Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности математического трехмерного моделирования позвоночника. Учебное пособие
.pdf
Для корректировки полученной погрешности при ротационных пе-
x
ремещениях необходим анализ параметров модели в плоскости расположения деформаций. Такой анализ возможен при создании трехмерного изображения формы позвоночника с помощью математического
моделирования.
При математическом моделировании, анализируя линейные и угловые величины, необходимо вычислять их пространственные значения и проекционные аналоги (т. е
. видимые координаты). При этом
следует учитывать, что реперные точки (видимые на проекции) сместятся (рис. 23).
Рис. 23. Смещение реперных точек при ротационных
деформациях
Линейные размеры – расстояние между двумя точками, или длина
вектора
222
21 21 21
– координаты точек, или вектор, соединяющий
.
41
(, , ),( , , )
где
две точки
yz x y z
111 2 22
(, ,)axxyyzz
()( )()dxx yy zz,
212121
Угол на плоскости удобнее искать как угол между прямыми, так
x
x
x
x
x
как измеряется угол от прямой (направления) до прямой (направления), и в этом случае фиксируется направление вращения (положительное вращение против часовой стрелки):
kk kk
tg arctg
kk
где
12
дящих соответственно через точки
Замечание. Другой вариант расчета угла между векторами, как на плоско-
сти, так и в трехмерном пространстве, – через скалярное произведение:
cos arccos
В этом случае для определения направления вращения необходим допол-
нительный анализ модели.
21 21
11
kk kk
12 12
yy
yy
21
;
xxx
21 43
ab ab
ab ab
43
– угловые коэффициенты прямых, прохо-
ab a b a b
11 2 2 3 3
22 2222
aaabbb
123123
, если
(, ),( , )
yxy
11 2 2
kk
12
1,
2
(, )
y
и
33
(, )
,
y
44
.
.
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДУГ ОТДЕЛОВ
ПОЗВОНОЧНИКА
Рассмотрим алгоритм аппроксимации отдела позвоночника про-
странственной дугой окружности по заданным координатам позвонков
yz i n
iii
р(, , пи 1, ,)2,
, входящих в дугу отдела позвоночника.
Определяемые параметры: плоскость, центр окружности, радиус
окружности.
Нахождение этих параметров будем выполнять методом наимень-
ших квадратов.
Запишем уравнение искомой плоскости в виде
10px p y p z
12 3
42
.
(),,
x
x
x
x
p
p
x
N
N
Подставим в это уравнение координаты точек
yz
iii
1, 2, ,in и получим систему из n уравнений с тремя неизвестными
,,pp p
123
:
при
px p y pz
11 2 1 31
px p y p z
12 2 2 32
........................................
px p y pz
12 3
nnn
1,
1,
1.
Система уравнений в общем случае несовместная. Псевдорешение
этой системы, минимизирующее сумму квадратов невязок, находится из
нормальной системы уравнений:
1
TT
WWP W R
,
PWWWR
TT
,
где
yz
111
yz
222
W
... ... ...
yz
nnn
В результате решения полученной системы уравнений определяется
вектор
(, , )
pp p
123
, перпендикулярный плоскости дуги.
;
1
Pp
2
3
T
;
WR y
i
i
.
i
i
z
i
i
Для определения параметров окружности (центр окружности, радиус окружности) переходим в систему координат, привязанную к плоскости дуги. Одним из базисных векторов выберем найденный вектор
(, , )
pp p
123
. Тогда в качестве базисных берем векторы:
(,0, ); (, , );
ep p e ppp
13 1 2123
eee
313
.
43
Нормировка:
X
X
R
Матрица перехода
e
0
e
1
e
e
0
e
2
e
e
0
e
3
e
Le e e
00 01
,,
ee e
1,1 1, 2 1,3
1
00 02
,,
ee e
2,1 2,2 2,3
2
3
00 0
ee e
,,
3,1 3,2 3,3
3
00 0
ee e
1,1 2 ,1 3,1
00 0
1,2 2, 2 3,2
00 0
ee e
1,3 2 ,3 3,3
;
.
;
.
В итоге
вой системе координат; ( , , )
при 1,
LX k n
– координаты заданных точек в но-
T
xyz
при 1, 2, ..., ;in
iii
y
i
1, 2, ...,in . Задача из пространственной становится плоской.
Общее уравнене окружности
22
0.xAxzBzC
Радиус окружности будет равен
1
22
AB C
4
,
2
а центр окружности
AB
xz
00
22
,,
.
Следовательно, задача определения параметров окружности сводится к определению значений A, B, C.
44
0
при
Параметры A, B, C определяются из решения системы линейных ал-
x
X
гебраических уравнений:
CN A x B z
CxAx Bxz x
CzAxzBz z
iiiii
iii i
iiiii
ii ii
ii
iii
2
2
22
xz
ii
,
22
ii
22
xz
ii
,
z
.
В матричном виде полученную систему можно записать как
TT
WWU WV
,
где
22
1
xz
C
UAW V
;;.
B
11
1
xz
22
1
xz
NN
xz
11
22
xz
22
22
xz
NN
Решение находится из соотношения
1
TT
()()
UWW WV
.
Координаты центра окружности в системе координат, привязанной
к плоскости дуги:
T
Xxz
000
T
,0, ,0,
AB
22
.
Координаты центра окружности в исходной системе координат:
T
LX
.
00
В результате определены центр окружности, радиус окружности
и нормаль к плоскости дуги.
45
5.1.1. ПАРАМЕТРЫ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ДУГИ
x
R
В САГИТТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Требуется определить центр окружности и ее радиус по имеющимся
проекциям на плоскость XOZ координат позвонков, входящих в дугу от-
(),
дела позвоночника
z
при 1, 2, , .in
ii
Из общего уравнения окружности
22
0xAxzBzC
радиус окружности
1
22
AB C
4
,
2
а центр окружности
AB
xz
00
22
,,
.
