Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Планирование и организация эксперимента. Методические указания к практическим занятиям для студентов, обучающихся по направлению подготовки 221700 «Ст
.pdf
);(10XXddy
R
.1
1
N
u
u
XNX
3006,0
N
u
Ruu
minyY
1
2
)(
yR = a0 + aIx (14)
или
где
(15)
(16)
В приведенном примере интервал варьирования факторов постоянный и равен IХ - 2,02 - 1,94= 2,18 - 2,10- 2,26 - 2,18 = 2,34 - 2,26= 0.08,
поэтому определяем неразделенные разности первого порядка по формуле (3.10):
Δ'H1 = 5,17 – 4,67 = 0,50; Δ'H2 = 4,75- 5,17 = -0,42;
Δ'H3 = 5,20 – 4,75 = 0,45; Δ'H4 = 5,21 – 5,20 = 0,01;
Δ'H5 = 5,48 – 5,20 = 0,28.
В виду малого различия неразделенных разностей первого порядка
выходного показателя ΔН* = 0,50 - (-0,42) = 0,92, не превышающего
удвоенной величины среднеквадратической ошибки выходного показателя 2S
принимаем уравнение прямой линии, т.е. S
{Y} = 1,096, для описания экспериментальных данных условно
(I)
{Y} =
(I)
= 0,5483.
Для расчета коэффициентов уравнения математической модели целесообразно использовать уравнение (15), т.к. в этом случае коэффициенты регрессии d0 и d1 не коррелированны и являются оценками истинных коэффициентов регрессии δ0 и δ1.
6. Определение коэффициентов уравнения регрессии.
Определение коэффициентов регрессии уравнения (15) осуществляют по методу наименьших квадратов. При этом должно соблюдаться
условие, что дисперсии выходного показателя для каждого уровня фактора однородны.
Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, что
коэффициенты d0 и d1 находят из условия минимальности суммы квадратов отклонений ординат прямой Yu от соответствующих ординат YRU
регрессии, т.е.:
(17)
21
N
u
N
u
N
u
uuuu
N
u
u
N
u
u
YXXXXdXXd
YXXdd
1 1 1
2
10
11
10
.)()()(
;)(
14,2
6
)34,226,218,21,202,294,1(
)(
1
N
X
X
N
u
u
N
u
u
XX
1
0)(
N
u
u
N
Y
YNd
1
0
;1
.)()(
1
2
1
1
N
u
u
N
u
u
u
XXXXXd
U
Xu
Xu -X
(Xu-X)
2
Y
u
(Xu-X)
Y
u
1
1,94
-0,20
0,0400
4,67
-0,9340
2
2,02
-0,12
0,0144
5,17
-0,6204
3
2,10
-0,04
0,0016
4,74
-0,1896
4
2,18
0,04
0,0016
5,20
0,2080
5
2,26
0,12
0,0144
5,21
0,6252
6
2,34
0,20
0,0400
5,48
1,096
Nu 1
12,96
0
0,1120
30,49
0,2312
Исходя из условия (17), находят следующие нормальные уравнения
для определения коэффициентов регрессии d0 и d1:
где
Учитывая, что
, получим:
(19)
(18)
(20)
Для определения коэффициентов d0 и d1 по формулам (18) и (19)
значения необходимых сумм сводим в табл. 5.
Значения сумм для определения коэффициентов d0 и d1
Таблица 5
22
;08,5649,30
0
N
Y
d
)(XfY
,)(
1
22
ад
N
u
Ru
uад
fyYmYS
Коэффициенты d0 и d
Таким образом, искомое уравнение имеет вид:
находим по формулам (19) и (20):
1
d1 = 0,1852/0,1120 = 1,654.
= 5,08 + 1,654(X - 2,14) или YR = 1,54 + 1,654*Х (21)
R
7. Определение адекватности полученного уравнения
Возможность аппроксимации экспериментальных данных полу-
ченным уравнением (21), т.е. адекватность полученного уравнения,
проверяют по критерию Фишера. Расчетное значение критерия определяют по формуле:
FR = S
где S
2
{Y} — дисперсия адекватности, или дисперсия, характеризую-
ад
2
ад
{Y}/S
2
{Y}, (22)
(1)
щая рассеивание средних экспериментальных значений относительно
значений, полученных по уравнению (21), т.е. расчетных значений YR.
2
S
{Y} — средняя дисперсия, или дисперсия воспроизводимости,
(1)
определяемая по формуле (9).
Дисперсия адекватности характеризует точность аппроксимации
зависимости
прямой линией и определяется по
формуле:
(23)
где f ад — число степеней свободы дисперсии адекватности, определяется выражением f
= N – P;
ад
Р — число значимых коэффициентов уравнения регрессии. Для
линейного уравнения Р=2.
