Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
61
2. Разложим правильную дробь в степенной ряд
2
1
z
)2(
2
1
a
z
0
1
)2(
n
n
n
z
0
1
1
2
)1(
n
n
nn
z
.
2
)1(
0
1
n
n
nn
z
0
1
2
)1(
93
2
9
3)(
n
n
nn
z
z
z
zzf
2
1
1
0
2
9)1(
4
9
2
1
93
n
n
nn
n
n
zz
z
.
2
9)1(
4
5
2
3
2
1
n
n
nn
z
z
.
2
9)1(
4
5
2
3
)(
2
1
n
n
nn
z
zzf
)(zf
Dz
0
)(zf
0)(
0
zf
0
zz
0...)(...)()()(
0
00
0
2
002
0
00100
n
n
zzczzczzcczf
00c
00c
0...
121
n
ccc
0
n
c
0
z
)(zf
)(zf
)()()()()()(
0
0
000
zzzzzczzzzczf
n
k
k
kn
n
nk
k
k
0
0
)()(
k
k
kn
zzcz
0
z
0)(
0
z
)(z
)(zf
3. Окончательно получим
Ответ:
13. НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Пусть
называется нулѐм функции
При подстановке
следовательно,
Если не только
называется нулѐм п-го порядка функции
является аналитической функцией в области D. Точка
, если
в степенной ряд (12.7) получаем
.
, но и
.
,
, а
, то точка
.
порядка имеет вид
где
Нуль первого порядка называют простым нулѐм.
Разложение функции
в степенной ряд в окрестности нуля п-го
, (13.1)
– аналитическая функция в окрестности точки
,
.
Ряд
сходится в том же круге, что и
.
62
Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения
0)( zf
0
z
)(zf
)(
0
zz
)(
0
zz
0...,)()()()(
1
0100
n
n
n
n
n
nk
k
k
czzczzczzczf
0
z
)()(zf
k
)(
0
)(zfk
)()()(
0
zzzzf
n
0
0
)()(
k
k
kn
zzcz
0)(
0
ncz
)(
0
zz
0
z
0
z
0
z
)(
)(
)(
2
1
zf
zf
zf
0
z
)(zf
0
z
)(1zf
)(2zf
)()(
)()(
)()(
)(
0
20
10
zzz
zzz
zzz
zf
mk
m
k
0
z
)( mk
)(zf
их порядков
1. Найти нули аналитической функции, решая уравнение
2. Определить порядок каждого полученного нуля
. Для этого
выполнить одно из следующих действий:
а) разложить
Младшая степень разности
определяет порядок нуля
б) найти производные
в ряд по степеням
, присутствующая в разложении (13.1)
;
и вычислить
.
. Порядок нуля
функции определяется первой, не равной нулю в точке производной;
в) записать функцию в виде произведения
,
.
,
где
тогда степень разности
,
;
определяет порядок нуля
г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для
каждой из них определить порядок нуля
Порядок нуля
произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.
Замечание 13.1. Пусть
точка
– нуль порядка k функции
и нуль порядка т функции
используя формулу (13.1), получим
;
по одному из пунктов а) – в).
и
– нуль функции
. Если
. (13.2)
, то,
Откуда следует, что
– нуль порядка
функции
.
63
Пример. Определить порядок нуля
00z
2
1)(
2
zezf
z
20
2
2
1
!
)(
1)(
2
z
n
z
zezf
n
n
z
2
2
2
1
2
0
1
!
)(
1 z
n
z
z
n
n
nn
2
2
!
)(
n
n
n
z
...
!3!2
3
6
2
4
nn
zz
00z
4n
2345
44)( zzzzzf
)1(4)1(44)(
242345
zzzzzzzzzf
)4()1(
22
zzz
).2)(2)(1(
2
izizzz
izizzz 2,2,1,0
4321
01z
;08)0(,8241220)(
;0)0(,81245)(
23
234
fzzzzf
fzzzzzf
12z
;0581245)1(
f
iz 23
;0163216)4(12)8(4165)2(
iiiif
iz 24
.0163216)4(1284165)2(
iiiif
01z
2n
12z
1n
iz 23
1n
iz 24
1n
Решение:
разложим функцию в степенной ряд
функции
.
.
Ответ: согласно п. 2 а) алгоритма точка
Пример. Определить порядок нулей функции
разложим функцию на множители
Нули функции
1)
:
Решение:
есть нуль порядка
.
.
.
2)
3)
4)
Ответ: нули функции:
(
:
:
:
(
) (согласно п. 2 б) алгоритма).
),
(
),
(
),
64
Пример. Определить порядок нуля
00z
zzz
z
zf
sh
4
)(
3
8
...