Следовательно, задача определения параметров окружности сводится к определению значений A, B, C.
Параметры A, B, C определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений:
NC A x B z
Cx Ax Bxz x
ii iii
ii i i
Cz Axz Bz z
iiiii
ii ii
ii
iii
2
2
22
xz
ii
,
22
xz
ii
xz
,
22
ii
.
В матричном виде эту систему можно записать как
TT
WWU WV ,
46
где
R
22
xz
1
xz
C
UAW V
B
;;.
11
1
xz
22
1
xz
NN
11
22
xz
22
22
xz
NN
Тогда ее решение можно найти из соотношения
1
TT
()()
UWW WV
Замечание. В отличие от предыдущей задачи, где определялись параметры
пространственной дуги и ориентация плоскости дуги, для чего находился вектор нормали, в этом случае плоскость задана (XOZ) и определяются центр
окружности и ее радиус.
5.1.2. ПАРАМЕТРЫ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ДУГИ
ВО ФРОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
.
Требуется определить центр окружности и ее радиус по имеющимся
проекциям на плоскость YOZ координат позвонков, входящих в дугу от-
(),
yz
дела позвоночника
при 1, 2, , .in
ii
Из общего уравнения окружности
22
0yAyzBzC
радиус окружности
1
22
AB C
4
,
2
а центр окружности
AB
yz
00
22
,,
.
Следовательно, задача определения параметров окружности сво-
дится к определению значений A, B, C.
47
Параметры A, B, C определяются из решения системы линейных ал-
гебраических уравнений:
NCAyBz
Cx Ay B yz y
ii iii
ii i i
Cz AyzBz z
iiiii
ii i i
ii
iii
2
2
22
yz
ii
yz
yz
В матричном виде система имеет вид
TT
WWU WV ,
где
1
yz
C
UAW V
B
;;.
11
1
yz
22
1
yz
NN
Тогда решение системы можно найти из соотношения
1
TT
()()
UWW WV
.
5.2. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПОЗВОНОЧНИКА
,
22
ii
22
ii
yz
yz
yz
NN
,
.
22
11
22
22
22
Далее приведем список наиболее востребованных для анализа величин.
5.2.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТЕЛ ПОЗВОНКОВ
1. Сагиттальный размер покровной (верхней) замыкательной пла-
стинки – длина вектора, соединяющего точки 1 и 3.
2.
Сагиттальный размер базальной (нижней) замыкательной пла-
стинки – длина вектора, соединяющего точки 5 и 7. Вертикальный размер тела позвонка по переднему контуру – длина вектора, соединяющего точки 1 и 5.
48
3. Вертикальный размер тела позвонка по заднему контуру – длина
вектора, соединяющего точки 3 и 7.
Высота тела позвонка в сагиттальной плоскости по центральной
4.
оси – длина вектора, соединяющего середины векторов между точками 1 и 5, 3 и 7.
5.
Фронтальный размер верхней замыкательной пластинки – длина
вектора, соединяющего точки 2 и 4.
Фронтальный размер нижней замыкательной пластинки – длина
6.
вектора, соединяющего точки 6 и 8.
Высота тела позвонка по правому контуру – длина вектора, соеди-
7.
няющего точки 4 и 8.
Высота тела позвонка по левому контуру – длина вектора, соеди-
8.
няющего точки 2 и 6.
Высота тела позвонка во фронтальной плоскости по центральной
9.
оси – длина вектора, соединяющего середины векторов между точками
4 и 8, 2 и 6.
5.2.2. УГЛОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТЕЛ ПОЗВОНКОВ
1. Наклон переднего контура тела позвонка к оси Z – угол между
вектором, соединяющим точки 1 и 5, и осью Z.
Наклон заднего контура тела позвонка к оси Z – угол между век-
2.
тором, соединяющим точки 3 и 7, и осью Z.
Наклон верхней замыкательной пластинки тела позвонка в сагит-
3.
тальной плоскости – угол между вектором, соединяющим точки 1 и 3,
и осью Z.
Наклон нижней замыкательной пластинки тела позвонка в сагит-
4.
тальной плоскости – угол между вектором, соединяющим точки 5 и 7,
и осью Z.
Наклон осевой линии тела позвонка к оси Z в сагиттальной плос-
5.
кости – угол между осью Z и вектором, соединяющим середины расстояния между точками 1 и 5, 3 и 7.
6.
Клиновидность тела позвонка в сагиттальной плоскости – угол
между векторами, соединяющими точки 1 и 3, 5 и 7.
Наклон верхней замыкательной пластинки тела позвонка к оси Z
7.
во фронтальной плоскости – угол между вектором, соединяющим
точки 2 и 4, и осью Z.
49
8. Наклон нижней замыкательной пластинки тела позвонка к оси Z
во фронтальной плоскости – угол между вектором, соединяющим
точки 6 и 8, и осью Z.
Клиновидность тела позвонка во фронтальной плоскости – угол
9.
между векторами, соединяющими точки 2 и 4, 6 и 8.
Наклон осевой линии тела позвонка к оси Z во фронтальной плос-
10.
кости – угол между осью Z и вектором, соединяющим середины расстояния между точками 2 и 4, 6 и 8.
5.2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
МЕЖПОЗВОНКОВЫХ ДИСКОВ
Параметры межпозвоночных дисков определяются координатами
двух смежных позвонков (рис. 24).
Рис. 24. Схема расположения реперных
точек сегмента позвонка
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]