Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Планирование и организация эксперимента. Методические указания к практическим занятиям для студентов, обучающихся по направлению подготовки 221700 «Ст
.pdf
HHK
C
W
32
12
nik
j
ij
H
kAC
121
2
1
2
1H
K
HHK
H
kA
W
nik
j
ij
32121
2
1
12
Обработка собранных мнений (данных) экспертов проводится как
количественно (численные данные), так и качественно (содержательная
информация). При обработке используются различные способы. При
наличии численных данных для решения вопросов, имеющих достаточный информационный материал, применяются методы усреднения
экспертных суждений.
При использовании рассмотренных экспертных методов (рангов
и др.) мнения экспертов часто не совпадают, поэтому необходимо количественно оценивать меру согласованности мнений экспертов и
определять причины несовпадения суждений. Мера согласованности,
естественно, определяется на основе статистических данных всей группы экспертов. Для оценки меры согласованности мнений экспертов используются, как правило, коэффициенты конкордации.
Мера согласованности определяется математико-статистической
обработкой всех имеющихся результатов экспертизы. Так, согласованность мнений компетентных экспертов при использовании всех указанных экспертных методов, где определяются ранги объектов, можно
определить с помощью коэффициента конкордации (согласия) по формуле:
, (1)
где С — сумма квадратов отклонений сумм рангов по каждому объекту
от средней суммы рангов по всем объектам и экспертам, т.е.:
где
— средняя сумма рангов.
, (2)
Полная запись формулы имеет следующий вид:
11
(3)
6.0
556
6 0 0 64 36 100 16 12
32
W
Коэффициент конкордации может быть в диапазоне 1 W О. При
W=0 согласованность мнений экспертов отсутствует, а при W=1 — со-
гласованность полная. Обычно считается, что согласованность вполне
достаточна, если W 0,5.
Допустим, по результатам работы компетентных экспертов получены определенные данные ранжирования и по ним требуется рассчитать коэффициент конкордации (табл. 2). Коэффициент конкордации
равен:
,
т.е. мнения экспертов можно признать согласованными, так как полученная величина коэффициента конкордации удовлетворяет условию
W 0,5.
Таблица 2
Данные для расчета коэффициента конкордации
При использовании экспертных методов, в которых ранги не определяются, для нахождения конкордации рассчитанные значимости объектов следует переводить в ранги. Ранг 1 приписывается объекту, у которого наибольшая значимость, и т.д., в противном случае оценку согласованности мнений проводят по другим критериям согласия.
12
Уровень
значимости
(В)
Число степеней свободы (S=Н+1)
1 2 5 7 10
15
20
25
30
0,005
7,8
13
17
30,5
25
33
40
47
54
0,025
5
9,3
12,7
16
20,5
27,5
34
40
47
0,05
3,8
7,8
11
14
18,5
25
31
38
44
Рассчитанную величину коэффициента конкордации следует взвешивать по критерию Пирсона (Х2) с определенным уровнем значимости
(В), т.е. максимальной вероятностью неправильного результата работы
экспертов. Обычно задавать значимость достаточно в пределах
0,0050,05.
В случае получения расчетной величины Х
(с избранным уровнем значимости) мнения экспертов окончательно
признаются согласованными.
Табличные величины критерия Пирсона Х
2
> табличной Х
расч
2
табл
2
табл
Таблица 3
уровня значимости и числа степеней свободы (S), которое определяется
по формуле:S=Н-1
мерно 9, т.е. мнения экспертов можно окончательно признать с вероятностью 0,95 согласованными, так как:
Табличные величины Х
Расчетная величина Х
2
(табл. 3) зависят от принимаемого
табл
2
определяется по формуле:
расч
2
Х
=Wx Кх (Н-1)
расч
Таким образом, для данных приведенного ранее примера:
2
Х
= 0,6 х 6 х (5-1) = 14,4
расч
При уровне значимости 0,05 табличная величина Х
2
Х
расч
> Х
2
табл
2
равна при-
табл
13
HjK
i
ij
K
i
ij
весi
А
А
К
1 1
1
Ki
ij
А
1
HjKi
ij
А
1 1
В случае определения несогласованности линии экспертов по коэффициентам конкордации и соответствующей проверке его величины
по критерию Пирсона экспертные опросы следует осуществить
повторно.
