Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Перемещения в балках и рамах при прямом изгибе в тестах. Учебное пособие
.pdf
∆ со знаком «минус» в результате расчета означает, что перемеще-
M
P
M
l
a
b
c
d
ние направлено в сторону, противоположную действию приложенного
единичного усилия.
Вычисление интеграла от произведения двух функций, одна из которых имеет произвольное изменение по длине, предлагается выполнять по правилу А.К. Верещагина. Интеграл от произведения криволинейной функции на линейную равен произведению площади
эпюры (ω) на ординату y из эпюры , расположенную под центром
тяжести площади ω.
Правило А.К. Верещагина применяется для участка, на котором
обе функции , ) гладкие и непрерывные. Эпюру , на некотором
участке изменяющуюся по параболе, принято разделять на простые
элементы: при выделении чистой параболы образуется еще и линейная
функция.
Площадь чистой параболы равна: , ее центр тяжести расположен в середине пролета l.
Произведение двух линейных функций (рис. 19) вычисляется по
формуле трапеций (32):
(32)
Рис. 19
Произведение (ω × ) принимается со знаком «плюс», если обе
эпюры, и расположены с одной стороны от горизонтальной оси,
и со знаком «минус», если эпюры расположены по разные стороны от
горизонтальной оси.
Пример определения прогиба в точке A (рис. 20) с использованием
правила А.К. Верещагина.
Для определения вертикального перемещения в точке A от заданной нагрузки построим эпюру изгибающих моментов . К заданной
балке прикладываем единичную силу в точку A в направлении искомо-
21
го перемещения. От ее действия строим эпюру изгибающих моментов .
PM=
=
=
=
1
υ
P
M
l
l
l
q
4 кН
кН
кН
м
м
м
м
/
/
/
3
3
M
5
5
13
y
ω
2
2
Α
C
A
Для вычисления прогиба с помощью интеграла Мора (33) сложную
эпюру , ограниченную параболой, разделяем на две фигуры. Соединяя прямой крайние точки параболы, получаем чистую параболу и линейную функцию. Далее, по правилу А.К. Верещагина площадь пара-
болы ( умножаем на ординату (y = 1,5) из линейной
функции , которая расположена под центром тяжести площади ω. Затем линейную функцию эпюры умножаем на линейную функцию
эпюры (треугольник) по формуле трапеций (32):
(33)
Знак «плюс» в результате означает, что перемещение точки А
совпадает с направлением действия приложенной единичной силы, т.е.
направлено вниз.
Рис. 20
22
РАЗДЕЛ 1. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
ТЕСТ 1.1
Изогнутая ось балки характеризуется функциями:
□ 1) поперечных сил;
□ 2) прогибов;
□ 3) жесткости балки при изгибе;
□ 4) углов поворота сечений;
□ 5) изгибающих моментов.
К о м м е н т а р и й:
По значениям прогибов и углов поворота поперечных сечений
можно изобразить характер изогнутой оси балки. Важно знать значения
и знаки функций прогибов (x) и углов поворота поперечных сечений
φ(x) в характерных точках балки.
Правильные ответы: 2), 4).
ТЕСТ 1.2
Вывод дифференциальной зависимости между функцией прогиба и нагрузкой основан:
□ 1) на гипотезе плоских сечений;
□ 2) утверждении, что материал балки следует закону Гука;
□ 3) предположении, что материал балки работает за пределом упругости;
□ 4) нелинейной зависимости между функцией перемещений и нагрузкой;
□ 5) линейной зависимости между функцией перемещений и нагрузкой.
К о м м е н т а р и й:
Деформация изгиба характеризуется поворотом поперечного сечения, вывод дифференциальной зависимости между функцией прогиба и
нагрузкой основан на гипотезе плоских сечений, линейной зависимости
между деформацией и напряжением, т.е. на законе Гука, как все соотношения в сопротивлении материалов. На основании линейной зависимости между деформацией и напряжением существует линейная зависимость между функцией перемещений и нагрузкой.
Правильные ответы: 1), 2), 5).
23
ТЕСТ 1.3
Дифференциальными зависимостями для определения функции прогибов балки являются:
□ 1) ;
□ 2) ;
□ 3) ;
□ 4) ;
□ 5) .
К о м м е н т а р и й:
Дифференциальными зависимостями для определения функции
прогибов среди приведенных соотношений являются дифференц иальное уравнение 2-го порядка (1) — зависимость между функцией
прогиба и изгибающим моментом, а также дифференциальное ура внение 4-го порядка (2) — зависимость между функцией прогиба и
нагрузкой.
Правильные ответы: 3), 5).
ТЕСТ 1.4
Угол поворота сечения можно определить из следующих соотношений:
□ 1) ;
□ 2) ;
□ 3) φ ;
□ 4) ;
□ 5) .
К о м м е н т а р и й:
Угол поворота поперечного сечения представляет собой производную функции прогибов, а с другой стороны, дифференциальное уравнение 2-го порядка (зависимость между функцией прогиба и изгибающим моментом) можно записать как дифференциальную зависимость
между функцией φ и .