23
U
Хu
u
Y
Ru
Y
Ru
u
yY
2
)(
Ru
u
yY
1
1,94
4,67
4,95
-0,082
0,0067
2
2,02
5,17
4,81
0,292
0,0085
3
2,10
4,74
4,98
-0,265
0,0703
4
2,18
5,20
5,14
0,059
0,0035
5
2,26
5,21
5,31
-0,068
0,0046
6
2,34
5,48
5,47
0,073
0,0053
Nu 1
0,1759
Расчетное значение критерия Фишера FR сравнивают с табличным
(см. приложение 3) FT, при доверительной вероятности РД = 0,95 и числе степеней свободы f{S
положение) об адекватности принятого варианта уравнения экспериментальным данным не отвергается.
Для рассматриваемого примера расчет суммы в уравнении (23)
представлен в табл. 6.
2
} и f{S
ад
2
}. Если FR < FT, то гипотеза (пред-
(1)
Расчет суммы в уравнении
Таблица 6
сий, т.е.:
В соответствии с данными табл. 6 имеем:
2
S
{Y} = 6/6-2 * 0,1759 = 0,2638.
ад
Подставляя найденные дисперсии в формулу (22), получаем:
FR = 0,2638/0,3006 < 1.
Если FR < 1, то определяют обратную величину отношения диспер-
FR = S
2
(1)
{Y}/ S
2
{Y} = 0,3006/0,2638 = 1,13938.
ад
24
;}{*}{
22
0
2
}0{
NYSNmYSS
d
N
u
N
u
uud
XXYSXXmYSS
1 1
2222
0
2
}1{
.}(}{)(}{
}{
2
0
YS
,}{)2(}{)1(}{
0
22
)1(
2
0
fYSNYSmNYS
ад
Полученное значение сравнивают с табличным (приложение 3), ко-
торое равно:
FT[PД = 0,95; f{S
2
}=30; f{S
1
2
}=4] = 5,75.
ад
Имеем: FR = 1,13938< FT = 5,75, поэтому гипотеза об адекватности
линейной модели не отвергается.
8. Определение значимости коэффициентов регрессии и их до-
верительных интервалов.
Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивается с
помощью критерия Стьюдента. Расчетное значение критерия Стьюдента определяется по формуле:
t
где S
— оценка среднего квадратического отклонения коэффициента
{di}
R{di}
= di/S
, (24)
{di}
регрессии di.
Оценки дисперсий коэффициентов регрессии d0 и di уравнения (15)
рассчитываются по формулам:
(25)
(26)
где
— остаточная дисперсия, характеризующая степень рассеи-
вания экспериментальных индивидуальных значений относительно
расчетных.
Эта дисперсия определяется по формуле:
(27)
где f0 — число степеней свободы остаточной дисперсии,
f0 = f
+ f
(1)
= N(m-1) + N-2 = Nm-2 (28)
ад
25
.2963,0)26*6/(0,2638*)26(3006,0*)16(6}{
2
0
YS
;0082,06*62963,0
2
}0{d
S
.4409,01120,0*6/2963,0
2
}1{d
S
;0905,0
}0{d
S
.664,0
}1{d
S
Учитывая, что Nm = n, для линейного уравнения можно написать:
f0 = n – 2
Для рассматриваемого примера имеем:
Определяем дисперсии коэффициентов регрессии по формулам
(25) и (26):
Находим оценки среднего квадратического отклонения коэффици-
ентов регрессии:
Определяем расчетные значения критерия Стьюдента по
формуле (25):
t
=5,08/0,0905=56,13;
R{d0}
t
=1,654/0,664=2,49.
R{d1}
Табличное значение критерия Стьюдента находим по приложению
2 при доверительной вероятности Рд=0,95 и числе степеней свободы
остаточной дисперсии (26) f0 = Nm-2 = 6*6-2 = 34.
Таким образом, tT[Рд=0.95; f0=34] = 2,32. Так как t
> tT=2,32 и t
> tT=2,32, то найденные коэффициенты уравнения ре-
R{d1}
R{d0}
=56,13>
грессии значимы и связь между y и x значима.
26
11
00
111
000
dd
dd
dd
dd
2
1
2
0
2
)}({}{ XXdSdSyS
uRum
Доверительные абсолютные ошибки коэффициентов регрессии
рассчитываются по формуле:
{di}
=
* tT[Рд; f0] (29)
{di}
В рассматриваемом примере абсолютные доверительные ошибки
равны:
=0,0905*2,32=0,2099;
{d0}
=0,664*2,32=1,54.
{d1}
Доверительные интервалы для истинных значений δ0 и δ1 коэффи-
циентов регрессии d0 и d1 определяются неравенством:
(30)
или 5,08-0,2099 = 4,8701 ≤ δ0 ≤ 5,08+0,2099 = 5,2899
1,654-1,54 = 0,114 ≤ δ1 ≤ 1,654+1,54 = 3,194.
9. Определение доверительных интервалов средних значений
выходного показателя при фиксированном значении фактора
Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выход-
ного показателя yRu от истинного его значения при каждом уровне фактора Хu, определяем доверительные ошибки ε{yRu} расчетного значения
выходного показателя и доверительные интервалы среднего значения
выходного показателя.