Обработка экспертных и социологических данных и расчеты мер
согласованности требуют довольно трудоемких вычислений, поэтому
при проведении сбора и обработки результатов экспертной и социологической информации следует шире использовать компьютерную технику. Возможности для этого есть, так как автоматизация проведения и
обработки результатов подобного рода данных стала предметом создания ряда продуктов программного обеспечения.
Если экспертная система определяет значимость каждого фактора
через присвоение ему баллов по условию чем больше баллов, тем более
значимый фактор, то значимость фактора устанавливается по коэффициенту весомости. При определении весомости того или иного фактора
рассчитывается коэффициент весомости по уравнению:
,
где
i-му фактору,
— общая сумма баллов, присвоенная экспертами данному
— общая сумма баллов, присвоенная всем фак-
торам.
3. Вопросы для самопроверки
1. Какие методы используются при установке значимости фа-
кторов?
2. Какие критерии используются для оценки значимости факторов?
3. Какие требования необходимо выполнить при опросе специали-
стов?
4. Что приводит к несогласованности мнений специалистов?
5. В каком случае мнение специалистов принимается как согласо-
ванное?
6. Что определяет коэффициент весомости и каким образом при-
сваиваются в этом случае специалистами баллы факторам?
14
.
2
11
0 i
M
i
ii
M
i
iiR
XaXaaY
0
2
1
i
M
i
ii
Xa
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3.
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ
И УСЛОВИЯ ДЛЯ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Цель работы: изучить способы вычисления основных статистиче-
ских характеристик при определении параметров полиномиальной регрессионной модели.
1. Порядок работы
1. Изучить общие сведения о регрессионной полиномиальной
модели.
2. Составить таблицу с экспериментальными данными, выданными
преподавателем.
3. Провести обработку результатов эксперимента в соответствии с
данными методическими указаниями.
4. Представить выводы по результатам регрессионного анализа
экспериментальных данных.
2. Методические указания по выполнению заданий
Рассмотрим общие положения по регрессионному анализу дан-
ных. Полиномиальная регрессионная математическая модель имеет
следующий вид:
регрессионной модели, т.е. модели первого порядка.
ется на основе минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных значений Y от соответствующих значений YR и называется ме-
тодом наименьших квадратов.
полнение следующих условий:
планирования эксперимента представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.
При i=1 и отсутствии в модели квадратичной зависимости
она будет иметь наименование линейной однофакторной
Метод определения коэффициентов регрессии а0, аi и аii выполня-
Для применения метода наименьших квадратов необходимо вы-
1. Значения выходного показателя Yи в каждом и-м опыте матрицы
15
Xu
U
Yuυ
mu
Y
1
u
Y
S
u
2
{Y}
1 2 3 4 5
6
1,94 1 3,98
4,37
5,13
5,33
4,48
4,71
28,00
4,67
0,2502
2,02 2 4,86
4,00
4,80
4,86
4,92
5,58
31,04
5,17
0,2524
2,10 3 4,23
4,18
4,76
4,44
5,78
5,10
28,49
4,74
0,3749
2,18 4 5,28
5,44
5,52
5,63
4,48
4,88
31,23
5,20
0,1944
2,26 5 5,78
4,98
4,66
4,86
5,87
5,11
31,26
5,21
0,2497
2,34 6 6,28
5,78
4,60
4,72
5,34
6,18
32,90
5,48
0,5183
∑ 1,8399
2. Дисперсии выходного показателя (параметра) в различных опы-
тах матрицы однородны или пропорциональны некоторой функции
от Xu.
