Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
51
Если
0
0)]()([lim
2
0
0
0
dzfzf
)(20
)()(
0
00
zif
zz
dzzf
zz
dzzf
Г
Г
zz
dzzf
i
zf
0
0
)(
2
1
)(
)(zf
n
ГГ ...,,
1
n
k
ГГ
k
zz
dzzf
izz
dzzf
i
zf
1
00
0
)(
2
1)(
2
1
)(
n
ГГ ...,,
1
Г
Г1 Г2 Г
п
, то
Таким образом,
Откуда получаем
Доказательство завершено.
.
.
.
С помощью формулы (11.1) значение функции
внутри области
выражается через еѐ значения на границе области.
Пусть область D ограничена внешним, ориентированным против часовой
стрелки контуром Г и внутренними, ориентированными по часовой стрелке
контурами
(рис. 11.2). Тогда имеет место формула Коши для
сложного контура
. (11.3)
Рис. 11.2. Область D, ограниченная внешним контуром Г и внутренними
контурами
52
Пример. Вычислить интеграл
2|3|4z
z
z
dze
2|3| z
40z
z
ezf )(
4
0
2|3|
2)(2
4
eizfi
z
dze
z
z
)(zf
Rzz ||
0
2
0
00
)(
2
1
)( deRzfzf
i
i
eRzz
0
]2;0[
deiRdz
i
2
0
0
2
0
0
0
)(
2
)(
2
1
)( deRzf
i
i
eR
deiReRzf
i
zf
i
i
ii
2
0
0
)(
2
1
deRzf
i
требуется вычислить интеграл по окружности радиуса 2 с центром в
точке 3 (рис. 11.3).
.
Решение:
Точка
Рис. 11.3. Контур: окружность
попадает в область, ограниченную заданным контуром. В
этом случае применима формула Коши (11.2), где в качестве числителя
подынтегрального выражения возьмѐм функцию
.
Теорема 11.2 (теорема о среднем). Пусть функция
дифференцируема в круге
и непрерывна на его границе. Тогда
значение этой функции в центре круга равно среднему арифметическому еѐ
значений на окружности
. (11.4)
Доказательство. Сделаем замену
. По формуле Коши (11.1)
Доказательство завершено.
,
. Тогда
.
53
12. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФКП
1k
k
a
}{ka
}{nS
n
k
kn
aS
1
}{nS
n
nSS
lim
0lim
nn
a
1||k
k
a
q
a
a
n
n
n
1
lim
1q
1q
qa
n
n
n
||lim
1q
1q
12.1. Числовые ряды
Числовой ряд с комплексными членами имеет вид
, (12.1)
где
– заданная числовая последовательность с комплексными членами.
Ряд (12.1) называется сходящимся, если сходится последовательность
его частичных сумм
Предел S последовательности
.
называют суммой ряда (12.1)
.
Необходимое условие сходимости ряда:
.
Ряд (12.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из
модулей (12.2)
. (12.2)
Для исследования сходимости ряда с комплексными членами обычно
рассматривают ряд с действительными членами, являющимися модулями
членов исходного ряда.
Достаточное условие сходимости ряда с действительными
положительными членами определяется по признакам Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Рассмотрим предел
.
Ряд (12.2) сходится, если
, и расходится, если
.
Признак Коши. Рассмотрим предел
.
Ряд (12.2) сходится, если
, и расходится, если
.
54
12.2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость
)}({ zu
n
1)(n
n
zu
Dz
0
,...2,1)},({ nzS
n
n
k
kn
zuzS
1
)()(
)(zS
DzzSzS
n
n
),()(lim
DzzSzu
n
n
),()(
1
)0(
)(N
)(Nn
|)()(| zSzS
n
Dz
)(zu
n
)(zS
1
)(
)(
n
k
n
zu
ll
n
n
n
l
n
dzzSdzzudzzu )()()(
11
Пусть в области D определена бесконечная последовательность
однозначных функций комплексного переменного
. Выражение вида
(12.3)
называют функциональным рядом. При фиксированном значении
ряд
(12.3) превращается в числовой ряд (12.1).
Последовательность
, где
, называется
последовательностью частичных сумм.
Ряд (12.3) называется сходящимся на множестве D, если сходится
последовательность его частичных сумм, т.е. существует предел этой
последовательности, который называется суммой ряда
;
.
