Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Планирование и организация эксперимента. Методические указания к практическим занятиям для студентов, обучающихся по направлению подготовки 221700 «Ст
.pdf
4. Вопросы для самоконтроля
1. Что считают полным факторным экспериментом?
2. Каким образом устанавливаются значения факторов на верхнем
уровне?
3. Каким образом устанавливаются значения факторов на нижнем
уровне?
4. При каких условиях признается значимость коэффициентов при
переменных в уравнении?
5. В каком случае признается адекватность математической
модели?
6. Рассчитать теоретические значения параметра оптимизации.
7. Проверить адекватность модели.
8. Выводы, рекомендации.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ
МНОГОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ (РМФМ) ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПО РЕЗУЛЬТАТАМ РОТАТАБЕЛЬНОГО ЦЕНТРАЛЬНОГО
КОМПОЗИЦИОННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА (РЦКЭ)
Цель работы: приобретение навыков по выполнению полино-
миального регрессионного многофакторного эксперимента, закрепление знаний, умений по обработке эксперимента.
1. Порядок работы
1. Изучить методику обработки результатов полиномиального ре-
грессионного многофакторного эксперимента.
2. Составить матрицу планирования полиномиального регрессионного многофакторного эксперимента, используя данные, выданные
преподавателем (табл. 31).
3. Выполнить обработку данных, установив коэффициенты уравнения и адекватность модели.
4. Составить отчет и выводы по занятию.
51
M
i
iii
M
i
M
ij
ji
jiijiiR
xbxxbxbbY
1
2
1 1
0
2. Методические указания по выполнению заданий
Эксперимент, проводимый по матрице и включающий три группы
опытов, которые расположены симметрично и на разном расстоянии от
центра эксперимента, называется ц е н т ра л ь н ы м к о м п оз и ц ио н н ы м э к с пе р и ме н т ом .
Данный вид эксперимента применяют, когда исследователь в результате длительных опытов нашел оптимальную область процесса или
работы объекта, т.е. достиг «почти стационарной» области функции
отклика; на завершающем этапе экстремального эксперимента, в котором используют метод крутого восхождения (или симплексный метод)
для достижения стационарной области функции отклика.
РЦКЭ проводится чаще всего с целью описания «почти стационарного» участка поверхности отклика. В этом случае адекватной
РМФМ является полином второго порядка:
(70)
В зависимости от принятого принципа оптимальности матрицы
ЦКЭ, т.е. от способа выбора величины, «звездного» плеча α и числа
опытов в центре эксперимента Nц,, центральный композиционный эксперимент бывает ротатабельный и ортогональный. Наибольшее распространение в практике исследований имеет ротатабельный ЦКЭ.
Матрицы РЦКЭ для трехфакторного процесса при α = 1,682.
Определение РМФМ на базе РЦКЭ разделяется на следующие
этапы:
проведение предварительного эксперимента;
планирование эксперимента: составление матрицы планирова-
ния и, если предполагается осуществление повторных опытов в точках
ядра и в «звездных» точках, составление плана рандомизации повторных опытов;
определение условий для проведения эксперимента;
52
Факторы
Уровни варьирования
I
i
-1,414
-1 0 +1
+1,414
X1 132
140
160
180
188
20
X2 152
160
180
200
208
20
u
x1 x2 x
1
2
x1x2 x
2
2
Yu Y
Ru (Yu-YRu
)
2
1
––
–– + + + 557,2
554,1
9,61
2 + +
–– + 520,0
523,4
11,56
3
–– + +
–– + 584,8
571,7
171,61
4 + + + + + 541,8
540,8
1,00
5
-1,414
0 2 0 0 574,8
582,9
65,61
6
+1,414
0 2 0 0 544,6
539,6
25,00
7 0 -1,414
0 0 2
524,8
521,4
11,56
8 0 +1,414
0 0 2
539,6
546,2
43,56
9 0 0 0 0 0 550,2
545,1
26,01
10 0 0 0 0 0 547,6
545,1
6,25
11 0 0 0 0 0 546,0
545,1
0,81
12 0 0 0 0 0 537,8
545,1
53,29
13 0 0 0 0 0 543,8
545,1
1,69
проведение опытов ядра матрицы (ПФЭ или ДФЭ) и обработка
результатов этих опытов по методике, изложенной в занятиях 4 и 5;
проведение опытов в «звездных» точках и в центре эксперимента, если
в предыдущем этапе показано, что РМФМ первого порядка является
неадекватной;
обработка результатов РЦКЭ; анализ полученной РМФМ.