3. Значения уровней факторов не являются линейной комбинацией
от уровней остальных факторов.
4. Точность определения значений выходного показателя зна-
чительно ниже точности определения величины уровня фактора.
После изучения области исследования, определения показателей и
входных факторов ее характеризующих, проведен эксперимент по исследованию влияния на контролируемый показатель (Y) входной переменной (X). Результаты эксперимента представлены в табл. 8…12, вариант задания на работу устанавливается преподавателем.
Для примера реализации методики обработки результатов эксперимента используем данные табл. 4, в которой приведены значения выходного показателя Yuυ в υ-ом опыте каждого и-го опыта матрицы. При
этом число опытов N=6, а число повторных опытов т=6.
Таблица 4
Результаты проведения эксперимента (пример)
Для получения параметров математических моделей по результатам обработки эксперимента характерна следующая последовательность операций обработки экспериментальных данных.
16
,1
)(
)(
max
max
mm
YS
YY
V
u
uu
Ru
,1
}{
min
min
mm
YS
YY
V
u
u
u
Ru
m
Y
Y
m
v
иv
и
1
2
1
1
1
m
i
ииvu
YY
m
YS
;44528,116650018,0)67,433,5(
max1
R
V
.50385,116650018,098,367,4
min1
R
V
1. Проверка и исключение резко выделяющихся эксперимен-
тальных данных.
Эта операция обработки данных выполняется с помощью расчетного значения критерия Смирнова-Грабса по формулам: при резко выделяющемся максимальном значении Y
u max
:
при резко выделяющемся минимальном значении Y
где
— среднее значение выходного показателя,
(4)
:
i min
(5)
— среднее квадратическое отклонение и-го
выходного показателя.
Для первой строки опытов табл. 4 в соответствии с формулами (4)
и (5) имеем:
Табличное значение критерия Смирнова-Грабса устанавливаем в
приложение 1: Vт [P0 = 0,95; m = 6] = 1,996. Так как V
то значения Y
uυ max
=5,33 и Y
=3,98 в повторявшихся опытах не отно-
uυ min
Rmax<Vт
и V
Rmin<Vт
сятся к резко выделяющимся и поэтому они остаются для дальнейшей
статистической обработки.
17
,
2
1
2
1
1
m
i
ииv
u
YY
m
YS
,}{22YSQWuR
.2818,0839,15183,0}{}{
1
22
max
Nu
uuR
YSYSG
2. Проверка гипотезы об однородности дисперсий в матрице
планировании эксперимента.
Проверка гипотезы об однородности дисперсий для каждого u -го
опыта матрицы (например, u = 1; Xu = 1,94) включает:
1) определение дисперсии выходного показателя для данного u–го
опыта
2) определение расчетного значения критерия WR для первого
опыта матрицы по формуле:
;
(6)
где Q = qm (Y-Y1) + ...+ q
m-k+1
(Y
– Yk ) (7)
m-k+1
k =m/2 — при четном значении m;
k =(m-1)/2 — при нечетном значении m;
Ym ≥ Y
≥ ... ≥ Y1; в нашем случае 5,33>5,13 >4,71> 4,48 >4,37 >3,98.
m-1
Значения q
В нашем случае: qm = 0,6431; q
для i = 1...k; m = 3...50 приводятся в приложении 5.
m-i+1
= 0,2806; q
m-1
= 0,0875.
m-2
Таким образом, параметр
Q = 0, 6431 (5,33-3,98) + 0,2806 (5,13-4,37) + 0,0875(4,71-4,48) = 1,1016.
Поэтому WR1 = 1,10162 /0,2502 = 4,85.
Для рассматриваемого примера WT [PD = 0,95; m = 6] = 0,788
(см. приложение 6).
Так как расчетное значение критерия WR1 для первого опыта матрицы превышает табличное значение для выбранной доверительной
вероятности, то гипотеза о нормальном распределении случайных величин Y1υ не отвергается.
3. Проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах
матрицы.
При одинаковом числе повторных опытов (в каждой строке (опыте)
матрицы (в нашем случае m=6) для проверки однородности дисперсий
применяется критерий Кохрена, расчетное значение которого определяется по формуле:
(8)
18
.)()1(1}{/}{
1 1
2
1
22
)1(
Num
uu
N
u
u
YYmNYSNYS
}],{lg}{lg[
303,2
2
1
2
YSfYSf
C
B
u
N
u
uR
;1 ,
1
uu
N
u
u
mfff
};{
1
}{
2
1
2
YSf
f
YS
u
N
u
u
.
11
)1(3
1
1
1
Nu
u
ffN
C
Расчетное значение критерия GR cравнивается с табличным GT
(см. приложение 4). Табличное значение критерия зависит от числа
опытов N в матрице и числа степеней свободы дисперсии f{S
для заданной доверительной вероятности. В рассматриваемом примере
GT[PD = 0,95; N = 6; f = 6-1=5] = 0,4447. Так как GR = 0,2818 < GT =
= 0, 4447, то гипотеза об однородности дисперсий, т.е. равноточности и
воспроизводимоcти опытов не отвергается.
4. Определение средней дисперсии выходного показателя в
опытах матрицы (дисперсия воспроизводимости).
Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных
опытов одинаково, то средняя дисперсия определяется по формуле:
2
} = m-1
u
(9)
Число степеней свободы этой дисперсии равно:
f{S
} = N(m-1). (10)
(1)
Средняя дисперсия (дисперсия воспроизводимости) характеризует
средний разброс значений выходного показателя относительно его
средних значений при каждом уровне факторов, т.е. ошибку опытов в
эксперименте. В рассматриваемом примере:
2
S
{Y} = 1,839/6 = 0,3065.
(1)
Если число повторных опытов неодинаково при различных уровнях факторов, то для проверки однородности дисперсий применяют
критерий Бартлетта:
где
(11)
19
)(XfY
N
Nuu
YXYXYXYX ;...;;...;;
2
2
1
1
; ;
23
23
P212
1
21
XXYYXXYY
P
; ; ... ;
1
1
1)-P(N1
1
NN
NN
uu
uu
Pu
XXYYXXYY
.;; ... ;;
1
)1(
1
Hu
23
2
12
1
Nn
NH
uu
HH
YYYYYYYY
)( и
minHHmaxHHminmaxH
Если случайные величины Y не имеют нормального распределения,
то применять критерий Бартлетта не рекомендуется, так как он получен
при условии нормального распределения этих величин.
5. Определение подходящего вида регрессионной модели
Для определение вида математической модели используют следующую информацию:
вид взаимосвязи Y = f(Х), полученный при теоретическом ис-
следовании объекта или процесса:
графическую взаимосвязь
ями выходного показателя для каждого уровня факторов и значением показателя по данным эксперимента, полученную на базе эксперимента, сравнивают с графиками известных функций;
характер изменения разделенных или неразделенных разностей
первого порядка, определенных по данным эксперимента. Если
в результате эксперимента получены следующие пары величин:
, то распределенные разности пер-
вого порядка определяются выражениями:
между средними значени-
(12)
и неразделенные разности первого порядка — выражениями:
Неразделенными разностями первого порядка пользуются в случае,
если интервал варьирования факторов является величиной постоянной,
т.е. Ix= X2 – XI = ... = X
– Xu = ... = XN-X
u+I
= const.
N-I
Если неразделенные (разделенные) разности первого порядка выходного показателя мало отличаются друг от друга, т.е. разница между
не превышает удвоенной вели-
чины среднеквадратической ошибки эксперимента, равной 2SI{Y}, то
можно считать, что они тождественны, и для описания экспериментальных данных можно условно принять уравнение прямой линии
(Δ*н = Δ'
нmax
- Δ'
нmin
≤ 2S
{Y}):
(1)
20
(13)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]