Ряд (12.3) называется равномерно сходящимся на множестве D, если
можно указать такой номер
, что при
для
выполняется неравенство
.
Теорема 12.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (12.3) на множестве D
мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он
сходится на D равномерно.
Ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной
величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося
числового ряда с положительными членами.
Теорема 12.2 (теорема Вейерштрасса). Если ряд (12.3) аналитических в
области D функций
равномерно сходится внутри D, то сумма
ряда
также аналитична в D; ряд можно почленно дифференцировать любое число
раз, причѐм ряд из производных
равномерно сходится в D.
Замечание 12.1. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать
.
55
12.3. Степенные ряды
n
nn
zzczu )()(
0
n
c
0
z
0
0
)(
n
n
n
zzc
)(
011
zzz
||
0
zz
||
01
zz
1
z
||||
010
zzzz
)0(||
0
RRzz
)0(||
0
RRzz
Rzz ||
0
)(zf
Рассмотрим ряд (12.3). Если
комплексные числа, а
– фиксированная точка комплексной плоскости, то ряд
, где
– некоторые
(12.4)
называется степенным рядом.
Члены ряда (12.4) являются аналитическими функциями на всей
комплексной плоскости.
Теорема 12.3 (теорема Абеля). Если степенной ряд (12.4) сходится в
некоторой точке
, где
, то он абсолютно сходится и в любой точке круга
.
Следствие 12.1. Если степенной ряд (12.4) расходится в некоторой точке
, то он расходится и во всех точках z, удовлетворяющих неравенству
.
Область
называется кругом сходимости степенного
ряда, а число R – его радиусом сходимости.
Следствие 12.2. Для всякого степенного ряда существует такое число R,
что внутри круга
В круге
ряд (12.4) сходится равномерно.
этот ряд сходится, а вне его – расходится.
Следствие 12.3. Внутри круга сходимости степенной ряд (12.4) сходится
к аналитической функции.
Следствие 12.4. Степенной ряд (12.4) внутри круга сходимости можно
почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз. В результате
получим ряды, радиусы сходимости которых равны радиусу сходимости
исходного ряда.
Следствие 12.5. Коэффициенты ряда (12.4) выражаются через значения
суммы ряда
и еѐ производных в центре круга сходимости по формуле
56
...,1,0,
!
)(
0
)(
n
n
zf
с
n
n
. (12.5)
0
zz
...)(...)()()(
0
2
02010
n
n
zzczzczzcczf
);(...0...00
...)(...)()()(
0000
00
2
00200100
zfccc
zzczzczzcczf
n
n
...)(...)(2)(
1
0021
n
n
zznczzcczf
!1
)(
...0...0
...)(...)(2)(
0
111
1
0000210
zf
ccc
zznczzcczf
n
n
...)()1(...2)(
2
02
n
n
zzcnnczf
!2
)(
...0...2)(
0
220
zf
cczf
...1)...1()(
)(
n
n
cnnzf
!
)(
...01)...1()(
0
)(
0
)(
n
zf
ccnnzf
n
nn
n
n
n
n
cR||lim
1
n
n
n
cl ||lim
n
n
c ||
}{nx
Доказательство. Пусть
Тогда
и
.
;
…
Доказательство завершено.
Следствие 12.6. Радиус сходимости степенного ряда (12.4) определяется
формулой Коши – Адамара
где
– верхний предел последовательности
Верхним пределом x последовательности
.
, (12.6)
.
называется наибольшая
предельная точка этой последовательности.
57
12.4. Ряд Тейлора
)(zf
Rzz ||
0
0
0
)()(
n
n
n
zzczf
c
0
z
R
||
0
zz
)(zf
c
d
z
f
i
zf
)(
2
1
)(
)()(
11
00
zzzz
(*)
1
11
0
0
0
z
zz
z
с
1
||
0
0
0
zz
z
zz
z
0
z
R
c
•
•
Теорема 12.4 (теорема Тейлора). Функция
круга
, может быть представлена в этом круге сходящимся
степенным рядом
причѐм этот ряд определен однозначно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z внутри круга радиуса R
и построим окружность
с центром в точке
, аналитическая внутри
, (12.7)
и радиусом
(рис. 12.1).
Так как z – внутренняя точка области
является аналитической, то по формуле Коши
Сделаем преобразования
Рис. 12.1. Круг радиуса R
, в которой функция
.
