Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Планирование и организация эксперимента. Методические указания к практическим занятиям для студентов, обучающихся по направлению подготовки 221700 «Ст
.pdf
4. Вопросы для самопроверки
1. Что такое генеральная совокупность? Понятия статистической
совокупности.
2. Какие существуют принципы выборочного контроля?
3. Что такое свойство продукции?
4. Что такое ровнота (равномерность) свойства?
5. Какие существуют методы отбора проб?
6. Что характеризуют статистические характеристики?
7. Что определяют средняя дисперсия, среднеквадратическое от-
клонение и как они вычисляются?
8. Что определяет коэффициент вариации и как он определяется?
9. Как определяется доверительный интервал результатов испыта-
ний?
10. В чем заключается сущность определения статистических ха-
рактеристик методами сумм и произведений?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4.
КВАДРАТИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ
ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ
(МОДЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА)
Цель работы: Изучить способы вычисления основных статистиче-
ских характеристик.
1. Порядок работы
1. Изучить особенности квадратической параболической однофак-
торной регрессионной модели.
2. Установить основные этапы обработки данных регрессионного
анализа.
3. Перерисовать таблицу с исходными данными (приложение 1),
выданными преподавателем.
4. Выполнить обработку данных согласно этапам, представленным
в методических указаниях к занятиям.
5. Построить таблицу с результатами вычислений.
31
.
1
K
i
i
i
XbY
6. Построить графики зависимостей между переменной и выход-
ным параметром с указанием допустимых интервалов варьирования.
7. Составить выводы по работе.
2. Методические указания по выполнению заданий
Рассмотрим общие теоретические сведения о квадратической пара-
болической однофакторной регрессионной модели и методические указания к проведению обработки данных.
Если независимая переменная X является нелинейной относитель-
но зависимой переменной Y, и Y линеен относительно коэффициентов
регрессии, то в этом случае экспериментальные данные могут быть
описаны параболой, общий вид которой представляется выражением:
(34)
При К = 2 имеем уравнение:
Y = b0 + b1X + b2X2 (35)
При определении параболической модели матрицы планирование
однофакторного эксперимента и условия его проведения одинаковы,
как и при получении линейной регрессионной модели. Число уравнений фактора (число опытов в матрице планирования) обычно принимают paвным N=5÷12.
Рассмотрим особенности выполнения операций, которые соверша-
ет исследователь при обработке данных этого эксперимента, имея в виду, что очередность и содержание выполняемых операций аналогична
операциям, выполняемым при рассмотрении линейной однофакторной
регрессионной модели.
Пример. Определить влияние переменной Xu = hK (мм) на выход-
ной параметр Yu = P (см). Число опытов (уровней) N=7; число повторности в каждом опыте m=5.
Результаты эксперимента сведены в табл. 13.
32
Xu
υ
u
Y
S
2
u{y}
Δ′Hu
Δ″Hu
U
Yuυ
1 2 3 4 5
0 1 0 0 0 0 0 0 0
22,00
-7,0
2 2 18,0
23,5
21,0
26,5
21,0
22,00
10,125
15,00 4 3
38,0
40,0
35,0
42,0
36,0
37,00
16,000
-7,0
8,00
6 4 41,0
50,0
42,0
49,0
43,0
45,0
17,500
-3,5
4,50
8 5 48,0
54,5
46,5
45,5
53,0
49,50
16,125
-2,0
2,50
10 6 54,5
50,0
51,5
55,0
49,0
52,00
7,125
-2,5
0,00
12 7 56,5
51,0
54,0
51,5
47,0
52,00
12,625
Nu 1
79,500
Таблица 13
Результаты эксперимента
Проверка показала, что резко выделяющихся значений случайных
величин выходного параметра нет и что сами случайные величины
каждого уровня переменной распределены нормально.
1.1. Проверка гипотезы об однородности дисперсий в опытах мат-
рицы.
Для этой цели определяем расчетное значение критерия Кохрена:
GR = 17,5/79,5 = 0,2201.
Расчетное значение критерия Кохрена сравнивают с табличным,
которое находят по Приложению 5.
[PD = 0,95; N = 7; f{S
2
} = m-1 = 5-1 = 4] = 0,4307.
u
Так как GR = 0,2201 < GT = 0,4307, то гипотеза об однородности
(ровноточности) дисперсии и воспроизводимости опытов не отвергается.
33
.357,117/5,79}{/1}{
1
22
)1(
Nu
u
YSNYS
.2714,25/357,11}{
1
}{
2
)1(
2
YS
m
YS
.74,637,32357,112}{22
2
)1(}){1(
YSS
Y
1.2. Определение средней дисперсии (дисперсии воспроизводи-
мости) выходного параметра.
(36)
Дисперсия среднего значения выходного параметра:
(37)
1.3. Определение подходящего вида регрессионной модели.
