Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Особенности математического трехмерного моделирования позвоночника. Учебное пособие
.pdf
Требуется определить координаты всех реперных точек позвонков,
x
x
лежащих выше точки вращения.
Алгоритм нахождения новых координат реперных точек
при вращении тела вокруг заданной оси вращения
1. Перенос начала координат в точку вращения:
XXX krj
.
kkr
2.
Переход в систему координат, привязанную к точке и оси враще-
при ,1,8
ния:
XLX krj
,
kk
при ,1,8
где L – матрица перехода.
Выбор базисных векторов:
eaa
где
112
,aa
– два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости, перпен-
12
,
дикулярной оси вращения, например:
eae
211
eee
312
a
a
rrrrrr
1
(;
2
,,
xy yz z
242 424
rrrrrr
,,
xy yz z
313131
;
.
;
Нормировка:
e
0
e
1
e
00 0
1
1
,,
ee e
1,1 1,2 1, 3
0
e
3
;
e
3
00 0
ee e
3
3,1 3,2 3,3
e
e
0
2
e
2
e
2
,,
00 0
,,
ee e
2,1 2,2 2,3
.
;
31
Матрица перехода в этом случае имеет вид
L
00 0
ee e
1,1 2 ,1 3,1
00 0
Le e e
1,2 2, 2 3,2
00 0
ee e
1,3 2 ,3 3, 3
3.
Поворот на угол :
.
XSXSLX krj
kk k
при ,1,8,
где S – матрица поворота:
10 0
0cos sin
S
0sin cos
4.
Переход к исходной системе координат:
*1 1
XLXXLSLXX krj
kkr kr
С учетом ортогональность матрицы L (
.
при ,1,8
1 T
L
) последнее соотно-
.
шение запишется в виде
*
TT
XLSLXXLSLXX X krj
.
kkr krr
()при ,1,8
Аналогично алгоритму нахождения новых координат при вращении
сегмента позвоночника строится алгоритм определения координат реперных точек модели при вращении в голеностопном, коленном и тазобедренном суставе.
4.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА ПО ЧЕТЫРЕМ ТОЧКАМ
Графическое отражение тел позвонков в модели аппроксимируется
выпуклой фигурой, близкой к усеченным эллиптическим конусам, при
этом верхнее и нижнее основания могут быть непараллельны. В средней
части позвоночника позвонки имеют вид эллиптических цилиндров.
Для их графического построения используются координаты реперных
точек тел позвонков (прил. 4).
32
Проведенная рентгеноморфометрия каждого позвонка в сагиттальной
и фронтальной плоскости за счет сопоставления суставных поверхностей
суставных отростков позвонков [7, 13] позволила определить координаты
восьми реперных точек всех тел позвонков и сформировать базу данных
координат всего позвоночника (по четыре точки на каждой замыкательной пластинке). При графическом построении эллипса необходимо знать
его центр, направление осей
симметрии и значение полуосей.
Построение изображения на экране выполняется по точкам. Этих точек должно быть достаточное количество, чтобы эллипс не выглядел
многоугольником, поэтому кроме реперных точек должны быть определены дополнительные точки по контурам нижнего и верхнего основания каждого позвонка и дополнительные точки на голеностопном, коленном и
тазобедренном суставе.
Алгоритм нахождения новых координат дополнительных
точек при вращении тела вокруг заданной оси вращения
1. Переход к системе координат, привязанной к условной середине
и плоскости основания (см. алгоритм нахождения новых координат реперных точек при вращении тела вокруг заданной оси вращения в п. 4.1).
2. Определение параметров эллипса по четырем точкам.
3. Расчет координат точек эллипса.
4. Возвращение к исходной системе координат.
По четырем точкам можно построить эллипс, оси симметрии которого параллельны осям координат. Точки должны образовывать выпуклый четырехугольник. Если оси симметрии этого четырехугольника не
параллельны осям координат, точек должно быть больше, иначе задача
неразрешима. В дальнейшем будем считать, что оси симметрии параллельны осям координат.
Рассмотрим общее уравнение эллипса
22 2
2220при 0.Ax Bxy C y Dx Ey F AC B
Если оси симметрии параллельны осям координат и
нение примет вид
22
22 0при 0.Ax C y Dx E y F AC
33
B = 0, то урав-
Перепишем уравнение:
F
M
M
AC DE
22 22
x y x y px qy rx sy
22
10, 10
.
FFF
В результате задача определения параметров эллипса сводится
к нахождению четырех значений:
p, q, r, s. Подставляя в последнее со-
отношение координаты четырех произвольных точек (например, координаты реперных точек замыкательной пластинки позвонка), имеем четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными:
tN ,
где
22
xyxy
1111
22
xyxy
MtN
2222
22
xyxy
3333
22
xyxy
4444
;; .
p
q
r
s
1
1
1
1
Решение этой системы
1
tMN
.
Если получается вырожденная система уравнений, то добавляем
точки и получаем переопределенную систему уравнений, которую далее приводим к нормальному виду
TT
Mt M N
и находим ее псевдорешение.
Приведем уравнение
22
к каноническому виду:
rs
22
px x qy y
pq
34
10px qy rx sy
10;
p
x
px x qy y
rrr sss
22
2210;
22
pq
px qy
22 22
22 22
44 44
pp qq
22
rr ss
24 24
pp qq
22
10;
px qy
11
pp q qp q
rs
xy
где
00
rs
1
44
qp q
;
22
22
– полуоси эллипса.