Таблица 29
Исходные данные варьируемых факторов
Таблица 30
Матрица планирования ротатабельного центрального
композиционного эксперимента
53
YSgbS
2
10
2
YSgbS
i
2
3
2
YSgbS
ij
2
4
2
YSgbS
ii
2
7
2
2
1
22
1
1
Ц
N
u
ЦuЦ
Ц
Ц
YY
N
YSYS
i
i
iR
bS
b
bt
РЦКЭ проводят на пяти кодированных уровнях (-α, -1, 0, +1, +α),
поэтому интервал варьирования факторов должен быть таким, чтобы
диапазон изменения его охватывал стационарную область факторного
пространства; интервал варьирования факторов при описании стационарной области должен быть меньшим, чем при описании других локальных участков исследуемого факторного пространства.
Определяем дисперсию выходного параметра в эксперименте или
дисперсии воспроизводимости по формулам (71…72):
(71)
(72)
(73)
(74)
,
где Nц=5
S2{Y} = S
Значения коэффициентов g
2
{Y} = 88,05/5-1 = 22,01.
ц
принимаем [12] при М=2: g1=0,2000,
i
g2=0,1000, g3=0,1250, g4=0,2500, g5=0,1251, g6=0,0187, g7=0,1438.
Дисперсии коэффициентов регрессии рассчитаны по формулам
(71) — (74):
S2{b0} =0,2*22,01=4,4; S{b0}=2,1;
S2{bi} =0,125*22,01=2,75; S {bi} = 1,66;
S2{bij} =0,25*22,01 =5,5; S {bij} =2,34;
S2{bii} =0,1438*22,01 =3,15; S {bii} = 1,78.
Расчетные значения критерия Стьюдента находим по формуле:
54
;
1 1
2
1
1
10
MiN
u
uiu
N
u
u
YxgYgb
;
1
3
N
u
uiui
Yxgb
;
1
4
N
u
ujuiuij
Yxxgb
,
1
2
1 1
2
6
1
2
5
N
u
u
MiN
u
uiu
N
u
uiuii
YgYxgYxgb
uu
YY
,
)1(
.
0
2
цзнк
u
над
NNN
YSSYSS
YS
N
u
uRu
YYYSS
1
2
0
)(
ц
N
u
uцuu
YYYSS
1
2
)(
цu
Y
Ru
Y
к.зн
N
Коэффициенты bi рассчитываются по формулам:
в которых принимаем
.
tR{b0} = 5,45*15/2,1 = 260; tR{b1} = 15,36/1,66 = 9,25;
tR{b2} = 8,79/1,66 = 5,3; tR{b12} = 1,45/2,34 = 0,62;
tR{b11} = 8,06/1,78 = 4,53; tR{b22} = 5,68/1,78 = 3,19.
Табличное значение критерия Стьюдента находим
по приложению 2:
tT[pD = 0,95; f{S
2
} = 5–1 = 4] = 2,78.
ц
Все коэффициенты регрессии значимы, так как tR > tT, исключая
коэффициент взаимодействия b12. Следовательно, взаимосвязь между
прочностью крученой пряжи, коэффициентами крутки пряжи и крученой пряжи имеет вид:
YR = 545,15 — 15,36х1 + 8,79х2 + 8,06x
2
— 5,68 x
1
2
(75)
2
Для проверки адекватности полученной РМФМ второго порядка
определяем дисперсию неадекватности по формуле [12]:
где
в точках центра эксперимента;
по уравнению 72;
,
,
— значения показателей
— значения функции, рассчитанные
— количество значимых коэффициентов.
55
,
2
2
YS
YS
F
над
R
2
S
{Y} = (427,56-88,05)/13-5-5-1 = 84,88
над
и расчетное значение критерия Фишера по формуле:
FR = 84,88/22,01 = 3,86.
Табличное значение критерия Фишера находим по приложению 3:
FT[pD = 0,95; f{S
2
{Y}} = 13-5-5-1 = 4; f{S
над
2
} = 5-1 = 4] = 6,4.
ц
Так как FR = 3,86< FT = 6,4, то гипотеза об адекватности полученной РМФМ не отвергается.
Для частных случаев двухфакторной регрессионной модели можно
дать геометрическую интерпретацию, представив ее в декартовых координатах и тем самым облегчив ее анализ.
3. Варианты заданий
Таблица 31
Таблица для составления матрицы планирования полиномиального
регрессионного многофакторного эксперимента
56
i
b
21
1012851 xxY
R
4. Вопросы для самоконтроля
1. Что считают дробным факторным экспериментом?
2. Каким образом устанавливаются значения факторов на каждом
уровне?
3. Каким образом устанавливается количество уровней варьирова-
ния факторов?
4. При каких условиях признается значимость коэффициентов при
переменных в уравнении?
5. Каким образом устанавливаются значения коэффициентов урав-
нения?
6. В каком случае признается адекватность математической
модели?
