Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы сертификации, стандартизации и управления качеством продукции. Учебное пособие
.pdf
81
Косвенные измерения – это измерения, при которых искомое значение
n
xxxFQ ,...,,
21
n
xxx ,...,,
21
измеряемой величины находится на основании известной зависимости между
этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым, а иногда совокупным
или совместным измерениям.
Совокупные измерения – это одновременные измерения нескольких одноименных величин, при которых искомое значение измеряемой величины
находится путем решения системы уравнений, получаемой при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Совместные измерения – это одновременные измерения нескольких
неодноименных величин с целью нахождения зависимости между ними. В общем виде искомое значение физической величины С, определяемой путем совместных измерений, может быть выражено таким уравнением:
,
где F – вид функциональной зависимости;
– значения величин,
найденных путем прямых измерений.
Решение уравнения в ряде случаев представляет собой достаточно сложную задачу, которую можно решить специальными методами. Совместные измерения получают широкое распространение при измерениях качественных
показателей, например для анализа состава и свойств сложных, многокомпонентных смесей, которыми являются большинство пищевых продуктов.
В основе каждого измерения лежит определенный принцип, который
представляет собой совокупность физических явлений, используемых для получения результата в виде измерительной информации о значении измеряемой
физической величины.
мается совокупность приемов использования различных принципов и средств
измерений. При технологических намерениях широко используются четыре основных метода измерений.
измеряемой величины непосредственно по отсчетному устройству измеритель-
Измерения осуществляются различными методами, под которыми пони-
1. Метод непосредственной оценки заключается в определении значения
82
ного прибора прямого действия. Метод характеризуется прямым преобразова-
xQ
нием значения измеряемой величины в выходную величину, показываемую или
записываемую измерительным прибором, отградуированным в соответствующих единицах. Искомое значение величины Q равно значению x, которое является результатом ее непосредственного измерения, т.е:
.
Данный метод измерения является самым распространенным, особенно в
производственных условиях.
2. Метод сравнения с мерой заключается в сравнении измеряемой вели-
чины с величиной, воспроизводимой мерой. Мера – это средство измерений,
воспроизводящее величину известного размера. Примерами мер являются гири,
измерительные резисторы, измерительные конденсаторы, измерительные линейки и др.
3. Дифференциальный метод заключается в сравнении с мерой; но по
этому методу на измерительное устройство воздействует разность между измеряемой величиной и известной величиной, воспроизводимой мерой.
В методе сравнения с мерой и в дифференциальном методе сравнение
осуществляется различными путями, но специфическим средством сравнения
величин являются так называемые компараторы. Примером наиболее распространенных компараторов служат обычные равноплечие чашечные весы.
4. Нулевой метод представляет собой метод сравнения с мерой, в котором
результирующий эффект воздействия величин на прибор сравнения доводят до
нуля. При этом методе измерительный прибор служит для непосредственного
сравнения измеряемой величины с величиной, значение которой известно. При
этом в момент достижения равновесия показание прибора становится равным
нулю. Нулевой метод обладает высокой точностью и широко применяется при
технологических измерениях.
В метрологии используются также методы замещения, противопоставления и совпадения, не получившие, однако, заметного распространения в технологических измерениях.
83
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
xxx
изм
изм
x
100/ xxxx
изм
При измерении любой физической величины с помощью различных
средств измерений, как бы тщательно ни осуществлялся этот процесс, невозможно получить свободный от искажений результат. Причины этих искажений
различные. Они могут возникать вследствие несовершенства применяемых методов измерений, средств измерений, изменения условий измерений и ряда
других причин. Искажения, которые сопровождают всякое измерение, обусловливают погрешности измерений – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешности могут выражаться в виде абсолютных и относительных погрешностей измерений.
Абсолютная погрешность измерения представляет собой погрешность,
выражаемую в единицах измеряемой величины и определяемую по формуле:
,
где
– значение, полученное при измерении; x – истинное значение измеряе-
мой величины.
Поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике можно найти лишь приближенную оценку погрешности измерения. В качестве истинного значения измеряемой величины условно принимают значение, которое называют действительным и полученное с помощью
эталона, а также метода или прибора более высокой точности, чем применяемые при измерениях.
Относительная погрешность измерения представляет собой погреш-
ность, которая определяется как отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины. Она может быть выражена в
процентах:
.
Погрешности измерений в зависимости от причин, их вызывающих, подразделяются на систематические, случайные и грубые.
Под систематической погрешностью понимают составляющую погреш-
ностей измерений, которая остается постоянной или закономерно изменяется
84
при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические по-
грешности возникают при несоответствии действительного значения меры, с
помощью которой производят измерение, ее номинальному значению. Такие
погрешности могут возникать, например, при постепенном уменьшении силы
рабочего тока в цепи электроизмерительного потенциометра. К систематиче-
ским относятся также погрешности метода измерений, инструментальная по-
грешность, погрешность отсчитывания, погрешность интерполяции и некото-
рые другие, выявляемые в результате многократных наблюдений. Системати-
ческие погрешности неизбежны, однако влияние их можно устранить или ис-
ключить путем введения соответствующих поправок, тщательной регулировкой, компенсацией и т. п.