Доверительные ошибки расчетных значений выходного показателя
для каждого уровня фактора рассчитываем по формуле:
ε
где Sm{yRu} — оценка среднего квадратического отклонения расчетного
значения выходного показателя y
емая по формуле:
} = Sm{yRu}tT[pD; f{S2}], (31)
m{yRu
для каждого значения Х
Ru
, определя-
u
(32)
27
xYyyhyyxY
mRRumRuRmRu
u
mR
0
0
0
YmR(Х)
Y
YR(Х)
YmR(Х)
U
Х
В рассматриваемом примере табличное значение критерия Стью-
дента (см. приложение 2) равно tT [pD = 0,95; f{S2} = mN – 2 = 34 =
= 2,042. Подставляя это значение в формулу (31), получаем:
εm{yRu} = 2,042*Sm{yRu}.
В табл. 7 приведены полученные значения S
{yRu} для каждого уровня фактора. Зная ошибки расчетной величины,
можно найти доверительные интервалы:
2
}, Sm{yRu} и εm
m{yRu
(33)
Рис. 1. Линейная регрессионная однофакторная модель
и ее доверительные интервалы
28
u
Xu
2
)( XXu
S
2
m{yRu
}
Sm{yRu}
ε
m
{y
Ru
}
yRu
Y
(u)
mR
(X)
Y
(0)
mR
(X)
1
1,94
0,026
0,3282
0,0258
0,328
4,748
4,420
5,076
2
2,02
0,08
0,2463
0,0145
0,246
4,881
4,634
5,127
3
2,10
0,0
0,1927
0,0089
0,192
5,013
4,820
5,206
4
2,18
0,049
0,1927
0,0089
0,192
5,145
4,953
5,338
5
2,26
0,026
0,2463
0,0145
0,246
5,278
5,031
5,524
6
2,34
0,098
0,3282
0,0258
0,328
5,410
5,082
5,738
Xu
U
Yuυ
m
u
Y
1
u
Y
S
u
2
{Y}
1 2 3 4 5
6
1,94
1
4,01
4,21
4,09
5,4
4,65
4,85
2,01
2
4,95
4,41
4,45
4,75
4,90
5,56
2,18
3
4,78
4,40
4,58
4,78
5,52
5,28
2,25
4
5,35
5,66
5,84
5,70
4,60
4,86
2,32
5
5,70
5,30
4,78
4,98
5,79
5,25
2,39
6
6,30
5,96
4,82
4,94
5,56
6,27 ∑
Xu U
Yuυ
m
u
Y
1
u
Y
S
u
2
{Y}
1 2 3 4 5
6
1,95
1
4,02
4,31
5,3
5,5
4,7
4,9
2,02
2
4,90
4,01
4,83
4,85
4,90
5,76
2,09
3
4,37
4,20
4,88
4,56
5,80
5,18
2,16
4
5,30
5,56
5,54
5,75
4,60
4,96
2,23
5
5,70
5,10
4,68
4,88
5,69
5,20
2,30
6
6,30
5,90
4,62
4,84
5,56
5,20 ∑
Таблица 7
Результаты обработки данных эксперимента
3. Варианты заданий
Таблица 8
Вариант № 1
Таблица 9
Вариант № 2
29
Xu
U
Yuυ
m
u
Y
1
u
Y
S
u
2
{Y}
1 2 3 4 5
6
1,90 1 4,00
4,41
4,92
5,43
4,60
4,81
2,05 2 4,85
4,41
4,85
4,75
4,80
5,56
2,20 3 4,70
4,40
4,78
4,76
5,50
5,28
2,35 4 5,15
5,66
5,74
5,70
4,60
4,86
2,50 5 5,75
5,35
4,89
4,99
5,79
5,25 2,65 6 6,30
5,96
4,82
5,14
5,56
5,27 ∑
Xu
U
Yuυ
m
u
Y
1
u
Y
S
u
2
{Y}
1 2 3 4 5
6
1,92 1 4,00
4,41
4,92
5,43
4,60
4,81
2,01 2 4,85
4,41
4,85
4,75
4,80
5,56
2,10 3 4,70
4,40
4,78
4,76
5,50
5,28
2,19 4 5,15
5,66
5,74
5,70
4,60
4,86
2,28 5 5,75
5,35
4,89
4,99
5,79
5,25
2,37 6 6,30
5,96
4,82
5,14
5,56
5,27
∑
Xu
U
Yuυ
m
u
Y
1
u
Y
S
u
2
{Y}
1 2 3 4 5
6
1,80 1 3,90
4,21
4,82
5,13
4,60
4,80
2,00 2 4,85
4,41
4,85
4,75
4,80
5,16
2,20 3 4,70
4,40
4,78
4,76
5,50
5,28
2,40 4 5,15
5,66
5,74
5,60
4,60
4,96
2,60 5 5,75
5,35
4,89
5,19
5,79
5,35
2,80 6 6,35
5,99
4,82
5,24
5,66
5,37 ∑
Таблица 10
Вариант № 3
Таблица 11
Вариант № 4
Таблица 12
Вариант № 5
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]