представить в следующем виде:
2
+ hj (xi),
2
(85)
Y=с1+ с2*x1 + c3*x2 + c4*x1*x2 +c5*x1*x1 + c6*x2*x2, (86)
где х1 и х2 представлены в относительных величинах (при основном
уровне Xo для X1= 155 град и для Х2 =40000 Па и интервалах варирования x 25 град и 20000 Па соответственно);
69
а ограничения устанавливаются по следующим уравнениям:
d1 + d2* x1*x1 + d 3 x2*x2 W
k1min x1 k1max (87)
k2min x2 k 2max.
Исходные данные к задаче представлены в табл. 34.
Таблица 34
Исходные данные к расчету
2. Общая последовательность решения задачи следующая:
1) ввести обозначения в задачи;
2) формализовать условия задачи, т.е. представить в виде уравне-
ний связи между переменными ;
3) составить целевую функцию (х х), преобразуя ограничения в
штрафные функции h(x) (см. уравнения 81 и 82), т.е.:
(х1 х2 )=1/Y + h (x
); (88)
i
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]