Наиболее распространенными видами систематических погрешностей являются методические и инструментальные погрешности. Методические по-
грешности зависят от выбранного метода измерения, а также могут проявляться
при неправильной установке измерительного устройства. Инструментальные
погрешности возникают от конструктивных недостатков измерительного
устройства, отклонений его параметров и характеристик вследствие неточности
изготовления, под влиянием различных внешних условий, вследствие естественного старения материалов и т. п.
Поправкой называют значение величины, одноименной с измеряемой,
прибавляемое к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности.
Под случайной погрешностью понимают составляющую погрешностей
измерений, изменяющуюся случайно при повторных измерениях одной и той
же величины. Возникают они вследствие вариации показывающего измерительного прибора, округления при отсчитывании показаний, влияния температуры окружающей среды и вибраций, наличия посторонних электромагнитных
полей и т. п. Для учета влияния случайных погрешностей одну и ту же величину измеряют много раз, а результаты измерений обрабатывают с помощью спе-
85
циальных математических методов. С помощью теории вероятностей и методов
1/ xx
210
4
10
математической статистики случайные погрешности могут быть оценены количественно.
Под грубой погрешностью понимают составляющую погрешностей измерений, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях. При обработке результатов измерений грубые погрешности, как правило, отбрасываются и не учитываются.
Качество измерений может быть оценено не только наличием погрешностей, но также точностью, правильностью, сходимостью и воспроизводимостью
измерений.
Точность измерений – это качество измерений, отражающее близость их
результатов к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность
измерений соответствует малым погрешностям всех видов: как систематических, так и случайных. Количественно точность может быть выражена обратной величиной модуля относительной погрешности:
.
равна
Таким образом, если погрешность измерений составляет
.
%, точность
Правильность измерений – это качество измерений, отражающее близость к нулю систематических погрешностей; сходимость измерений – близость результатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях, а воспро-
изводимость измерений – близость результатов измерений, выполненных в
различных условиях (в разное время, в разных местах, разными методами и
средствами).
Повышение точности результатов измерений является одной из важнейших задач метрологии. Однако в ряде случаев оно возможно лишь при использовании методов математической обработки измерительной информации и
применении средств вычислительной техники. Использование математических
методов позволяет повысить точность результатов измерений даже в тех случаях, когда в качестве источников информации применяются средства измерений,
86
не обеспечивающие необходимой точности в обычных условиях. Максималь-
___
X
n
xxx ,...,,
21
n
i
i
x
n
X
1
___
1
n
___
X
2
2
2/
2
1
mx
i
exf
i
x
ная точность результатов измерений на основе информации, полученной в процессе эксперимента, может быть достигнута путем использования при их обработке методов теории вероятностей и математической статистики.
Одним из вопросов, связанных с повышением точности результатов измерений, является оценка влияния на них случайных погрешностей. Случайные
погрешности, как известно, представляют собой погрешности, изменяющиеся
неопределенным образом как по величине, так и по знаку. Происходят они от
совместного проявления многих причин. В значительной степени влияние этих
причин неустранимо. Вследствие случайных погрешностей истинное значение
измеряемой величины поэтому неизвестно. При подсчете случайных погрешностей за измеренное значение на практике часто принимают среднее арифмети-
ческое
из полученных n измерений
, т. е.
.
При
среднее арифметическое
является наиболее близким к ис-
тинному значению и определяет математическое ожидание m случайной величины X.
Как и большинство встречающихся в практике случайных величин, случайные погрешности могут быть охарактеризованы с помощью основных понятий и характеристик теории вероятностей.
При большом числе различных независимых причин, вызывающих появление случайных погрешностей, плотность распределения их подчиняется нормальному закону распределения, или закону Гаусса, который выражается следующим уравнением:
,
где – среднее квадратическое отклонение величины X; m – математическое
ожидание измеряемой случайной величины X.
При этом X – некоторая непрерывная измеряемая случайная величина, а
(i=1,2,…,n) – ее частные реализации.
87
Среднее квадратическое отклонение:
n
i
i
Xx
n
1
2
___
1
1
2
2
XD
2
2
2/
2
1
mx
i
exf
d
d
eP
0
2
2
2
2
2
.
Квадрат среднего квадратического отклонения
называется дисперсией:
,
которая является количественной характеристикой разброса результатов измерений вокруг истинного значения.
Математическое ожидание m случайной величины является истинным зна-
чением измеряемой величины при отсутствии систематических погрешностей.
Нормальный закон распределения случайных погрешностей изображен на
рис. 22. Из кривой видно, что при большом числе повторных измерений в од-
них и тех же условиях для результатов этих, измерений частота появления тех
или иных значений случайных погрешностей подчиняется устойчивым закономерностям.
