Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы сертификации, стандартизации и управления качеством продукции. Учебное пособие
.pdf
41
Вероятностная оценка работоспособности системы в течение заданного
Система
Подсистема
Суперсистема
Элементы
Подсистема
Система
Подсистема
Система
времени, поскольку на развитую систему воздействует множество случайных факторов (моменты появления отказов, длительность ремонта и
т.д.).
Учет времени работоспособности ее элементов, которое задается пред-
приятием-производителем и качеством сборки системы.
Системой называется множество взаимосвязанных элементов, объединенных общей целью функционирования. Элементы, в свою очередь, могут
рассматриваться как подсистемы, а сама система как один из элементов более
широкой суперсистемы. Для любой системы характерно наличие интегративных свойств, присущих системе в целом, но не свойственных ни одному из ее
элементов (энерджентность). Следовательно, система не сводится к простой совокупности элементов, а есть новое качество, определенное взаимодействием
ее элементов и связей между ними (рис. 10). Вся совокупность существующих в
мире систем является суммой вложенных систем по тому или иному критерию.
Рис. 10. Структура вложенных систем
Для любой системы характерно наличие существенных связей между ее
элементами, превосходящих по силе связи этих элементов с элементами, не
входящими в данную систему. Это позволяет выделить систему в виде целост-
42
ного объекта из окружающей среды. "Оборванные" связи при этом заменяются
Х
Y
Выход
Вход
на входные и выходные системы (рис.11). Изучение любой системы предполагает создание модели системы (математической или экспериментальноаналоговой), позволяющей предсказывать ее поведение в определенном диапазоне условий.
Рис. 11. Выделение системы из окружающей среды
Надежностью называется свойство системы выполнять заданные функ-
ции с сохранением эксплуатационных показателей в течение принятого времени эксплуатации.
Существуют два пути создания надежных систем:
повышение качества их элементов;
резервирование элементов систем.
Надежность характеризуется долговечностью – свойством сохранения
работоспособности до окончания кампании эксплуатации (гарантийный срок
для бытовых изделий). Вторая важнейшая характеристика – ремонто-
пригодность (сложность, оперативность и стоимость ремонтов). Основной показатель – время восстановления вышедших из строя элементов – τ
рем.
2.2. Элементы теории вероятностей
Поскольку технологические системы характеризуются количеством параметров, части из которых однозначно определять невозможно, детерминтированная оценка безотказной работы технологических систем заменяется вероятностной.
43
Как известно, события подразделяются на детерминированные и случай-
nmPaa
862 зkmm
зкзкзк
PPnmmP
15/8/
3666 n
36/16/16/1
1111
PPP
ные. Пример первых – горение лампочки при воздействии на выключатель, вторых – выпадение какого-либо из шести чисел при бросании кубика. Действительно, при подбрасывании кубика выпадает случайно одна из шести цифр, т.е.
варианты исходов равновозможны. Будем называть благоприятными исходы,
при которых получается необходимый нам результат (например, выпадение пятерки). Будем называть исходы несовместными, если появление одного исклю-
чает другой. Тогда вероятностью события А называется отношение числа бла-
гоприятных исходов mа к общему числу несовместных, но равновозможных n:
.
Пример. В мешке 7 белых, 2 зеленых и 6 красных шариков. Вероятность
"слепого" выбора: для белого 7/15, для зеленого 2/15, для красного 6/15. Какова, однако, вероятность того, что взятый из мешка шар будет либо красным,
либо зеленым:
Число благоприятных исходов
;
.
Итак, вероятность того, что произойдет какое-либо из нескольких несов-
местных событий равна сумме вероятностей рассматриваемых событий.
Предположим теперь, что мы подбрасываем одновременно два кубика.
Вероятность одновременного выпадения единиц равна отношению единственного благоприятного исхода к общему числу несовместных
.
;
Итак, вероятность того, что произойдут одновременно несколько несовместных событий, равна произведению вероятностей этих событий.
Если выполнять несколько серий бросаний кубика по 100 экспериментов
каждая, то появление, скажем, единички в разных сериях частота ψ будет меняться случайным образом около значения 1/6.
44
100
1
/m
61/p
nM 100/
1
)/(lim nmP
a
na
0 1 2 3 4 5 6 7 Номер серии
Рис.12. Постоянное число вариантов в серии
Причем отклонения числа благоприятных исходов вверх и вниз будут
взаимно уравновешиваться. Это следствие равноправия каждой серии.
