Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
71
3. Область вне круга
3|| z
1
1
1
1
33
3
1
3
1
n
n
n
n
n
n
zz
zz
1
1
1
1
1
1
1
4
35)1(3
4
5)1(
4
1
)(
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
zzz
zf
1|| z
0
1
1
3
5
)1(
4
1
)(
n
n
n
n
zzf
3||1 z
10
1
1
4
)1(
34
5
)(
n
n
n
n
n
n
z
zzf
3|| z
1
1
1
4
35)1(
)(
n
n
nn
z
zf
0
z
)(lim
0
zf
zz
)(lim
0
zf
zz
)(lim
0
zf
zz
)(lim
0
zf
zz
. В этом случае разложение обеих дробей
образует главную часть ряда Лорана. Первая дробь уже разложена, поэтому
разложим вторую дробь
;
тогда
.
Ответ:
1. В круге
2. В кольце
3. Вне круга
:
:
:
.
.
.
15. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФКП
Рассмотрим поведение ФКП в особых точках, где нарушается
аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.
Исследование функции в особой точке
окрестности этой точки, т.е. исследованием предела
определяется поведением еѐ в
.
Возможны три случая:
1) предел
2) предел
3) предел
существует и равен конечному числу;
равен бесконечности;
не существует.
Изолированные особые точки функции – это точки, для каждой из
которых существует такая еѐ окрестность, в которой нет других особых точек
функции.
72
Таким образом,
Cz
0
)(zf
0r
rzz ||
0
)(zf
rzz ||0
0
)(zf
0
z
)(zf
0R
Rz ||
)(zf
|| zR
)(zf
}){(
0
CCCz
)(zf
)(lim
0
zf
zz
)(lim
0
zf
zz
)(lim
0
zf
zz
0z
z
z
zf
sin
)(
1,
sin
)( n
z
z
zf
n
z
ezf1)(
2
1
)(
z
ezf
z
z
zf
sin
)(
1
sin
lim
0
z
z
z
0z
а) конечная особая точка
функции
, если число
единственная особая точка функции
функция
является аналитической;
является изолированной особой точкой
, такое, что в круге
, а в проколотой окрестности
б) бесконечно удалѐнная особая точка
особой точкой функции
, если число
эта точка – единственная особая точка функции
функция
является аналитической.
Типы особых точек
Изолированная особая точка
называется
эта точка –
является изолированной
, такое, что в области
, а в кольце
функции
1) устранимой особой точкой, если предел
конечному числу;
2) полюсом, если предел
3) существенно особой точкой, если предел
Пример. Определить тип особой точки
а)
а) Рассмотрим функцию
Вычислим предел
; б)
равен бесконечности;
для функций
; в)
Решение:
.
существует и равен
не существует.
; г)
.
(первый замечательный предел),
так как предел равен конечному числу, то точка
особой точкой.
является устранимой
73
б) Рассмотрим функцию
1,
sin
)( n
z
z
zf
n
1
0
1
0
1
00
1
lim1
1
lim
sin1
lim
sin
lim
n
z
n
z
n
z
n
z
zz
z
z
zz
z
0z
z
ezf1)(
iyxz
0x
0x
x
e
1
xx
e
1
00
lim
0lim
1
00xx
e
x
x
x
x
ee
1
00
1
00
limlim
x
x
e
1
0
lim
z
z
e
1
0
lim
0z
2
1
)(
z
ezf
Rxz
;lim
,lim
lim
2
2
2
1
00
1
00
1
0
x
x
x
x
x
x
e
e
e
;lim
2
1
0
xx
e
Ciyz
;0lim
,0lim
limlim
2
2
22
1
00
1
00
1
0
)(
1
0
y
y
y
y
y
y
iy
y
e
e
ee
.0lim
2
)(
1
0iyy
e
Вычислим предел
.
,
так как предел равен бесконечности, то точка
в) Рассмотрим функцию
Так как
В точке
, то вычислим предел при
функция
не определена, поэтому рассмотрим односторонние
.
пределы:
правосторонний предел:
левосторонний предел:
Так как
, то
, следовательно,
является полюсом.
.
;
.
.
Поэтому точка
является существенно особой точкой.