Рис. 22. Кривая нормального распределения случайных погрешностей
Вероятность того, что погрешности измерений не превосходят некоторо-
го значения , т.е. лежат в пределах от – до +, может быть найдена (учиты-
вая симметричность кривой нормального распределения) путем интегрирова-
ния уравнения
:
.
88
Произведя замену переменной
z
zФdzeP
z
z
2
2
2
0
2
2
dzezФ
z
z
0
2
2
2
1
2
XD
f
nк
n
n
n
n
n
___
X
n
i
i
X
Xxn
n
n
1
2
___
1
1
___
, получим
.
Функция
,
которую называют нормальной функцией распределения, или нормированной
функцией Лапласа, находится по стандартным таблицам, составленным для
различных значений z.
Приравняв вторую производную уравнения
нулю, можно опре-
делить, что перегиб кривой распределения (см. рис. 22) происходит в двух точках, симметричных относительно оси ординат
при значениях
.
Эти точки перегиба разделяют все случайные погрешности на две обла-
сти – часто и редко встречающиеся. Для числа измерений
ных погрешностей лежит ниже данного значения
ким образом, параметр
однозначно характеризует форму кривой распреде-
, а 31,7% – выше него. Та-
ления случайных погрешностей. При этом малому значению
68,3% случай-
соответствуют
малые случайные погрешности, а вместе с тем и более высокая точность измерений данной величины; при большем значении
чаще встречаются большие
случайные погрешности, следовательно, точность измерения ниже.
Для оценки достоверности результата измерения, принимаемого равным
среднему значению
, применяют показатель точности, который согласно тео-
рии погрешности в n раз меньше оценки среднего квадратического отклонения результата отдельного измерения, т. е.
.
Найденный по этой формуле параметр, характеризующий среднюю квад-
ратическую погрешность, позволяет оценить точность каждого отдельного измерения, выполняемого тем же прибором или измерительной установкой и в
тех же условиях.
89
На практике в качестве оценок точности измерений принимают довери-
3
2
3
___
X
n
i
i
x
n
X
1
___
1
___
Xxii
___
X
___
X
д
X
x
___
X
S3
n
i
i
n
n
n
E
1
2
1
3
2
тельный интервал с границами, равными средней квадратической погрешности
, вероятной погрешности
или предельной погрешности
, и со-
ответствующие им доверительные вероятности (надежности оценки), которые
используются при расчетах, поверках и градуировках.
При измерениях бывает важен не только результат, но и возможные от-
клонения действительного значения от этого результата, т. е. оценка интервала,
в котором может находиться действительное значение с известной вероятностью. Для этого необходимо знать среднюю квадратическую погрешность измерения и иметь возможность оценивать ее величину.
Часто возникает также задача повышения точности результата измерения
на основе выполнения n (иногда нескольких десятков или сотен) измерений.
При этом первым этапом является освобождение результатов измерений от систематических погрешностей путем введения соответствующих поправок. За-
тем находят среднее арифметическое значение
по формуле
и
остаточные погрешности:
.
За результат измерения в этом случае принимается среднее значение ве-
личины
, которое является наиболее достоверным значением измеряемой ве-
личины X. Случайная погрешность среднего значения, очевидно, с увеличением
n будет стремиться к нулю. При этом точность среднего
ясь к действительному значению измеряемой величины
тических погрешностей. Так как средняя квадратическая погрешность
него арифметического результата измерения
в n раз меньше средней квад-
растет, приближа-
, если нет система-
сред-
ратической погрешности отдельного измерения, вероятная Е и предельная
погрешности среднего арифметического ряда измерений по сравнению с
аналогичными оценками отдельных измерений будут вычислены по формулам:
;
90
n
i
i
n
n
n
S
1
2
13
3
3
.
___
X
EX
___
___
X
zФdzeP
z
z
2
2
2
0
2
2
n
i
i
X
Xxn
n
n
1
2
___
1
1
___
dzemXP
z
z
0
2/
___
2
2
1
___
/Xnz
___
X
n
i
i
X
Xxn
n
n
1
2
___
1
1
___
___
X
Оценка случайных погрешностей среднего арифметического значения
так же как оценки погрешностей отдельных измерений, не может служить в качестве поправки, как это возможно для систематических погрешностей.
Результат многократного измерения дается в следующем виде:
,
где
и Е выражаются в абсолютных единицах.
Приведенные выше основные положения о случайных погрешностях и
нормальности их распределения позволяют оценивать точность результатов
измерений, а также решать ряд других задач, связанных с оценкой случайных
погрешностей.
При оценке точности прямых равноточных измерений, к которым отно-
сятся измерения, если условия проведения каждого последующего остаются
,
неизменными, наиболее распространенными являются постановка и решение
трех задач, рассмотренных ниже.
Исходя из уравнений
и
, получаем
;
,
где – погрешность среднего арифметического значения (результата измерения).
Данные уравнения позволяют при известной величине
по формуле
, установить связь между сред-
, определяемой
ним числом повторных измерений n, погрешностью результатов измерений и
вероятностью Р попадания среднего значения
данной выборки в заданный
доверительный интервал, т. е. от (m - ) до (m + ).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]