Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
41
Выразим z из функции w
1
)1(
w
w
zzwz
,
)1(
)1(
)1(
)1(
)1)(1(
)1)((
1
22
2
22
2
vu
ivvuu
vu
iviuviuvvuu
ivuivu
ivuivu
ivu
ivu
z
22
2
)1(
)1(
vu
ivvuu
z
1
)1(
)1(
)1(
)1(
2
1
22
2
22
2
vu
ivvuu
vu
ivvuu
i
,1
)1(
2
2
1
22
vuiv
i
,1
)1(
22
vuv
,0
4
1
4
1
2
1
2)1(,)1(
2222
vvuvvu
.
4
1
2
1
)1(
2
2
vu
2
1
2
1
;1
1z
z
w
1z
z
w
тогда
Подставим z и z в уравнение
,
.
,
Образом является окружность радиуса
с центром в точке
(рис. 9.14).
Рис. 9.14. Образ прямой при отображении
42
10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФКП
ivuzfw )(
ttiytxtzz ),()()(
)(),(
zBzA
)(zf
LL
idydxivudzzf ))(()(
LL
udyvdxivdyudx )()(
dttytytxutxtytxvi
dttytytxvtxtytxu
)]())(),(()())(),(([
)]())(),(()())(),(([
dttytzivtzuitxtzivtzu )())](())(([)())](())(([
dttyitxtzf ))()())(((
.)())((
dttztzf
D A B y x L 0
Пусть в области D комплексной плоскости z задана непрерывная функция
. Пусть L – гладкая кривая, лежащая в D, с началом в точке А и
концом в точке В, заданная уравнением
Направление на кривой L соответствует изменению параметра t от α до β:
(рис. 10.1)
.
Рис. 10.1. Область D, кривая L
Определим интеграл от функции
вдоль кривой L
43
Интеграл существует для любой непрерывной функции
)(zf
),( yxu
),( yxv
)(tx
)(ty
0)()(
22
tytx
n
LL ...,,
1
.)()(
1
n
k
LL
k
dzzfdzzf
,)()(
LL
dzzfdzzf
)( L
,)()()]()([
LLL
dzzgBdzzfAdzzBgzAf
Mzf |)(|
Lz
.)( Mldzzf
L
dttztzfdzzf
L
)())(()(
dttztzf
M
|)(||))((|
dttzM |)(|
dttytxM
22
)()(
.Ml
, где
,
также непрерывны, и для любой гладкой кривой L, где
непрерывны и
Кривая называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся
касательную.
Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа
гладких кривых.
Если кривая L является кусочно-гладкой и состоит из гладких
ориентированных кусков
1. Ориентированность
.
, то
Свойства интегралов
,
где
– та же кривая, что и L, но ориентированная противоположно.
2. Линейность
где А и В – постоянные числа.
3. Оценка для интеграла
Если
при
Доказательство.
и l – длина L, то
44
dttytxl
22
)()(
– длина кривой, заданной параметрически.
Lzz
dz
0
L
n
dzzz )(
0
0
z
)(
0
zz
it
ezz
0
]2;0[t
dtiedzezz
itit
,
0
2
0
0
it
it
L
e
dtie
zz
dz
.2)02(
0
2
1
2
0
iiitdti
L
n
dzzz )(
0
2
0
dtiee
ititnn
2
0
)1(1
dtei
tnin
0
2
)1(
1
)1(1
tnin
e
ni
i
)(
1
02)1(
1
ee
n
ni
n
)1))1(2sin())1(2cos((
1
01
1
nin
n
n
.0)101(
1
1
i
n
n
x y 0
ρ
z
0
Доказательство завершено.
Пример. Вычислить интегралы
1)
, 2)
, где L – окружность с центром в точке
ориентированная против часовой стрелки (рис. 10.2).
Рис. 10.2. Окружность L
Решение:
Комплексное число
представим в показательной форме
, где
тогда
,
,
1)
2)
.
45
Теорема 10.1 (Теорема Коши). Если функция
)(zf
)(zf
0)(
Г
dzzf
ivuzf )(
),( yxu
),( yxv
y
v
xu
x
v
y
u
DD
dxdy
y
P
x
Q
QdyPdx
DDГ
QP
Г
Q
P
Г
dxdy
y
v
x
u
idxdy
y
u
x
v
dyudxvidyvdxudzzf )())(()(
.000
idxdy
y
v
y
v
idxdy
y
u
y
u
DD
Г
y
x D 0
является
аналитической на односвязной области D, то интеграл от функции
по
любому кусочно-гладкому замкнутому контуру Г, принадлежащему D (рис.
10.3), равен нулю
.
Рис. 10.3. Односвязная область D
Доказательство. Так как функция
и
– непрерывно дифференцируемы и выполняются условия
Коши-Римана
Формула Грина (из векторного анализа)
Тогда
= (с учѐтом условий Коши-Римана) =
и
– аналитическая, то
.
.
Доказательство завершено.
46
Пример.
...,2,1,0,0
ndzz
Г
n
0
Г
z
dze
0,0
adza
Г
z
0sin
Г
zdz
0cos
Г
zdz
0sh
Г
zdz, 0ch
Г
zdz
)(,)()()()( btaktjtittr
)(),(),( ttt
];[ ba
];[ ba
btttta
NN
110
...