г) Рассмотрим функцию
Рассмотрим частный случай, когда
рассмотрим частный случай, когда
.
, и вычислим предел
, и вычислим предел
74
Так как пределы при
0x
0y
2
1
0
lim
z
ze
0z
0
z
)(zf
C
0
z
rzzzzczf
n
n
n
||0,)()(
0
0
0
0
z
||,)(
1
0
zR
z
c
czf
n
n
n
0
z
)(zf
C
0
z
rzzzzczf
nk
k
k
||0,)()(
00
частьправильная
k
k
частьглавная
n
n
n
n
zzc
zz
c
zz
c
zz
c
zz
c
zf
0
00
0
1
2
0
2
1
0
1
0
)(
)(
...
)()(
)(
3.15
0
z
||,)( zRzczf
n
k
k
k
частьг лавная
n
n
n
n
частьправильная
k
k
k
zсzсzсzсzczf
1
1
2
21
0
...)(
4.15
и
не равны друг другу, то
,
поэтому точка
является существенно особой точкой.
Утверждение 15.1.
1. Для того чтобы особая точка
функции
была еѐ устранимой
особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд
Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть, т.е.
а) для конечной особой точки
, (15.1)
б) для бесконечно удалѐнной особой точки
. (15.2)
2. Для того чтобы особая точка
функции
была полюсом,
необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в
окрестности этой точки содержала конечное число членов, т.е.
а) для конечной особой точки
, (15.3)
более подробно
б) для бесконечно удалѐнной особой точки
; (
)
, (15.4)
более подробно
. (
)
75
3. Для того чтобы особая точка
0
z
)(zf
C
0
z
rzzzzczf
n
n
n
||0,)()(
00
частьправильная
k
k
частьглавная
n
n
n
n
zzc
zz
c
zz
c
zz
c
zz
c
zf
0
00
0
1
2
0
2
1
0
1
0
)(
)(
...
)()(
...)(
5.15
0
z
||,)( zRzczf
n
n
n
частьглавная
n
n
n
n
частьправильная
k
k
k
zсzсzсzсzczf ......)(
1
1
2
21
0
6.15
)(zf
0
z
0
z
0
z
0
z
0
z
)(zf
Cz
0
)(zf
0
n
c
0
k
c
nk
функции
была еѐ существенно
особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана
функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов, т.е.
а) для конечной особой точки
более подробно
б) для бесконечно удалѐнной особой точки
более подробно
, (15.5)
; (
, (15.6)
(
)
)
1. Записать разложение функции
точки
2. Определить тип особой точки
– если ряд имеет вид (15.1) или (15.2), то
– если ряд имеет вид (15.3) или (15.4), то
– если ряд имеет вид (15.5) или (15.6), то
Порядок полюса
функции
а) конечная особая точка
функции
Правила определения типа особой точки
в ряд Лорана в окрестности особой
.
– устранимая особая точка;
– полюс;
– существенно особая точка.
Порядок полюса
– номер старшего члена главной части ряда Лорана
в еѐ разложении в окрестности этой точки. Таким образом,
является полюсом порядка п (П(п))
, если в разложении (15.3) коэффициент
, а коэффициенты
при
;
76
б) бесконечно удалѐнная особая точка
0
z
)(zf
0
n
c
0
k
c
nk
32
2
)(
2
zz
z
zf
3
1
4
5
1
1
4
1
)3)(1(
2
32
2
)(
2
zzzz
z
zz
z
zf
11z
32z
3
z
21
, zz
11z
32z
11z
4|1|0 z
32z
4|3|0 z
11z
)1( z
4|1| z
0
1
0
1
4
)1(
4
4
1
4
1
1
1
3
1
n
n
n
n
n
n
zt
tt
tz
tz
z
является полюсом порядка
п (П(п)) функции
коэффициенты
, если в разложении (15.4) коэффициент
при
.
Пример. Определить тип особых точек функции
Решение:
запишем функцию в виде суммы элементарных дробей
особыми точками являются
,
,
.
, а
.
(*);
Рис. 15.1. Окрестности особых точек
Расстояние между точками
будем рассматривать проколотую окрестность
– проколотую окрестность
1. Рассмотрим точку
разложено по степеням
и
равно 4. Поэтому для точки
.