Так как точка
, а точка z находится внутри этой окружности, то
.
58
Тогда выражение
0
0
1
1
z
zz
S
q
b
S
1
1
1||,,1
0
0
1
q
z
zz
qb
...,,
2
0
0
23
0
0
12
z
zz
qbb
z
zz
qbb
...1
1
(*)
2
0
0
0
0
0
z
zz
z
zz
z
0
0
0
0
1
n
n
z
zz
z
.
)(
)(
0
1
0
0
n
n
n
z
zz
c
n
n
n
d
z
zz
f
i
zf
0
1
0
0
)(
)(
)(
2
1
)(
.)(
)(
)(
2
1
0
0
1
0
n
n
c
n
zz
z
df
i
c
n
n
z
df
i
c
1
0
)(
)(
2
1
0
0
)()(
n
n
n
zzczf
0
0
)()(
n
n
n
zzczf
7.12
nn
cc
можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей сходящейся
геометрической прогрессии, т.е.
, где
Найдѐм последующие члены прогрессии
и подставим в наше выражение
Подставим в интеграл
Введѐм обозначение
.
Тогда окончательно получим
Докажем единственность.
Предположим, что имеет место другое разложение
где хотя бы один коэффициент
.
– ряд Тейлора.
, (
)
.
59
Степенной ряд (
7.12
Rzz ||
0
c
n
n
z
df
i
c
1
0
)(
)(
2
1
n
c
)(...,),(),(
)(
zfzfzf
n
)(...,),(),(),(
0
)(
000
zfzfzfzf
n
n
cccc ...,,,,
210
z
ezf )(
00z
znzz
ezfezfezf
)(...,,)(,)(
)(
00z
1)0(...,,1)0(,1)0(,1)0(
0)(000
efefefef
n
!
1
!
)0(
...,,
!2
1
!2
)0(
,
!1
1
!1
)0(
,1)0(
)(
210
nn
f
c
f
c
f
cfc
n
n
.
!
1
...
!
1
...
!2
1
!1
1
1......)(
0
22
210
n
nnn
n
z
n
z
n
zzzczczcczf
0
!
1
lim
1
lim
1
n
n
n
n
n
n
c
R
Rz
n
e
n
nz
,
!
1
0
) сходится в круге
, поэтому
, что совпадает с коэффициентами
Доказательство завершено.
Замечание 12.2. Коэффициенты ряда Тейлора могут быть определены по
формуле (12.5).
Алгоритм разложения аналитической функции в ряд Тейлора
1. Найти производные
2. Вычислить
по формуле (12.5). Составить ряд (12.7).
3. Найти область сходимости полученного ряда, определив радиус
сходимости R по формуле (12.6).
Пример. Разложить функцию
в ряд Тейлора в точке
Решение:
.
.
. Записать коэффициенты
.
1. Производные
2. Значения в точке
Коэффициенты
Ряд
3. Радиус сходимости
.
.
.
.
Ответ:
.
60
Разложение некоторых функций в ряд Тейлора по степеням z
Ряд
Радиус
сходимости
Ряд
Радиус
сходимости
0!n
n
z
n
z
e
R
1
1
)1(
)1ln(
n
n
n
z
n
z
1R
0
12
)!12(
)1(
sin
n
n
n
z
n
z
R
0
2
)!2(
)1(
cos
n
n
n
z
n
z
R
0
12
)!12(
1
sh
n
n
z
n
z
R
0
2
)!2(
1
ch
n
n
z
n
z
R
01
1
n
n
z
z
1R
1
1
2
)1(
1
n
n
nz
z
1R
01
1
n
nn
za
az
||1a
R
0
1
11
n
n
n
z
a
za
aR
)(
)(
)(
)( nm
zQ
zP
zR
n
m
k
k
az
A
)(
k
A
2
3
)(
2
z
zz
zf
)12(,1,2)(,2,3)(
2
nmnzzQmzzzP
nm
.
2
9
3
2
3
2
z
z
z
zz
Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора
1. Если дробь неправильная
целую часть.
2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби
а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида
неопределѐнными коэффициентами
кратность;
б) найти неопределѐнные коэффициенты.
3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды и записать
окончательный результат.
Пример. Разложить функцию
, то следует выделить
с
, где а – корень знаменателя, k – его
по степеням z
1.
Выделим целую часть дроби
Решение:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]