Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Перемещения в балках и рамах при прямом изгибе в тестах. Учебное пособие
.pdf
Отметим, что при изгибе жестких балок на шарнирной опоре углы
φ
φ
лев.
прав.
y
P
q
x
φ
лев.
φ
прав.
0
поворота слева и справа одинаковы (рис. 10): .
Рис. 10
Балка с промежуточным шарниром
Рис. 11
Особенностью изгиба балки с промежуточным шарниром (рис. 11)
является следующее: угол поворота балки слева от шарнира не равен
углу поворота балки справа от шарнира, т.е. . В расчетах
промежуточный шарнир характеризуется величиной Δφ, равной разности углов поворота справа и слева: .
Метод начальных параметров
Переход от уравнения (1) к уравнению (2) осуществляется при последовательном дифференцировании следующих выражений (5), (6), (7):
т.к. то (5)
т.к. , то , (6)
(7)
11
Имеем дифференциальное соотношение между функцией прогиба
y
x
0
0
0
0
φ
Μ
Q
0
υ
и нагрузкой. Решение дифференциального уравнения 4-го порядка (7)
можно получить, проинтегрировав последовательно однородное уравнение 4-го порядка (8), и затем добавить к полученному выражению
υ(x) частное решение неоднородного уравнения (7):
. (8)
При последовательном интегрировании запишем следующие соотношения (9), (10), (11), (12):
(9)
, (10)
, (11)
. (12)
В соотношениях (9―12) при x = 0 константы интегрирования однородного дифференциального уравнения четвертого порядка (8) имеют следующие значения (13):
(13)
.
Величины называют начальными параметрами. Они представлены поперечной
силой, изгибающим моментом, углом поворота сечения и прогибом в
начале координат (рис. 12).
Рис. 12
12
Данный способ интегрирования дифференциального уравнения по-
q
M
P
φ
Δ
x
y
a
b
c
d
k
1
2
3 4 5
6
0
0
0
0
φ
Μ
Q
l
0
υ
лучил название метода начальных параметров.
В результате полное решение неоднородного дифференциального
уравнения 4-го порядка (7) при использовании обозначений констант
интегрирования через начальные параметры представляется в следующем виде (14):
, (14)
где ― частное решение неоднородного уравнения (7), зависящее
от вида нагрузки.
Таким образом, решение (14) содержит четыре начальных параметра для определения прогиба в любой точке балки. При этом в статически определимых балках некоторые из них известны в начале расчета.
Неизвестные начальные параметры определяются из граничных
условий.
Запишем выражения функций прогибов и углов поворота сечений
для балки, находящейся под действием различного вида нагрузок.
Универсальные уравнения для определения прогибов
и углов поворота сечений балки
Рис. 13
От начала координат балка последовательно разделяется на участки (рис. 13), границей между которыми являются точки приложения
нагрузок, промежуточные шарниры, опоры (реакции, действующие в
опорах, учитываются наравне с внешней нагрузкой).
13
Выражение прогиба (15) или угла поворота сечения (16) в точке
некоторого участка балки определяется формулами, расположенными
слева от вертикальной черты с номером участка:
(15)
,
(16)
.
В выражении прогибов υ(x) каждое слагаемое имеет размерность длины (например, сантиметр) и определяет значение прогиба от
данного вида нагрузки. Знак перед каждым слагаемым обозначает направление перемещения от этой нагрузки. В соответствии с принятым
правилом знаков для υ(x) (рис. 4), если усилие перемещает балку вниз,
то перед таким слагаемым в функции прогибов ставят знак «плюс».
А если усилие перемещает балку вверх, то перед формулой ставят знак
«минус». Положительная поперечная сила Q0 направлена вверх, стре-
мится переместить точку x=0 вверх, поэтому перед слагаемым
ставим знак «минус».
Направление действия изгибающего момента M определяют, учитывая, что начало координат расположено в крайней левой точке балки,
от которой отсчитывается расстояние x. Поэтому в выражении функции
прогибов υ(x) действие изгибающего момента M рассматривают относительно сечения x, расположенного справа от точки приложения M.
Тогда получаем, что стремится переместить балку вверх относительно сечения, расположенного справа от точки приложения , и пе-
ред формулой ставим знак «минус». Изгибающий момент M(x),
приложенный в точке x = c, также стремится переместить балку вверх
относительно точки, расположенной справа от точки х = с.
14
Действие равномерно распределенной нагрузки q на участке от
1
2
P
P
y
x
1
1
2
2
l
l
M
Q
0
0
0
a до b характеризуется двумя слагаемыми. Первое из них выражает
прогиб от q, действующей на участке длиной (ℓ — a) и направленной
вниз. Соответственно, перед первым слагаемым ставится знак
«плюс», при этом x может принимать значение в пределах а < x ≤ ℓ.
Второе слагаемое представляет собой действие компенсирующей нагрузки, равной по величине q, приложенной в точке с координатой x = b
и направленной вверх. Поэтому перед вторым слагаемым ставится знак
«минус». Значение x в формуле может изменяться в пределах b < x ≤ ℓ.