. В выражении (*) первое слагаемое уже
. Тогда разложим второе слагаемое. Причѐм для
, для точки
него эта точка не является особой, следовательно, раскладываем в ряд Тейлора
(правильная часть ряда Лорана) в круге
:
.
77
Окончательно получим
частьправильная
n
n
n
частьглавная
n
n
n
z
z
z
z
zf
0
2
0
1
)1(
4
5
1
1
4
1
4
)1(
4
5
1
1
4
1
)(
11z
0
4
1
1
c
0
k
c
nk
1n
32z
)3( z
4|3| z
0
1
0
1
4
)3()1(
4
)1(
)(4
1
4
1
3
3
1
1
n
n
nn
n
n
nn
zt
tt
tz
tz
z
частьглавная
частьправильная
n
n
nn
n
n
nn
z
z
z
z
zf
3
1
4
5
4
)3()1(
3
1
4
5
4
)3()1(
4
1
)(
0
2
1
0
1
32z
0
4
5
1
c
0
k
c
nk
1n
3
z
3|| z
z
Так как главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, то
.
точка
остальные коэффициенты
2. Рассмотрим точку
разложено по степеням
является полюсом. Поскольку только
при
, то порядок полюса равен
. В разложении (*) второе слагаемое уже
. Тогда разложим первое слагаемое. Причѐм для
, а все
.
него эта точка не является особой, следовательно, раскладываем в ряд Тейлора
(правильная часть ряда Лорана) в круге
:
.
Окончательно получим
.
Так как главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, то
точка
является полюсом. Поскольку только
коэффициенты
3. Рассмотрим точку
при
, то порядок полюса равен
вне круга
, а все остальные
.
Рис. 15.2. Окрестность точки
78
Разложим первое слагаемое
1
1
0
1
0
)1()1()1(1
1
1
11
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzz
z
z
zz
1
1
0
1
0
3331
3
1
11
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzz
z
z
zz
1
1
1
1
1
1
1
4
35)1(3
4
5)1(
4
1
)(
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
zzz
zf
3
z
11z
32z
3
z
разложим второе слагаемое
Окончательно получим
Поскольку главная часть в разложении в ряд Лорана в окрестности
;
.
.
данной точки отсутствует, то точка
Ответ:
1.
2.
3.
– П(1).
– П(1).
– устранимая особая точка.
является устранимой особой точкой.
79
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бугров, Я.С. Высшая математика: В 3 т. Т. 3. Дифференциальные уравнения.
Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для
вузов / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – Москва: Дрофа, 2004. – 512 с.
2. Гусак, А.А. Теория функций комплексной переменной и операционное
исчисление / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова, Г.М. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2002. – 2008 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для
вузов. В 2 ч. Ч.2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. –
Москва: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и
Образование», 2005. – 416 с.
4. Евграфов, М.А. Аналитические функции: учеб. пособие для вузов / М.А. Евграфов.
– 3-е изд., перераб. и доп. – Москва: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 448 с.
5. Пантелеев, А.В. Теория функций комплексного переменного и операционное
исчисление в примерах и задачах: учеб. пособие / А.В. Пантелеев,
А.С. Якимова. – 2-е изд., стер. – Москва: Высшая школа, 2007. – 445 с.
6. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу [и др.]; под ред.
С.Н. Федина. – 5-е изд. – Москва: Айрис-пресс, 2007. – 592 с.
7. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной: учебник для
вузов / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. – 6-е изд., стер. – Москва:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 336с.
8. Сидоров, Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного:
учебник для вузов / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – 3-е изд.
испр. – Москва: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 480 с.
9. Чудесенко, В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей
математики. Типовые расчеты: учеб. пособие. / В.Ф. Чудесенко – 3-е изд.
стер. – Санкт-Петербург.: Издательство «Лань», 2005. – 128 с.
80
Учебное издание
Ткаченко Светлана Владимировна
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие
Редактор Е.А. Федюшина
Подписано в печать Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.
Ризография. Объем 5.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №
Издательство Липецкого государственного технического университета
Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.
398055, Липецк, ул. Московская, 30.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]