Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.В. ТКАЧЕНКО
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2019
2
УДК 517(07)
Т 484
Рецензенты:
кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин Липецкого
филиала ФГБОУ ВО «Российская академия народного хозяйства и
государственной службы при Президенте Российской Федерации»
Т.П. Фомина, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математики и физики
ФГБОУ ВО ЛГПУ имени П.П. Семенова-Тян-Шанского
Ткаченко, С.В.
Т 484 Основные определения и теоремы теории функций комплексного
переменного [Текст]: учеб. пособие / С.В. Ткаченко. – Липецк: Изд-во
Липецкого государственного технического университета, 2019. – 80 с.
ISBN 978-5-88247-897-0
Пособие содержит справочный материал по теории функций
комплексного переменного, включая понятие аналитической функции,
непрерывности, дифференцирования, интегрирования функции, разложение в
функциональные ряды и анализ особых точек. Теоретический материал
подкреплѐн примерами.
Данное пособие может быть рекомендовано студентам направлений
01.03.04 «Прикладная математика», 01.03.03 «Механика и математическое
моделирование», 27.03.03 «Системный анализ и управление», а также
аспирантам и преподавателям.
Табл. 5. Ил. 42. Библиогр. 9 назв.
УДК 517(07)
Печатается по решению редакционно-издательского совета ЛГТУ
ISBN 978-5-88247-897-0
© ФГБОУ ВО «Липецкий
государственный технический
университет, 2019
© Ткаченко С.В., 2019
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ....................................................................................................................... 4
1. Понятие комплексного числа ................................................................................. 5
1.1. Множества чисел .............................................................................................. 5
1.2. Множество комплексных чисел C .................................................................. 7
1.3. Формы записи комплексного числа ............................................................... 8
1.4. Действия над комплексными числами ........................................................... 9
2. Понятие функции комплексного переменного (ФКП) ...................................... 13
2.1. Область определения и область значений ФКП ......................................... 13
2.2. Множества на комплексной плоскости ........................................................ 14
2.3. Предел и непрерывность ФКП ...................................................................... 16
3. Производная ФКП ................................................................................................. 18
4. Условия Коши – Римана (Даламбера – Эйлера) ................................................ 19
5. Гармонические функции ....................................................................................... 21
6. Элементарные и обратные ФКП .......................................................................... 23
7. Геометрический смысл производной ФКП ........................................................ 26
8. Понятие о конформном отображении ................................................................. 28
9. Простейшие отображения .................................................................................... 30
9.1. Целая линейная функция ............................................................................... 30
9.2. Отображение относительно окружности единичного радиуса ................. 32
9.3. Дробно-линейная функция ............................................................................ 38
10. Интегрирование ФКП ......................................................................................... 42
11. Интеграл Коши .................................................................................................... 49
12. Равномерно сходящиеся ряды ФКП .................................................................. 53
12.1. Числовые ряды .............................................................................................. 53
12.2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость ................................... 54
12.3. Степенные ряды ............................................................................................ 55
12.4. Ряд Тейлора ................................................................................................... 57
13. Нули аналитических функций ........................................................................... 61
14. Ряд Лорана ............................................................................................................ 64
15. Изолированные особые точки ФКП .................................................................. 71
Библиографический список ...................................................................................... 79
4
ВВЕДЕНИЕ
Пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего образования для студентов специальностей и
направлений, изучающих теорию функций комплексного переменного.
Предполагается, что перед изучением курса «Теория функций
комплексного переменного» читатели освоили материал курсов
«Математический анализ» и «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Пособие включает справочный материал по основным темам: понятие
комплексного числа, понятие функции комплексного переменного, предел и
производная функции комплексного переменного, элементарные и обратные
функции, интегрирование функции комплексного переменного, ряд Тейлора,
ряд Лорана. Также введены понятия аналитической функции, гармонической
функции, нулей аналитической функции, изолированных особых точек,
указаны условия Коши-Римана, разъяснен геометрический смысл модуля и
аргумента производной, рассмотрены некоторые простейшие отображения.
В начале каждой темы приводятся теоретические сведения: определения,
теоремы, следствия, формулы. Далее приводятся примеры, разъясняющие
смысл понятий и утверждений.
Приведенные в пособии методы решения задач применяются в таких
дисциплинах, как «Операционное исчисление», «Дифференциальные
уравнения», «Математическое моделирование», «Теория управления»,
«Теоретическая механика».
5
1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
...},3,2,1{N
...},3,2,1,0{
0
N
...},3,2,1{NZ
}1,2,3{...,
Z
...},3,2,1,0,1,2,3{...,}0{
ZZZ
b
a
0b
0,,,| bba
b
a
xx ZQ
1.1. Множества чисел
Понятие «множество» было введено для математического описания
различных совокупностей, состоящих из элементов, которые обладают общими
чертами или свойствами.
Числовые множества – множества, элементами которых являются числа.
Рассмотрим основные множества чисел.
Множество натуральных чисел состоит из чисел, используемых при
счѐте (перечислении) предметов:
.
Множество натуральных чисел с включѐнным нулѐм состоит из чисел,
используемых для обозначения количества предметов:
.
Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, числа
противоположные натуральным (т.е. с отрицательным знаком) и ноль:
- целые положительные числа:
;
- целые отрицательные числа:
;
тогда
.
Множество рациональных чисел состоит из чисел, представляемых в
виде обыкновенной дроби
, где a и b – целые числа и
:
.
При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется
конечной или бесконечной периодической дробью.
6
Пример.
Q
5
3
Q25,2
Q )36(,2...363636,2
11
26
I ...2360679,25
I ...3,1415926 5
I 84590...2,71828182e
IQR
},|{ RC yxiyx
C i62
Ci10
C i011
CRQZNN
0
IQR
C R Q
Z
N
0
N
I
,
,
.