Начало действия компенсирующей нагрузки соответствует координате
конца действия приложенной равномерно распределенной нагрузки q.
Дифференциальные соотношения (9), (10) позволяют определить
по функции прогибов значения изгибающих моментов и поперечных
сил (17), (18):
, (17)
. (18)
Рассмотрим на примерах порядок составления функций прогибов,
углов поворота сечений для различных балок и способы определения
неизвестных в выражениях υ(x) и φ(x).
Пример 1. Для заданной консольной балки записать уравнения
прогибов и углов поворота сечений по методу начальных параметров
(рис. 14).
Рис. 14
15
Проанализируем значения начальных параметров, т.е. отметим, че-
1
2
1
2
R
R
A
B
M
y
x
l
l
0
му равны в начале координат значения прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы:
при x = 0
.
Все начальные параметры известны. Уравнения прогибов и углов
поворота сечений имеют следующий вид (19), (20):
, (19)
. (20)
Пример 2. Для заданной шарнирно-опертой балки записать урав-
нения прогибов и углов поворота сечений по методу начальных параметров (рис. 15). Составить граничные условия для определения неизвестных начальных параметров.
Рис. 15
Значения начальных параметров в заданной балке равны:
при x = 0 υ0 = 0; M0 = 0;
φ0 = ?; .
Поскольку начало координат приходится на шарнирную опору, то
угол поворота сечения φ
16
в начале расчета неизвестен.
0
Уравнения прогибов и углов поворота сечений для данной балки
1
2
3
P
q
y
x
l
l
l
1
2
3
R
A
R
B
0
имеют вид (21), (22):
, (21)
. (22)
Составим граничное условие для определения φ
:
0
при ,
или в развернутом виде (23):
. (23)
Найденное значение φ0 позволит рассчитать прогиб и угол поворота сечения в любой точке балки.
Пример 3. Для заданной шарнирно-опертой балки с консолью за-
писать уравнения прогибов и углов поворота сечений по методу начальных параметров (рис. 16). Определить неизвестные начальные параметры.
Рис. 16
При x = 0 υ0= ?; φ0= ?;
; .
Начало координат пришлось на конец консоли, поэтому неизвестными являются прогиб υ
и угол поворота сечения φ0. Составляем вы-
0
ражения (24), (25) для функций прогибов и углов поворота сечений по
методу начальных параметров:
17
, (24)
0
Μ
1
2
3
l
l
l
1
2
3
y
q
x
А
B
Q
0
C
0
. (25)
Граничные условия для определения неизвестных начальных параметров υ
из решения которой получаем значения υ
писать уравнения прогибов и углов поворота сечений по методу начальных параметров (рис. 17). Определить неизвестные значения и
и φ
следующие: при ;
0
0
при .
В развернутом виде они представляют систему двух уравнений (26),
и φ
:
0
0
,
(26)
.
Пример 4. Для заданной балки c промежуточными шарнирами за-
в промежуточных шарнирах.
Рис. 17
При x = 0 υ0 = 0, φ0 = 0:
, .
18
В данном примере все начальные параметры известны в начале
расчета (27), (28):
(27)
–
(28)
Полученные выражения прогибов (27) и углов поворота сечений (28)
содержат две неизвестные величины и , для определения которых используем граничные условия в точке C:
при , ,
или в развернутом виде (29), (30):
(29)
. (30)
По значениям и φ в характерных сечениях балки можно построить эпюры (x) и φ(x). Учитывая дифференциальные зависимости между функциями Q(x), M(x), (x) и φ(x) (9―12), получаются следующие
соответствия между эпюрами.
В точке, где эпюра «Q» меняет знак, на эпюре «φ» имеем точку
перегиба.
Точке, на эпюре моментов, в которой M = 0, на эпюре «φ» соответствует точка экстремума.
19
Точке, на эпюре углов поворота, в которой φ = 0, на эпюре « » соответствует точка экстремума.
В точке, где эпюра моментов «M» меняет знак, на эпюре « » имеем
точку перегиба.
Интегральная формула для определения прогибов
и углов поворота сечений балки (метод Мора)
Рассмотрим другой способ определения прогибов и углов поворота
сечений при изгибе балки от действия внешней нагрузки. Физический
смысл формулы Мора состоит в том, что интеграл выражает работу
единичной силы в направлении еѐ действия от воздействия внешней
нагрузки (31):
, (31)
где ∆ — обобщенное перемещение (горизонтальное u, вертикальное
или угол поворота сечения φ), перемещение в направлении действия
единичного усилия;
— эпюра изгибающих моментов в заданной балке от действия
внешней нагрузки;
— эпюра изгибающих моментов в заданной балке от действия еди-
ничного усилия.
Для определения горизонтального u (рис. 18, а) и вертикального
перемещений (рис. 18 , б) в рассматриваемой точке прикладывается сосредоточенная единичная сила. Для определения угла поворота сечения
φ (рис. 18, в) в рассматриваемой точке прикладывается сосредоточенный единичный момент.
а б в
Рис. 18
∆ со знаком «плюс» в результате расчета означает, что перемеще-
ние направлено в сторону действия приложенного единичного усилия.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]