!7!56
4
)!12(
4
)(
753
3
8
0
12
3
8
zzz
zzz
z
n
z
zz
z
zf
n
n
...
!7!56
5
1
...
!7!56
5
1
...
!7!56
5
4
72
5
723
8
753
8
zz
z
zzz
z
zzz
z
00z
5n
Rr0
Rzzr ||
0
)(zf
1
0
0
00
)(
)()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zz
c
zzczzczf
0
0
1
00
)()()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzczzczzczf
1.14
...,2,1,0,
)(
)(
2
1
1
0
ndz
z
f
i
c
n
n
0
z
Rrz
,||
0
1.14
)(zf
)(
0
zz
Решение:
разложим знаменатель в ряд Тейлора
функции
.
.
Ответ: по формуле (13.2) точка
есть нуль порядка
14. РЯД ЛОРАНА
Теорема 14.1 (теорема Лорана). Пусть
аналитическая в кольце
представляется в этом кольце в виде сходящегося ряда
или
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле
функция
.
. Всякая
однозначно
(14.1)
. (
, (14.2)
)
где – произвольный контур, ориентированный против часовой стрелки,
принадлежащий кольцу и охватывающий точку
окружность
Ряд (14.1) или (
степеням
.
.
) называется рядом Лорана функции
, в частности, –
по
65
Доказательство.
Rzzr ||
0
1
C
2
C
0
z
1
2
Rr
12
Rzzr ||
0
)(zf
1
C
2
C
21
)(
2
1)(
2
1
)(
CC
z
df
iz
df
i
zf
1
C
2
C
2
C
2
C
21
)(
2
1)(
2
1
)(
CC
z
df
iz
df
i
zf
1
C
1
||
1
0
0
0
zz
z
zz
zzzz
00
11
прогрессиискойгеом ет риче
убывающейбесконечносумма
z
zz
z
0
0
0
1
11
0
z
C
2
C
1
C
r
R
2
1
z
В кольце
стрелки две окружности
причѐм
(рис.14.1).
возьмѐм ориентированные против часовой
и
с центром в точке
Рис. 14.1. Кольцо
и радиусами
и
,
По условию теоремы функция
следовательно, и на окружностях
сложного контура (11.3)
где z – точка между
и
, поменяем направление с (
Рассмотрим первый интеграл формулы (14.3). Так как
Тогда
является аналитической в кольце,
и
. Тогда по формуле Коши для
,
) на
. (14.3)
, то
.
66
...1
1
2
0
0
0
0
0
z
zz
z
zz
z
0
1
0
0
)(
)(
n
n
n
z
zz
. (14.4)
1
C
2
C
1
||
0
2
0
0
zzzz
z
zzzz
00
11
прогрессиискойгеом ет риче
убывающейбесконечносумма
zz
z
zz
0
0
0
1
11
...1
1
2
0
0
0
0
0
zz
z
zz
z
zz
0
1
0
0
)(
)(
n
n
n
zz
z
2
C
21
0
1
0
0
0
1
0
0
)(
)(
)(
2
1
)(
)(
)(
2
1
)(
C
n
n
n
C
n
n
n
d
zz
z
f
i
d
z
zz
f
i
zf
0
1
0
0
0
0
1
0
)(
)(
)(
2
1
)(
)(
)(
2
1
21
n
n
C
n
n
n
C
n
zz
z
df
i
zz
z
df
i
1
0
1
0
0
0
1
0
)(
)(
)(
2
1
)(
)(
)(
2
1
21
n
n
C
n
n
n
C
n
zz
z
df
i
zz
z
df
i
1
0
1
0
0
0
1
0
)(
)(
)(
2
1
)(
)(
)(
2
1
21
n
n
C
n
n
n
C
n
zz
z
df
i
zz
z
df
i
n
n
n
zz
z
f
i
zf )(
)(
)(
2
1
)(
0
1
0
1
C
0n
2
C
0n
Ряд (14.4) сходится равномерно для
Рассмотрим второй интеграл формулы (14.3). Так как
Тогда
Ряд (14.5) сходится равномерно для
и при фиксированном z.
, то
.
. (14.5)
и при фиксированном z.
Подставим ряды (14.4) и (14.5) в ряд (14.3) и почленно проинтегрируем.
.
Таким образом,
,
где
при
Доказательство завершено.
и
при
.
67
Ряд
0
0
)(
n
n
n
zzc
1
0
)(
n
n
n
zz
c
1
0
)(
n
n
n
zzc
}|{|
01
RzzK
n
n
n
cR||lim
1
}|{|
02
rzzK
n
n
n
cr||lim
1
Rr
Rr
}||{
021
RzzrKKK
Zn
M
c
n
n
,
fM max
n
c
0r
Rzz ||0
0
0
z
R
rzz ||
0
00z
rz ||
01)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
c
zczczf
1
0
)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zczczczf
6.14
образует правильную часть ряда Лорана,
ряд
Ряд Лорана сходится
или
образует главную часть ряда Лорана.
