Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Перемещения в балках и рамах при прямом изгибе в тестах. Учебное пособие
.pdf
А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова
q
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
В БАЛКАХ И РАМАХ
ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ
В ТЕСТАХ
Учебное пособие
ТЕХНИЧЕСКАЯ
0
ISBN 978-5-7264-3457-5
ϕ
v
0
( )
Москва 2024
x
x
© ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2024
© Оформление. ООО Компания
«Ай Пи Ар Медиа», 2024
УДК 539.3
ББК 30.121
И49
доктор физико-математических наук, профессор С.В. Кузнецов,
ведущий научный сотрудник Института проблем механики РАН;
действительный член РААСН, доктор технических наук, профессор В.И. Андреев,
Ильяшенко, А.В.
И49 Перемещения в балках и рамах при прямом изгибе в тестах [Электронный ресурс] : учебное
собие / А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова ; Министерство науки и высшего образования Российской
по
Федерации, Национальный исследовательский Московский государственный строительный
университет. — Электрон. дан. и прогр. (5 Мб). — Москва : Издательство МИСИ – МГСУ, 2024. —
URL: http://www.iprbookshop.ru/. — Режим доступа : для зарегистрированных пользователей. — Загл. с
титул. экрана.
заведующий кафедрой сопротивления материалов НИУ МГСУ
Р е ц е н з е н т ы :
ISBN 978-5-7264-3457-5
Содержится теоретический материал по теме «Определение перемещений в балках и рамах
при прямом изгибе», изучаемой в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Техническая
механика». Рассмотрены различные типы задач, даны подробные комментарии к решениям.
Приведены тестовые примеры, сформулированные в соответствии с общими требованиями для
тестовых заданий базового уровня.
Для обучающихся бакалавриата и специалитета по направлениям подготовки «Строительство», «Прикладная механика», «Строительство уникальных зданий и сооружений», изучающих дисциплины «Техническая механика» и «Сопротивление материалов».
Учебное электронное издание
© ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2024
© Оформление. ООО Компания
«Ай Пи Ар Медиа», 2024
Учебное электронное издание
Ильяшенко А.В., Астахова А.Я.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ И РАМАХ
ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ В ТЕСТАХ
Учебное пособие
Редактор Е.А. Копылова
Технический редактор А.В. Кузнецова
Корректор Ю.С. Кулик
Компьютерная правка и верстка С.С. Сизиумовой
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2010, Adobe InDesign CS5.5, ПО Adobe Acrobat
Объем данных 5 Мб.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Национальный исследовательский Московский
государственный строительный университет».
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ.
Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.................................................................................................... 5
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМУЛЫ .................................................................... 6
РАЗДЕЛ 1. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ .......................... 23
РАЗДЕЛ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
И РАМАХ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ МЕТОДОМ МОРА ..................... 39
РАЗДЕЛ 3. РАСЧЁТ БАЛОК НА ЖЁСТКОСТЬ .................................... 73
Библиографический список ...................................................................83
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие позволяет студентам проверить и расширить свои
знания и развить навыки в освоении теоретического и практического
материала по теме «Определение перемещений в балках и рамах при
прямом изгибе».
С помощью представленных тестов можно подготовиться к контрольной работе и прохождению тестирования по расчѐтнографической работе «Определение перемещений в балках и рамах при
прямом изгибе».
Задания сгруппированы по трѐм разделам. Каждый тест снабжѐн
комментируемым ответом, что позволяет учащемуся контролировать
уровень своей подготовки в режиме самотестирования.
К каждому тесту (заданию) предлагается пять вариантов ответа.
Все ответы помечены символами ○ или □.
Символом ○ (кружком) обозначены ответы, из которых только
один является правильным, а символом □ (квадратом) — ответы, из которых несколько (но не более четырѐх) являются правильными. Таким
образом, тестируемому даѐтся некоторая подсказка, в целом упрощающая задание.
В следующем за ответами комментарии содержится решение поставленной в тесте задачи и краткие сведения по соответствующему
теоретическому материалу. В конце каждого теста предлагается пра-
вильный ответ.
При прохождении реального аудиторного тестирования на кафедре
сопротивления материалов действуют такие же принципы. Студент
должен ответить на пять вопросов, включающих три задачи и два теоретических задания. Время тестирования — 15 мин. Для получения
удовлетворительной оценки необходимо правильно ответить на три
вопроса из пяти предложенных.
Авторы выражают особую благодарность профессору кафедры
сопротивления материалов МИСИ-МГСУ А.Н. Леонтьеву за ценные
советы и замечания.
5
ВВЕДЕНИЕ.
P
q
φ
C
y
x
0
υ
C
C
1
u
υ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМУЛЫ
Рассмотрим расчет жестких балок (рис. 1), для которых по нормам
проектирования отношение наибольшего прогиба к пролету балки из-
меняется в пределах .
Рис. 1
Вследствие установленных столь малых прогибов жестких балок,
пренебрегают горизонтальной составляющей u полного перемещения
точки оси балки СС
ние, плоское до деформации, остается плоским после деформации. Поперечное сечение балки при изгибе поворачивается на угол φ (рис. 3),
равный углу между горизонталью и касательной, проведенной к изогнутой оси балки в рассматриваемой точке.