Будем теперь рассматривать каждую новую серию как объединение всех
предыдущих. Тогда получим снижение амплитуды колебаний частоты (рис. 13):
.
1
6
0 1 2 3 4 5 Число серий n
Рис. 13. Серии с нарастанием бросаний
Можно сказать, что при увеличении числа испытаний частота появления
случайного события приближается к его вероятности. Итак, вероятность благоприятного исхода из множества событий можно определить частотным образом:
.
45
Таким образом, вероятность легко определяется из опыта на основе набо-
m
xxx ,...,
21
m
PPP ,...,
21
1
n
1
x
2
n
2
x
m
nnnn ...
21
n
x
n
n
x
n
n
x
n
nnn
xnxnxn
x
m
m
mm
22
2
1
1
21
2211
...
...
...
n
1i
ii
xPx
i
x
x
0)(
111
xxPxxPxxPxx
m
i
i
m
i
ii
m
i
ii
ра статистических испытаний.
2.3. Дискретные случайные величины
Предположим, что в некоторой партии из ста изделий забраковано 11, в
другой – 9 и т.д. Здесь число бракованных изделий m в партии из полного числа
изделий n является случайной величиной. Величина, значения которой изменяются случайным образом от одного испытания к другому, называется случай-
ной. Это дискретная случайная величина, для которой задается ряд распределения по испытаниям.
Рассмотрим некоторую дискретную величину ξ, которая может прини-
мать m значений:
c различной вероятностью
. Для оценки и
прогноза ситуации связанной с величиной ξ достаточно знать две наиболее
важные характеристики случайной величины – ее математическое ожидание и
дисперсию.
Математическое ожидание – среднее значение случайной величины ξ в
большом числе статистических испытаний. Действительно, произведя n независимых испытаний, мы получим
падения
и т.д. Причем
вариантов выпадения
. Тогда среднее арифметическое зна-
,
вариантов вы-
чение величины ξ:
;
при
получим:
.
Кроме величины среднего значения ξ, важно знать, насколько конкретные
значения
отклоняются от среднего
, т.е. получить характеристику раз-
броса значений (чем меньше разброс, тем точнее можно предсказать случайную
величину). Простое среднее отклонение не годится.
Действительно:
.
46
Поэтому рассматривается среднее значение квадрата отклонения случай-
.2
2)()(
22222
1 1 1
22
1
22
xxxxx
PxxPxxPxxPxxД
m
i
m
i
m
i
iiiii
m
i
ii
22
xxД
i
x
ξ
1
x
2
x
…
m
x
Р
1
P
2
P
…
m
P
21
ДД
12
xx
Д1
Д2
ной величины, т.е. дисперсия.
А также среднеквадратичное отклонение
Итак, мы можем задать закон распределения случайной величины – связь
.
между ее возможными значениями
и соответствующими им вероятностями.
Для дискретной величины он заменяется рядом распределения, задаваемым
таблицей 1.
Таблица 1
Соответствия численных значений величины ξ и вероятностей Р
Для законов распределения вероятностей непрерывной случайной величины могут реализоваться случаи, показанные на рис. 14 и 15.
Р
0 <x1> <x2> x
Рис. 14. Распределения при
и
47
Р
12
xx
21
ДД
12
xx
i
P
i
x
1
i
P
xx
i
i
PxF )(
xxi
i
P
i
x
1
x
2
x
3
x
m
x
Д2
Д1
0
Рис. 15. Распределения при
Очевидно, что сумма всех вероятностей
х
и
появления значений
слу-
чайной величины ξ равна 1:
.
Функцией распределения дискретной случайной величины ξ называется
функция
.
Здесь суммирование проводится по всем i, для которых удовлетворяется
неравенство
(сумма вероятностей появления какого-либо из значений
случайной величины ξ (х) меньшего х). Таким образом, F(x) является ступенчатой функцией со скачками высотой
в точках
(рис. 16).
F(х)
1
Рm
Р3
Р2
Р1
0
x
Рис.16. Функция распределения дискретной случайной величины
48
2.4. Биноминальное распределение и форма Бернулли
n
qp )(
222
2 pqpq)pq(
32233
33 pqppqq)pq(
,......
...
!