)(),(),( ttt
)(),(),( ttt
)(zf
0)(
Г
dzzf
x
y z A
A
1
A
2
B
0
,
,
,
,
Кривая
кусочно-гладкой, если функции
непрерывны на
называется непрерывной
можно разбить на конечное число частичных отрезков точками
так, что на каждом из них функции
производные, одновременно не равные нулю (рис. 10.4).
,
.
и отрезок
имеют непрерывные
Рис. 10.4. Непрерывная кусочно-гладкая кривая
В точках А1 и А2 кривая непрерывна, но производные
все
или некоторые терпят разрыв 1-го рода.
Теорема 10.2. Пусть область D комплексной плоскости z ограничена
сложным положительно ориентированным кусочно-гладким контуром Г, т.е.
при обходе по Г точки области D остаются слева. Тогда для функции
,
аналитической на D, имеет место равенство
.
47
Доказательство.
D
21
ГГГ
1
Г
2
Г
D
12
ГГГ
0)(
Г
dzzf
0)()(0)(
dzzfdzzfdzzf
dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf
ГГГ
)()()()()(
12
.00)()(
12
ГГ
dzzfdzzf
0)()()(
12
ГГГ
dzzfdzzfdzzf
D
а б
Рис. 10.5. Область комплексной плоскости:
а – двусвязная (D), б – односвязная (
На рис. 10.5, а изображена двусвязная область D с кусочно-гладким
контуром
Соединим контуры
, ориентированным положительно.
и
гладким куском (рис. 10.5, б).
Ориентируем двумя противоположными способами
получим новую область
– односвязную, ограниченную ориентированным
замкнутым контуром
.
По теореме 10.1
и
Тогда
и
)
. В результате
.
Следовательно,
.
Доказательство завершено.
48
Теорема 10.3. Пусть область D ограничена внешним контуром Г,
n
ГГГ ...,,,
21
)(zf
n
k
ГГ
k
dzzfdzzf
1
)()(
3n
D
nkГ
k
...,,2,1,
)(kГ
)(kГ
kk
:
k
0)(
......)(...)(
111
nnn
ГГГ
dzzf
0)(...)()()(
10.1теоремепо0
...
1
1
1
nn
n
dzzfdzzfdzzfdzzf
ГГГ
n
ГГГ
dzzfdzzfdzzf )(...)()(
1
n
k
ГГГГ
kn
dzzfdzzfdzzfdzzf
1
)()(...)()(
1
D
ориентированным против часовой стрелки, и внутренними контурами
, ориентированными тоже против часовой стрелки, и пусть на D
задана аналитическая функция
Доказательство. Пусть
а б
Рис. 10.6. Область комплексной плоскости:
. Тогда имеет место равенство
.
.
а – многосвязная (D), б – односвязная (
Контуры
Тогда контуры
направлены по часовой стрелке (рис. 10.6, б).
направлены против часовой стрелки (рис. 10.6, а).
Соединим контуры Г и
По теореме 10.1
По свойству ориентированности
гладкими кусками
)
и
.
;
;
.
.
Доказательство завершено.
49
Замечание 10.1. При
1n
1
)()(
ГГ
dzzfdzzf
i
zz
dz
L
20
)1(,0)(
0
ndzzz
L
n
L
0
z
)(zf
0
z
Г
zz
dzzf
i
zf
0
0
)(
2
1
)(
)(zf
0
z
0
z
D
*
D
L
Г
0
z
получаем
. Тогда
где
точку
и
– любой замкнутый кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя
и ориентированный против часовой стрелки.
,
11. ИНТЕГРАЛ КОШИ
Теорема 11.1. Пусть функция
области D, которая полностью содержит простой положительно
ориентированный контур Г. Тогда для любой точки
имеет место формула
Формула (11.1) есть интеграл Коши (или формула Коши).
дифференцируема в односвязной
, лежащей внутри Г,
. (11.1)
Доказательство. Пусть функция
является аналитической в
односвязной области D, ограниченной контуром L. Возьмем произвольную
внутреннюю точку
содержащий точку
и построим замкнутый контур Г, целиком лежащий в D и
внутри (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Область D, ограниченная контуром L и содержащая замкнутый
контур Г
50
Рассмотрим вспомогательную функцию
0
)(
)(
zz
zf
z
0
z
*
D
0
)()(
)(
00
zz
dzzf
zz
dzzf
dzz
Г
Г
00
)()(
zz
dzzf
zz
dzzf
Г
0
z
]2;0[,
0
diedzezz
ii
die
e
zf
zz
dzzf
i
i
2
0
0
1
)(
)(
2
0
)( dzfi
2
0
00
)]()()([ dzfzfzfi
2
0
0
2
0
0
)()]()([ dzfidzfzfi
0
2
)()]()([
0
2
0
0
zifdzfzfi
).(2)]()([
0
2
0
0
zifdzfzfi
)(zf
0
|)()(|
0
zfzf
||
0
zz
. (11.2)
Эта функция является аналитической в области D за исключением точки
. Построим замкнутый контур
в двусвязной области
, заключенной между контурами Г и
По теореме 10.2
Изменим направление с
Пусть
– окружность с центром в точке
Сделаем замену в интеграле
. Тогда функция (11.2) будет аналитической
.
.
на
, тогда
.
и радиусом . Тогда
.
Функция
области D. Тогда
при
является аналитической, следовательно, она непрерывна в
можно указать такое значение
, что
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]