Правильные ответы: 3), 4).
24
ТЕСТ 1.5
q
y
x
R
A
R
B
A
B
C
l
1
l
2
q
y
x
R
A
R
B
x
x
A
B
C
1 2
l
1
l
2
Число неизвестных констант при определении функции прогибов (x) методом непосредственного интегрирования в заданной
балке равно:
○ 1) 6;
○ 2) 2;
○ 3) 3;
○ 4) 4;
○ 5) 5.
К о м м е н т а р и й:
Получение решения методом непосредственного интегрирования
связано с выражением функций изгибающих моментов M(x) на каждом
участке интегрирования. В заданной балке имеем два участка, для каждого участка составляется выражение изгибающего момента M(x), интегрируется дифференциальное уравнение 2-го порядка (1):
,
или .
В результате выражение для функции прогибов (4) на первом участке имеет две неизвестные константы интегрирования :
25
.
На втором участке для получения функции прогибов (x) следует
P
y
x
l
l
1
2
R
R
A
B
M
l
3
0
1 2 3
P
y
x
l
l
1
2
R
R
A
B
M
l
3
x
x
x
0
записать выражение для изгибающего момента:
или .
В выражении функции прогибов появляются еще две неизвестные
константы интегрирования:
.
Правильный ответ: 4).
ТЕСТ 1.6
Число неизвестных констант при определении функции прогибов (x) методом непосредственного интегрирования в заданной
балке равно:
○ 1) 2;
○ 2) 8;
○ 3) 4;
○ 4) 5;
○ 5) 6.
К о м м е н т а р и й:
26
Балка разделяется на три участка. Выражение функции прог и-
q
y
x
R
A
R
B
A
B
C
l
1
l
2
бов (x) на каждом участке зависит от выражения изгибающего
момента M(x) и имеет две неизвестные константы интегрирования.
Первый участок: ,
тогда .
Второй участок: ,
.
Третий участок: ,
.
Правильный ответ: 5).
ТЕСТ 1.7
Граничные условия и условия сопряжения участков для определения неизвестных констант интегрирования методом непосредственного интегрирования в заданной балке следующие:
□ 1) ;
□ 2) ;
□ 3) ;
□ 4) ;
□ 5) .
К о м м е н т а р и й:
В качестве граничных условий используем опоры А и В, в которых
прогибы равны нулю. К граничным условиям следует добавить условия
сопряжения участков, т.е. в точке С прогиб со стороны первого участка
(слева) равен прогибу в этой точке со стороны второго участка (справа).
Такое же равенство составляется в точке С для углов поворота сечений.
27
q
y
x
R
A
R
B
A
B
C
l
1
l
2
y
y
C
C
C
C
лев
лев
пр
пр
φ
φ
P
y
x
l
l
1
2
M
0
Правильные ответы: 1), 3), 5).
ТЕСТ 1.8
Функция прогибов, выраженная с помощью начальных параметров, является решением дифференциального уравнения:
○ 1) ;
○ 2) ;
○ 3) ;
○ 4) ;
○ 5) .
К о м м е н т а р и й:
Функция прогибов, содержащая начальные параметры, является
решением дифференциального уравнения 4-го порядка.
Правильный ответ: 2).
ТЕСТ 1.9
Неизвестным начальным параметром в уравнении прогибов
для заданной балки является:
28
○ 1) ;
P
y
x
l
l
1
2
R
M
φ
0
0
А
P
y
x
l
l
1
2
l
3
q
0
○ 2) ;
○ 3) ;
○ 4) ;
○ 5) .
К о м м е н т а р и й:
Начало координат, расположенное в крайней левой точке балки,
совпадает с шарнирной опорой. Представляя характер изогнутой оси
данной балки, получаем, что из четырех начальных параметров
неизвестным является угол поворота
в шарнирной опоре. Значение реакции получается из уравнения равновесия.
Правильный ответ: 1).
ТЕСТ 1.10
Неизвестными начальными параметрами в уравнении прогибов являются:
□ 1) ;
□ 2) ;
□ 3) ;
□ 4) ;
□ 5) .
29
К о м м е н т а р и й:
y
P
q
x
A
0
φ
P
y
x
l
l
1
2
l
3
q
υ
0
0
0
Начало координат, расположенное в крайней левой точке балки,
совпадает со свободным концом балки. Представляя характер изогнутой оси данной балки, получаем, что из четырех начальных параметров
, неизвестными являются два — прогиб
и угол поворота поперечного сечения.
Правильные ответы: 1), 4).
ТЕСТ 1.11
Неизвестной величиной в выражении прогиба по методу начальных параметров является:
○ 1) ;
○ 2) ;
○ 3) ;
○ 4) ;
○ 5) .
К о м м е н т а р и й:
Начало координат в заданной балке совпадает с жестким защемлением, поэтому начальные параметры известны:
.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]