Для этого используют метод неразделенных или разделенных раз-
ностей. Учитывая, что интервал варьирования фактора величина постоянная (2-0=4-2=…=12-10=2=const), определяют неразделенные разно-
сти первого порядка (табл. 2) и проверяют их тождественность:
Δ′*Н1 = Δ′
Hmax
-Δ′
= 22,00-0,00 = 22,00,
Hmin
Так как Δ′*Н1 = 22,00 > 2S
{Y} = 6,74, то неразделенные разности
(1)
первого порядка не тождественны, и экспериментальные данные не могут быть описаны линейным уравнением 8 или 9.
Далее определяют неразделенные разности второго порядка по
формуле:
Δ″H1 = Δ′H2 - Δ′H1; ... ; Δ″Hu = Δ′Hu+1 - Δ′Hu (38)
Если интервал варьирования фактора не постоянный, т.е. Ix = X
u+1
–
Xu ≠ const, то разделенные разности второго порядка находят по фор-
мулам:
. Δ″P1 = Δ′P2 - Δ′P1 / X3 –X1; ... ; Δ″PU = Δ′
- Δ′Pu / X
Pu+1
– Xu (39)
u+2
Неразделенные разности второго порядка (табл. 13) можно считать
тождественными, так как разница между ними меньше удвоенной
среднеквадратической ошибки:
34
minYY
N
u
Ru
u
1
2
)(
4
2
3
0
2
3
2
2
10
1 1 1
2
210
uuu
u
uuuu
u
N
m
N
m
N
m
uu
u
XbXbXY
XbXbXbXY
XbXbNbY
u
Xu
X
2
u
X
3
u
X
4
u
u
Y
u
u
YX
u
u
YX
2
1 0 0 0 0 0 0
0
2
2,0
4,0
8,0
16,0
22,0
44,0
88,0
3
4,0
16,0
64,0
256,0
37,0
148,0
592,0
4
6,0
36,0
216,0
1296,0
45,0
270,0
1620,0
5
8,0
64,0
512,0
4096,0
49,5
396,0
3168,0
6
10,0
100,0
1000,0
10000,0
52,0
520,0
5200,0
7
12,0
144,0
1728,0
20736,0
52,0
624,0
7488,0
∑
42,0
364,0
3528,0
36400,0
257,5
2002,0
18156,0
Δ″*H = Δ″
maxΔ″min
= -2,0 – (-7,5) = 5,5 < 2S
Если неразделенные и разделенные разности второго порядка тождественны, то для описания экспериментальных данных условно можно
принять полином второй степени или квадратичную параболическую
однофакторную модель (35).
Если дисперсии в опытах матрицы однородны, то коэффициенты
регрессии в уравнении (35) можно определить по методу наименьших
квадратов. Для рассматриваемой модели нормальные уравнения, полу-
2
{Y} = 2* 3,37 = 6,74.
(1)
ченные при условии
, имеют следующий вид:
(40)
Для расчета сумм, входящих в систему уравнений (40), составляем
табл. 14.
Таблица 14
Информация для расчета сумм, входящих в систему уравнений
35
018156364003528364
02002352836442
5257364427
210
210
210
, = b +b + b
,=b+b+b
, = b + b + b
.6)120(21)(21
0
maxmin
XXXX
u
Xu
X1u
X0u
u
Y
X
2
1u
u
uYX1
u
u
YX
2
1
X
4
1u
1 0 -3 1 0 9 0 0 81
2 2 -2 1 22,0 4 -44,0
88,0
16
3 4 -1 1 37,0 1 -37,0
37,0
1
4 6 0 1 45,0 0 0 0 0
5 8 1 1 49,5 1 49,5
49,5
1
6
10 2 1
52,0
4
104,0
208,0
16
7
12 3 1
52,0
9
156,0
468,0
81 ∑ 42 0 7
257,5
28
228,5
850,5
196
Подставляя полученные значения сумм в систему уравнений (40),
получаем:
(41)
Нахождение коэффициентов b0, b1 и b2 системы уравнений (41)
можно осуществить методом последовательного исключения неизвестных, а также матричным методом. Определение коэффициентов регрессии и статистических характеристик параметров уравнения упрощается, если в матрице планирования эксперимента используются кодированные значения факторов и опыты располагаются симметрично
относительно основного уровня факторов. Эти условия удовлетворяются в рассматриваемом примере. Матрица планирования для кодированных значений фактора Х представлена в табл. 15
Находим натуральное значение основного уровня фактора:
Матрица планирования для кодированных значений фактора Х
(42)
Таблица 15
36
N
u
uu
XX
1
10
0
;
11
1
2
1
1 1
2
10
1
4
10
u
N
u
u
N
u
N
u
u
u
u
N
u
u
YXX
B
YXX
B
b
;/
1
2
1
1
11
N
u
u
N
u
u
u
XYXb
;
1
1 1
0
2
1
1
2
12
N
u
N
u
u
uu
N
u
u
u
YXX
B
YX
B
N
b
.)(
2
1 1
2
1
4
1
N
u
N
u
uu
XXNB
Определяем интервал варьирования фактора по формуле:
IX = X
max
– X
/ N-1 = 12 – 0 / 7 – 1 = 2 (43)
min
Тогда кодированные значения уровней факторов определяют по
формулам:
X
= 1/1X(X1 – X0) = 1/2(0 – 6) = -3; X
1,1
= 1/1X(X2 – X0) = 1/2(2 – 6) = -2;
1,2
и т.д. (табл. 15)
Учитывая, что матрица планирования эксперимента (табл. 15) об-
ладает свойством ортогональности (
), то расчет коэффици-
ентов регрессии полинома второго порядка:
YR = b0 + b1x1 + b2x
2
(44)
1
можно осуществлять по следующим формулам:
(46)
(45)
где
Подставляя в данные формулы соответствующие значения сумм из
табл. 15, находим:
В =7 * 196 – 28 2 = 588;
b0 = 196/588 * 257,5 – 28/588 * 850,5 = 45,33;
b1 = 228,5/28 = 8,181;
b2 = 7/588 * 850,5 – 28/588 * 257,5 = -2,137.