сходятся правильная и главная части. Кольцо
сходимости ряда Лорана можно найти с помощью радиусов сходимости рядов.
Правильная часть сходится на множестве
главная часть сходится на множестве
Если
Если
, то область сходимости ряда Лорана пуста.
, то ряд Лорана сходится в кольце
, где
, где
.
.
Следствие 14.1. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки
коэффициентов – неравенство Коши
,
,
где
, – радиус окружности (частный случай контура ), по
которому производится интегрирование в формуле для
Следствие 14.2. При
вырожденное кольцо
получаем частный случай кольца –
. Разложение в этом случае называется
разложением функции в окрестности особой точки
Пусть
Следствие 14.3. При
, тогда разложение в области
область
называется разложением
функции в окрестности бесконечно удалѐнной точки
или
(14.2).
.
есть внешность круга.
(14.6)
. (
)
68
Ряд
1n
n
n
zc
0n
n
n
z
c
0n
n
n
zc
Rzz ||
0
;0,,)(
)(
)(
1
00
00
0
0
1
aazzzzC
a
zz
zza
n
n
n
n
nn
rzz ||
0
.,1,)()(
1
)(
1
)(
1,0
1
)(
1
1
)(
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
11
1
1
azz
zz
a
zzCzz
a
zz
a
zz
a
kn
kn
zz
a
zz
a
zz
zza
n
n
n
n
n
n
k
k
n
n
nnn
kn
)(
)(
)(
zQ
zP
zR
m
n
)(),( zQzP
mn
образует главную часть ряда Лорана в окрестности
бесконечно удалѐнной точки;
ряд
или
образует правильную часть ряда Лорана в
окрестности бесконечно удалѐнной точки;
Следствие 14.4. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд
Тейлора. При этом используются основные разложения и действия над рядами.
Следствие 14.5. При разложении рациональных дробей, как в случае рядов
Тейлора, выделяется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается
в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется
формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При
этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:
– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге
, разложение элементарной дроби записывается в виде
– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга
, разложение элементарной дроби записывается в виде
Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Лорана
1. Если дробь
, где
– многочлены степеней п и
т соответственно, неправильная (n > m), то следует выделить целую часть
дроби.
2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби.
69
3. Разложить элементарные дроби в соответствующие ряды (см.
32
2
)(
2
zz
z
zf
z
)(zf
3,1
21
zz
,
)3)(1(
2
32
2
2
zz
z
zz
z
,1z
,31 z
3|| z
)(zf
)3)(1(
)3()(
)3)(1(
3
31)3)(1(
2
)(
zz
BAzBA
zz
BBzAAz
z
B
z
A
zz
z
zf
;
4
5
,
4
1
;1
,14
;23
,1
B
A
AB
A
BA
BA
3
1
4
5
1
1
4
1
)(
zz
zf
x
y
1
3
-1
0
3
следствие 14.5).
Пример. Разложить функции
функция
т.е. в круге
точки
в ряд Лорана по степеням
.
Решение:
является аналитической всюду, кроме точек
в кольце
в окрестности бесконечно удалѐнной
Рис. 14.2. Точки, в которых нарушается аналитичность функции
Разложим функцию в сумму элементарных дробей.
;
найдѐм коэффициенты А и В
.
70
1. В круге
1z
;
3
3
1
3
1
;)1(
1
)(
)(1
1
1
1
0
1
00
1
n
n
n
n
nn
n
n
n
z
zz
z
z
zz
0
1
1
0
1
0
3
5
)1(
4
1
3
4
5
)1(
4
1
)(
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
z
z
zzf
31 z
;1
1
1
||
1
1||
zzz
;
)1()1(
)1(
1
)1(
1
)(1
1
1
1
1111
11
nnnn
n
n
n
n
nnnn
zzzzzz
3|| z
0
1
3
3
1
3
1
n
n
n
z
zz
10
1
1
1
0
1
1
4
)1(
34
5)1(
4
1
3
4
5
)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
zf
0
1
1
34
5
4
)1(
)(
n
n
n
n
n
n
zzzf
функция
является аналитической, поэтому
разложение в ряд Лорана будет содержать только правильную часть.
Разложим каждую элементарную дробь в ряд Тейлора
тогда
.
2. Разложение в кольце
– для первой дроби
следовательно, разложение первой дроби образует главную часть ряда Лорана
– для второй дроби
;
следовательно, разложение второй дроби образует правильную часть ряда Лорана
;
тогда
Возможен второй вариант разложения в ряд Лорана
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]