(рис. 2). Гипотеза плоских сечений гласит: сече-
1
Рис. 2
Рис. 3
6
Положение любой точки изогнутой оси балки принято характери-
y
x
+
_
0
υ
υ
зовать вертикальной составляющей полного перемещения υ и углом
поворота сечения φ (рис. 1).
Правила знаков для прогиба υ (рис. 4) и угла поворота сечения
φ (рис. 5, а, б) установлены в соответствии с выбранным направлением
осей координат Ox, Oy.
Для υ
Рис. 4
Для φ
Рис. 5
Координаты х любой точки балки имеют положительное значение
при расположении начала координат в крайней точке оси. Если начало
координат расположено в крайней левой точке оси, то правила знаков
для υ и φ соответствуют направлениям, обозначенным на рис. 4 и рис. 5, а.
При расположении начала координат в крайней правой точке оси балки
ось x направляется влево. Тогда правило знаков для υ остается прежним
(рис. 4). В результате решения положительный угол поворота сечения
будет соответствовать отклонению касательной от горизонтальной оси
против хода часовой стрелки (рис. 5, б).
При изгибе балки значение прогиба υ и угла поворота поперечного
сечения φ можно определить из решения дифференциального уравнения 2-го порядка (1) или из решения дифференциального уравнения 4-го
порядка (2):
, (1)
. (2)
7
Метод непосредственного интегрирования
1
2
3
P
q
y
x
l
l
1
2
R
R
A
B
M
l
l
3
4
4
0
Проинтегрируем последовательно дифференциальное уравнение 2-го
порядка (1). Получим выражения для определения угла поворота сечения (3) и прогиба балки (4), содержащие две константы интегрирования
С
и С2:
1
, (3)
. (4)
На основании формулы (4) функция прогибов υ(x) зависит от
функции изгибающего момента M(x). Балку разделяют на участки. Границами между ними являются опоры, промежуточные шарниры или
точки приложения нагрузок. Переменная x отсчитывается от начала
координат. На каждом участке функция изгибающего момента имеет
разное выражение. Поэтому на каждом участке получаем по две неизвестные константы интегрирования.
Отсюда следует, что при определении прогиба в балке требуется
найти 2n констант интегрирования (n — число участков интегрирования). В примере, представленном на рис. 6, потребуется вычислить 8
констант интегрирования.
Неизвестные константы интегрирования определяются из граничных условий и условий сопряжения участков.
Рис. 6
Граничные условия
В заданной для расчета конструкции отмечаются точки, в которых
известны значения искомых функций. К таким точкам относятся места
опирания конструкции, свободный край. Известные значения искомых
функций в определенных точках конструкции принимаются в качестве
граничных условий.
8
Граничные условия разделяются на три типа:
Жесткое
защемление
Свободный
край
Шарнирно-
неподвижная
опора
Шарнирноподвижная
опора
При x = 0
При x = l
При x = 0
При x = l
1) φ = 0;
1) M = 0;
1) M = 0;
1) M = 0;
2) υ = 0;
2) Q = 0.
2) υ= 0;
2) υ = 0.
3) u = 0.
3) u = 0.
P
y
x
l
0
P
q
y
x
l
0
1) статические (известны внутренние усилия M, Q);
2) кинематические (известны перемещения );
3) смешанного типа (могут быть известны M, Q ).
Запишем граничные условия в следующих балках.
Консольная балка Шарнирно-опертая балка
Жесткое защемление характеризуется тем, что точка закреплена
от перемещения как в вертикальном направлении υ = 0, так и в горизонтальном u = 0. При этом невозможен угол поворота сечения φ = 0
(рис. 7).
На свободном краю, если он не нагружен, изгибающий момент и
поперечная сила равны нулю (рис. 7).
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 8) препятствует перемеще-
нию точки в вертикальном υ = 0 и в горизонтальном u = 0 направлениях. Изгибающий момент в шарнире равен нулю.
Шарнирно-подвижная опора препятствует перемещению точки
только в одном направлении, в данном случае — только в вертикальном υ = 0, изгибающий момент в шарнире также равен нулю (рис. 8).
Рис. 7 Рис. 8
9
M
P
P
y
x
l
l
l
l
1
2
1
2
1
0
1
2
3
4
4
3
При
x = 0
При
При
При
При
1)
1)
1)
1)
2) Q = 0
2) υ = 0
2)
2)
3) u = 0
Шарнирно-опертая балка с консолями
Рис. 9
В шарнирно-опертой балке с консолями (рис. 9) левый свобод-
ный край x = 0 нагружен сосредоточенным моментом, растягивающим
верхние волокна балки, поэтому . При этом поперечная сила
равна нулю: Q = 0.
На шарнирно-неподвижной опоре в пролете при известны
значение изгибающего момента от нагрузки на консоли и
значения вертикального, горизонтального перемещений υ = 0, u = 0.
При под точкой приложения силы можно поставить условия,
которые являются условиями сопряжений участков. Их используют
при определении прогибов методом непосредственного интегрирования. Условия сопряжения участков выражаются в равенстве прогибов и
углов поворота сечений в данной точке, одновременно принадлежащей
двум соседним участкам, т.е.
На шарнирно-подвижной опоре в пролете при известны
значение изгибающего момента от нагрузки на консоли
и значение вертикального перемещения υ = 0.
Правый свободный край при нагружен сосредоточенной силой, поэтому изгибающий момент в сечении равен нулю, а значение
поперечной силы равно P.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]