)1)...(1(
...)(
11110
11
nn
n
nn
n
mmnm
n
n
n
n
n
nnmmnnnn
pCqpCpqCpqCqC
pnqppq
m
mnnn
pnqqpq
m
n
C
mnmqp
m
n
C
mnmqp
mnmm
n
mnmm
nn
ppCqpCmp
)1()(
m
n
C
Алгебраическое выражение
называется биномом Ньютона n-й сте-
пени. Оно является моделью любого статистического испытания с вероятностью успеха в каждом опыте Р и вероятностью q.
Из школьного курса известны биномы 2-й и 3-й степени:
.
Здесь по одному сочетанию qр и рр, но две переставили рq и qр:
.
Перестановки: qqp, qpq, pqq, а также ppq, pqp, qpp.
В общем случае бином Ньютона записывается
где
– сочетание из n элементов по m.
Допустим, нами производится серия из n испытаний. Найдем вероятность
того, что некоторое событие произойдет m раз (например, из n одинаковых изделий окажется m бракованных), если вероятность появления единичного события р. Тогда очевидно, вероятность его непоявления q.
Допустим, интересующее нас событие (брак) появилось во всех первых m
испытаниях и не появилось в оставшихся n-m испытаниях. Вероятность такой
ситуации ввиду одновременности всех указанных событий подчиняется теореме об умножении вероятностей и равна
. Возможны и другие распределе-
ния, появления m раз интересующего нас события, причем общее количество
возможностей – число сочетаний из n элементов по m, т.е.
вариантов имеет вероятность
. Вероятность появления хотя бы одного из
. Каждый из этих
данных вариантов подчиняется теореме суммирования вероятностей.
Тогда
А поскольку в теории чисел выведена формула для
.
:
49
)!(!
!
mnm
n
C
m
n
,
mnmm
n
pp
mnm
n
p
)1(
)!(!
!
mi
mnmm
nn
qpCxF )(
npmmPm
n
m
n
0
)(
npqmmД
22
,
2
1
)(
Д
n
e
Д
mP
npq
npm
Д
2
)(2
np
m
n
e
m
np
mP
!
)(
)(
то получим:
.
Эту формулу, выведенную Бернулли, называют биномиальным распределением вероятностей случайных величин.
При этом функция распределения
.
Математическое ожидание биномиального распределения
.
Дисперсия такой случайной величины
.
Очевидно, что при больших n использование формулы Бернулли неудобно, так
как связано с трудоемкими вычислениями.
Для подобных случаев выведена предельная формула Бернулли:
где
.
Для случаев, когда р<<1 – закон редких явлений, получено распределение
Пуассона:
.
2.5. Ограничение случайных воздействий на систему
Любая система массового обслуживания (телефонная станция, междуна-
родная сеть Интернет, распределительные сети, тепловые или газовые) предназначена для выполнения некоторого потока заявок. СМО имеет одну или несколько обслуживающих единиц связности – каналов обслуживания (рис. 17).
Эффективность системы обслуживания зависит от:
числа каналов обслуживания;
количественно выраженного потока заявок;
длительности обслуживания одной заявки.
50
Р
УУ
У
СМО
)(xfy
Z
вх.(х)
ОС
Рис.17. Простейшая схема СМО:
УУ – управляющее устройство; У – входной сигнал; Z – выходной сигнал;
Р
– случайные возмущения; ОС – обратная связь
вх.(х)
Вполне очевидно, что если бы все процессы в СМО и ее периферии были
строго детерминированы, то управление не имело бы выбора и, строго говоря,
вырождалось бы. В реальности алгоритм управления СМО требует ограничения
случайных воздействий, их вероятностного прогнозирования на основе обработки статистической информации.
2.6. Метод наименьших квадратов при выявлении парной
корреляции
Имеются два вида неопределенностей:
подчиняющиеся стохастическим зависимостям;
имеющие скрытую связность.
Для погашения стохастических отклонений используют рандолизацию
статистической выборки, выбирают значения величин, характеризующих СМО
методом случайных чисел. Определение внутренних связей требует выявления
регрессионных зависимостей. Простейшей из них называется парная зависи-
мость типа
.
В инженерной практике часто возникает следующая задача. Имеется со-
вокупность экспериментальных значений некоторой выходной величины у в
зависимости от х. Эта совокупность по нерандолизации задается в виде n опытных точек и может быть представлена в виде табл. 2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]