(47)
(48)
37
;5,106
2
137,22
2
181,8
2
2
1
2
21
1
X
I
b
I
b
a
xx
;534,0
2
137,2
22
2
2
x
I
b
a
.554,16
2
137,2
6
2
181,8
33,45
2
2
2
1
2
2
1
1
00
X
I
b
X
I
b
ba
x
,)(}{}{
1
222
K
N
u
Ru
u
наднад
NNYYmYmSYS
u
X
Iu
u
Y
Y
Ru
)(
Ru
u
YY
2
)(
Ru
u
YY
1
-3 0 1,554
-1,554
2,415
2
-2
22,0
20,420
1,580
2,496
Уравнение 44 в кодированных значениях фактора Х1, имеет вид:
YR = 45,330 + 8,181X1 – 2,137X
2
. (49)
1
Для параболического уравнения переход от коэффициентов bi при
кодированных значениях фактора к коэффициентам ui при натуральных
значениях фактора осуществляется по формулам:
(51)
(50)
(52)
Тогда уравнение в натуральных значениях фактора Х1 имеет вид:
. YR = 1,554 + 10,5X1 – 0,534X
2
(53)
1
Для определения адекватности уравнения 19 по критерию Фишера
рассчитывают дисперсию неадекватности по формуле:
(54)
где NK — число коэффициентов в уравнении 49 или 53;
YRu — значение выходного параметра для u-го опыта, определяемое по
формуле 49.
Для нахождения дисперсии неадекватности составляем табл. 16.
Нахождение дисперсии неадекватности
38
Таблица 16
Окончание табл. 16
u
X
Iu
u
Y
Y
Ru
)(
Ru
u
YY
2
)(
Ru
u
YY
3
-1
37,0
35,012
1,988
3,952
4 0 45,0
45,330
-0,33
0,109
5 1 49,0
51,374
-1,874
3,512
6 2 52,0
53,144
-1,144
1,309
7 3 52,0
50,64
1,360
1,850
Σ
15,643
9108,3
37
643,15
2
YS
над
YS
YS
F
над
R
2
2
YS
2
7217,1
2714,2
9108,3
2
2
YS
YS
F
над
R
4372
K
над
NNSf
28471
2
mNYSf
7571,0
588
1962714,2
1
4
1
2
0
2
Nu
u
XYS
B
I
bS
Дисперсия неадекватности:
Расчетное значение критерия Фишера определяют по формуле:
,
где
— дисперсия среднего значения выходного параметра, опре-
деленная по формуле (37):
Табличное значение критерия Фишера (приложение 3) при условии, что РD = 0,95, число степеней свободы числителя.
; соответственно знаменателя
, равно 2,71. Так как FR =
= 1,7217<FT = 2,71, то гипотеза об адекватности полинома второго порядка экспериментальным данным не отвергается.
Далее находят дисперсии коэффициентов регрессии уравнения (49)
по формулам:
(55)
39
8701,00bS
0811,0
28
2714,3
/
1
2
1
2
1
2
Nu
u
XYSbS
2848,01bS
027,02714,2
588
7
2
11
2
YS
B
N
bS
1644,011bS
i
i
iR
bS
b
bt
0975,52
8701,0
330,45
0
bt
R
7254,28
2848,0
181,8
1
bt
R
9988,12
1644,0
137,2
11
bt
R
048,2281571;95,0
2
mNYSfPt
DT
TiR
tbt
(56)
(57)
.
Значимость коэффициентов регрессии проверяется по критерию
Стьюдента путем сравнения его расчетного и табличного значений.
Расчетное значение критерия Стьюдента определяется по формуле:
Расчетное значение критерия Стьюдента для каждого из коэффициентов:
Табличное значение критерия Стьюдента (приложение 3) равно:
Так как
, то коэффициенты регрессии b0 , b1 , b11 значимы
и, следовательно, связь между У и Х значима.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]