7. Каким образом проверяется адекватность модели?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7.
ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ
Цель работы: приобретение навыков по выполнению экспериментов крутого восхождения.
1. Порядок работы
1. Изучить методику планирования и проведения экспериментов
крутого восхождения.
2. Выполняя основные пункты методики, произвести основные
расчеты интервала и расчетных значений выходного параметра.
3. Заполнить определение значений выходного параметра в u-х
опытах крутого восхождения.
4. Выполнить расчеты выходного параметра до достижения случая,
когда в опыте происходит уменьшение выходного параметра и, следовательно, дальнейшее крутое восхождение будет неэффективно.
5. Составить отчет и выводы по занятию.
2. Методические указания по выполнению заданий
2.1. В табл. 32 записывают
модели, полученной по данной серии опытов в ПФЭ с центром в точке
А
(рис. 3). Вариант линейной модели может быть взят по результатам
0
выполнения практического занятия № 5. После проверки воспроизводимости опытов, значимости коэффициентов регрессии и адекватности
модели (для рассматриваемого варианта), последняя имеет вид:
.
— коэффициенты регрессии линейной
57
'
i
I
'
ii
Ib
1
Х
0
b
)1(
1
)1(
6 кв
II
)1(
1
I
)10(
)1(
1
)1(
6
II
,1
250
)1(
1
)1(
6
квII
)1(
6
)1(
i
i
квi
l
b
b
I
i
b
208.25.2
12
10
1
)1(
2
кв
I
Таблица 32
Уровни факторов
2.2. В табл. 32 записывают
ров в указанных опытах и вычисляют произведения
— интервалы варьирования факто-
. Фактор
имеющий максимальное произведение 250, принимают за базовый с
коэффициентом
2.3. Для базового фактора выбирают
.
интервал (шаг) ва-
рьирования при первом крутом восхождения, оставляя его равным
в опытах ПФЭ или ДФЭ или принимая меньшим,
т.е.
т.е.
. В рассматриваемом примере принято
.
2.4. Вычисляют шаги варьирования при крутом восхождении для
других факторов по формуле
, где
берут со своим
знаком. Для второго фактора этот шаг равен:
.
58
,
)1(
квi
I
,5250
01
Х
,160
02
Х
851
00
bY
R
x2
x1
I
II
III
IV
0
x2
x1
А0
А0
А0
А0
А0=A1
2
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
31
41
11
21
II
II
III
IV
А1 =A2
А1
А1
А1
42
22
12
Y6
32
V
А1
1
4
3
)1(
0 квiiiu
uIXX
1u
;550025015250
1,1
X
При необходимости численные значения
округляют.
2.5. В табл. 32 записывают основные уровни факторов
соответствующие центру первой серии ПФЭ, в котором вы-
ходной параметр имеет расчетное значение
.
Рис. 3. Геометрическая интерпретация метода крутого восхождения
для двухфакторного эксперимента
получаем:
2.6. Рассчитывают уровни факторов в опытах крутого восхождения, т.е. координаты u-й точки в первой серии ЭКВ для i-го фактора по
формуле:
Для
(76)
59
;16221160
1,2
X
7...31 mu
квRu
Y
M
i
i
iiu
iRu
l
XX
bbY
1
)1(
0
0
)(
iu
X
)1(
1
)1(
0
)1(
квi
M
i
i
i
Ru
I
l
b
bY
.)1(
0
1
)1()1(
buuYY
квRквRu
;871)
5.2
2
10
250
250
12(1851,1
1
)1(
квR
Yu
;891851)12(8712,2
2
)1(
квR
Yu
911851)13(8713,3
3
)1(
квR
Yu
квЭu
Y
квRu
Y
6250
0,1
X
168
0,2
X
929
квЭu
Y
Аналогично рассчитывают координаты для других u-х опытов
(
).
2.7. Значения
— выходного параметра в u-м опыте крутого
восхождения можно рассчитать, если в ранее найденную преобразованную модель
подставить
уровни i-го
фактора в u-м опыте ЭКВ, или использовать формулы:
или
В рассматриваемом примере получаем:
для
-
-
и т.д.
2.8. Некоторые из опытов ЭКВ (обычно через каждые 2––3 опыта)
реализуют, чтобы проверить соответствие аппроксимации процесса
найденной моделью. Экспериментальное значения
сравнивают с
предсказываемыми —
.
В пятом опыте получилось уменьшение выходного параметра и,
следовательно, дальнейшее крутое восхождение неэффективно.
2.9. Вторая серия опытов ПФЭ в новом центре А1 (рис. 3) с координатами
значению выходного параметра
и
, которые соответствуют наилучшему
, показала, что линейная мо-
дель неадекватна и необходимо проводить РКЦЭ или D-оптимальные
эксперименты.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]