1
22
rsrs
2244
pqpq
22
rs
xy
pq
22
22 22
rs rs
11
44 44
()()
xx yy
22
00
22
ab
– центр эллипса;
q
Параметрическое уравнение эллипса
yb ty
22
1;
cos ,
atx
sin .
1,
a
0
0
1;
22
rs
1
pp q
44
1
и b
Изменяя параметр t с шагом t от 0 до 2, определяются координаты
точек эллипса.
35
4.3. ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Координаты проекции тела на координатные плоскости определяются по формуле
пр
.XPX
В этом случае матрица проектирования на плоскость XOZ
100
000;
P
001
матрица проектирования на плоскость YOZ
000
010;
P
001
матрица проектирования на плоскость XOY
100
010.
P
000
В результате умножение на матрицу P равносильно обнулению одной из координат точки.
4.4. АЛГОРИТМ ОТСЕЧЕНИЯ НЕВИДИМЫХ ЛИНИЙ
ПРИ ВЫВОДЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ЭКРАН
При изображении трехмерного объекта на экране его поверхность
аппроксимируется плоскостями, и задача сводится к ортогональному
проектированию на какую-либо координатную плоскость пространственного многоугольника.
Замечание. Если плоскость экрана не совпадает с координатной плоскостью, то осуществляем переход в локальную систему координат, такую, что
вектор, направленный на наблюдателя, становится одним из базисных.
36
(),,
x
R
R
Пусть
yz
iii
при i = 1, 2, …, k – координаты вершин много-
угольника, которые нумеруются против часовой стрелки. Выберем три
точки так, чтобы векторы
(, , );axxyyzz
1212121
(,axx
232
,)yyzz
3232
были неколлинеарны.
Тогда
Радиус-вектор, направленный на наблюдателя (на экран), обозначим
Если строится ортогональная проекция на координатную плоскость YOZ, то (1; 0; 0 )Ri
если на плоскость XOY, то
Если
видна.
Если
.
naa
12
0nR
, то угол между вектором нормали и
0nR
, то грань не видна, а если
– вектор внешней нормали.
, если на плоскость XOZ, то (0;1; 0)Rj
(0; 0;1)Rk
.
острый и грань
0nR
, то грань образует
видимый контур тела (рис. 20, 21).
,
Рис. 20. Схема различного положения пространственного
многоугольника относительно экрана
37
Рис. 21. Схема аппроксимации трех-
мерного объекта многоугольниками:
1, 2, 3, 4 – видимая грань; 5, 6, 7, 8 – невидимая грань (верхнее основание – видно;
нижнее – не видно)
В случае, если требуется нарисовать несколько тел, одно из которых
частично перекрывает другое, то сначала рисуются дальние объекты,
а потом ближние. Сортировку делают по порядку отрисовки.
38
5. ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ
Расчет искомых параметров формы и ориентации позвоночника
в целом и каждого позвонка в отдельности производится на основе координат реперных точек тела каждого позвонка по формулам расчета линейных и угловых параметров (рис. 22, прил. 3).
Z
Y
Х
Рис. 22. Схема расположения реперных точек
тела позвонка
Замечание. Угол имеет положительное значение при повороте против ча-
совой стрелки.
39
Наши представления о форме позвоночника в норме и при патологии базируются на анализе его рентгенологического отражения на
пленке или на экране монитора. Эти изображения являются проекционным отражением в двух плоскостях: сагиттальной и фронтальной. Для
получения полного представления о форме и ориентации позвоночника
проводится анализ в трех взаимно перпендикулярных плоскостях
: сагит-
тальной (XOZ, y = 0), фронтальной (YOZ, x = 0) и аксиальной (XOY, z = 0).
При анализе (расчерчивании) рентгенограмм традиционно (общепринято) используют углы тел позвонков и контур замыкательных пластинок. Для получения количественных параметров рентгенолог использует
привычные ориентиры (углы тела позвонка и направление замыкательных пластинок), определяемые по координатам реперных точек.
В случае
возникновении деформации позвоночника строго в сагиттальной или фронтальной плоскости мы имеем возможность адекватно оценить величину деформации, форму позвоночника и его ориентацию, так
как проекционное отражение не подвержено значительному искажению.
Возникновение деформации в горизонтальной плоскости (ротационный компонент) изменяет проекционное отражение позвонка в сагиттальной и фронтальных плоскости, и это
вносит проекционные искажения в координатах. Традиционно используемые параметры деформации
позвоночника (угол кифоза, угол Кобба) в этой ситуации не отражают
истинных изменений формы и ориентации позвоночника.
При анализе (расчерчивании) рентгенограмм в случае возникновения ротационных перемещений эти ориентиры изменяются и становятся
недоступны для проведения расчетов по техническим причинам (идет
наслоение
изображения). Вновь возникшие ориентиры (реперные
точки) имеют иные проекционные координаты, и их использование приводит к искажению полученных результатов.
Оценку ротационных перемещений в аксиальной плоскости путем
анализа изображений в сагиттальной и фронтальной плоскости нельзя
признать адекватной.
Определить новые координаты реперных точек после совершения
ротационных перемещений можно на томограммах позвонков (двигательных
сегментов) в аксиальной плоскости. Их использование позволяет получить адекватные параметры положения позвонков и сравнить
их с нормой.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]