Множество иррациональных чисел состоит из чисел, которые
представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: I.
Пример.
,
,
.
Множество действительных (вещественных) чисел есть объединение
рациональных и иррациональных чисел:
.
Множество комплексных чисел включает в себя множество
действительных чисел и бесконечное множество других чисел, которые
действительными не являются
,
где i − мнимая единица.
чисел.
Пример.
,
,
.
На рис. 1.1 представлена диаграмма отношений между множествами
Рис. 1.1. Отношения между множествами чисел
Таким образом,
и
.
7
1.2. Множество комплексных чисел C
iyxz
12i
)Re(zx
)Im(zy
ibaz
);( baM
)Im(),Re( zyzx
iyxz
);( yxOMr
22
|| yxzr
zarg
];(
)2;0[
111
iyxz
222
iyxz
212121
, yyxxzz
iyxz
iyxz
00 iz
Комплексным числом называют выражение вида
действительные числа, i – мнимая единица,
Множество комплексных чисел обозначается через С (от лат. complex –
тесно связанный). При этом
1)
2)
Всякое комплексное число
– действительная часть числа (от англ. real),
– мнимая часть числа (от англ. imaginary).
можно изобразить точкой
плоскости хОу такой, что
, где х и у –
.
(рис. 1.2).
Рис. 1.2. Геометрическое изображение комплексного числа
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью.
Ось абсцисс (х) – действительная ось, ось ординат (у) – мнимая ось.
Комплексное число
также изображают с помощью радиус-вектора
. В этом случае
1)
2)
– аргумент комплексного числа – величина угла между
– модуль комплексного числа – длина вектора r;
положительным направлением действительной оси и вектором r. При этом
или
Два комплексных числа
.
и
равны, если равны их
действительные и мнимые части, т.е.
.
Комплексные числа называются сопряжѐнными, если их действительные
части равны, а мнимые части противоположны по знаку:
Комплексное число
называется нулѐм и совпадает с нулѐм
множества действительных чисел.
и
.
8
1.3. Формы записи комплексного числа
iyxz
Ryx,
)sin(cos
irz
22
|| yxzr
x
y
yx
y
ry
yx
x
rx
tg,sin,sin,cos,cos
2222
;0,0,2arctg
,0,0,arctg
,0,0,arctg
,0,0,arctg
yx
x
y
yx
x
y
yx
x
y
yx
x
y
.0,0,
2
3
,0,0,
2
,0,0,
,0,0,0
xy
xy
yx
yx
i
e
.sincos...
!5!3!1
...
!6!4!2
1
...
!7!6!5!4!3!2!1
1
...
!7
)(
!6
)(
!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)(
!1
1
!
)(
53642
765432
765432
0
ii
iiii
iiiiiii
n
i
e
n
n
i
sincos ie
i
i
rez
Алгебраическая форма
Запись комплексного числа в виде
формой. При этом
.
Тригонометрическая форма
Запись комплексного числа в виде
тригонометрической формой. При этом
называется алгебраической
называется
, (1.1)
, (1.2)
(1.3)
Показательная форма
Разложим функцию
в ряд Маклорена
Известно, что формула
называется формулой Эйлера.
получим показательную форму записи
Тогда, используя тригонометрическую форму записи и формулу Эйлера,
. (1.5)
. (1.4)
9
1.4. Действия над комплексными числами
111
iyxz
222
iyxz
)(
212121
yyixxzz
)(
212121
yyixxzz
)()(
1221212121
yxyxiyyxxzz
1)00()10()10)(10( iiiii
)0(,
2
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
z
yx
yxyx
i
yx
yyxx
z
z
.54,23
21
iziz
21
zz
21
zz
21
zz
2
1
z
z
iizz 31)52(43
21
iizz 77)52()4(3
21
iiiiiizz 52)4(253)4(3)54)(23(
21
iiiii 2322310121081512
2
41
722
2516
1081512
)54)(54(
)54)(23(
54
23
2
1
iii
ii
ii
i
i
z
z
i
41
7
41
22
Арифметические операции над комплексными числами, заданными
в алгебраической форме,
1. Сложение
2. Вычитание
3. Умножение
4. Деление
Пример. Даны комплексные числа
,
.
. (1.6)
. (1.7)
; (1.8)
.
. (1.9)
Найти: а)
а)
б)
в)
г)
, б)
, в)
, г)
.
Решение:
;
;
;
.
10
Арифметические операции над комплексными числами, заданными в
)sin(cos),sin(cos
22221111
irzirz
)]sin()[cos(
21212121
irrzz
)]sin()[cos(
2121
2
1
2
1
i
r
r
z
z
Z nninrirz
nnn
),sin(cos)]sin(cos[
1...,,2,1,0,
2
sin
2
cos)sin(cos
nk
n
k
i
n
k
rirz
n
n
n
iziz 8,3
21
21
zz
2
1
z
z
24
1
z
3
2
z
21)3(,01,03,3
22
1111
ryxiz
6
5
6
3
1
arctg
1
8)8(0,08,0,808
22
2222
ryxiiz
2
3
2
,
2
3
sin
2
3
cos8,
6
5
sin
6
5
cos2
21
iziz
3
sin
3
cos16
2
3
6
5
sin
2
3
6
5
cos82
21
iizz
ii 388
2
3
2
1
16
тригонометрической форме,
1. Умножение
2. Деление
3. Возведение в степень. Формула Муавра
4. Извлечение корня
Пример. Комплексные числа
.
. (1.10)
. (1.11)
. (1.12)
. (1.13)
представить в
тригонометрической форме и найти: а)
Решение:
представим комплексные числа в тригонометрической форме
;
а)
;
, б)
, в)
, г)
.
,
,
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]