Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
31
Преобразуем (9.4):
ii
rea
a
b
cczreczaw ,),()(
czvveuruw
i
,,
iziz
BA
35,2
iizw 103
iizw
AA
103
iii 10)2(3
iii 1036
2
,43 i
iizw
BB
103
iii 10)35(3
iii 10915
2
.59 i
.
Отсюда следует, что функция (9.4) сводится к функциям (9.1), (9.2), (9.3):
.
Таким образом, преобразование плоскости z, осуществляемое функцией
(9.4), сводится к переносу на вектор с, потом к повороту на угол θ и затем к
растяжению (сжатию) в r раз.
Линейное отображение обладает круговым свойством: переводит
окружности плоскости z в окружности плоскости w, прямые переводит в
прямые.
Пример. Найти образ отрезка АВ, где
отображении
.
Решение:
найдѐм образы точек А и В при отображении w:
Построим отображение отрезка АВ на плоскость w
, при
Рис. 9.4. Отображение отрезка АВ
32
Пример. Найти образ окружности
1|2| z
izw 32
izw 32
2
3 iw
z
12
2
3 iw
1
2
43 iw
2|)1(| iw
iw 1
0
2
w
r
20z
1
z
r
z
w1
i
rez
i
ew
,
111
r
e
r
e
re
e
ii
i
i
1|| z
1|| w
.
Решение:
при отображении
выразим z из
:
подставим в уравнение окружности
получим окружность с центром в точке
,
и радиусом
;
(рис. 9.5).
Рис. 9.5. Отображение окружности с центром в точке
и радиусом
9.2. Отображение относительно окружности единичного
радиуса
Рассмотрим функцию
Если
и
Отсюда следует, что окружность радиуса 1, т.е.
окружность того же радиуса, т.е.
переходит в точку, симметричную относительно действительной оси.
.
, то
.
, переходит в
. Однако при этом каждая точка
33
z
w1
,
1
r
r
,r
луче.
1OT
z
OTz
TzO
,90
TzOOTz
,OTzTOz
TOzTzO
r
r1
OzrzOr
,
.
1
1
1
1
r
rrr
r
rOT
Oz
zO
OT
Преобразование с помощью функции
включает два этапа.
1. Инверсия относительно единичной окружности
. (9.5)
2. Зеркальное отображение относительно действительной оси
. (9.6)
Рассмотрим более подробно.
1. Точки, лежащие на луче Oz, переходят в точки, лежащие на этом же
Возможны два случая.
а) точка z расположена вне круга (рис. 9.6).
Рис. 9.6. Точка z вне круга
Этапы доказательства:
1) из точки z проводим касательную к окружности, обозначаем точку Т,
;
2) из точки Т опускаем перпендикуляр на луч Oz, обозначаем точку
3) треугольники
4) покажем, что
и
, где
подобны, т.к. их углы равны:
;
;
из подобия треугольников
34
б) точка z расположена внутри круга (рис. 9.7).
1OT
z
.
1
1
1
1
r
rrr
r
rOT
zO
Oz
OT
z
z
1|| z
z
Рис. 9.7. Точка z внутри круга
Этапы доказательства:
1) из точки z восстанавливаем перпендикуляр к окружности, обозначаем
точку Т,
2) проводим касательную к окружности в точке Т; она пересекает луч в
точке
окружности
9.8, 9.9).
.
Далее, действуя аналогично случаю а), получим
Точки
2. Точку
;
и
.
зеркально отображаем относительно действительной оси (рис.
называют взаимно симметричными относительно
Рис. 9.8. Отображение точек, расположенных вне круга
35
Рис. 9.9. Отображение точек, расположенных внутри круга
z
w1
1|| z
0z
w
z
0w
0
1
2
z
w
z
0|| z
z
w2
0222 xyx
4)1(
22
yx
1x
0x
w
z
w
z
z
w
2
,22
;, ivuwivuw
.
;
22
,
2
;2
,2
;
,
22
zzyx
zz
i
i
zz
y
zz
x
iyzz
xzz
iyxz
iyxz
Таким образом, функция
отображает плоскость z на плоскость w при
помощи преобразования инверсии относительно окружности
отображения относительно действительной оси. При этом точка
точку
, а точка
переходит в точку
.
Найдѐм производную
при
с
, поэтому отображение с помощью этой
функции является конформным.
Пример. При отображении
1)
; 2)
найти образы линий
; 3)
; 4)
Решение:
и зеркального
переходит в
.
используем замены
;
36
1)
0222 xyx
.1)1(,0112
2222
yxyxx
)0;1(
.122
,0)(2,0)(2
,0,0
)(24
,0
2222
,0
2
2
22
uu
ivuivuww
vuww
ww
ww
ww
w
w
w
w
zz
zz
0222 xyx
4)1(
22
yx
)0;1(
;
3
16
3
3
2
3,043
9
4
9
4
3
2
23
,04433,04)(2)(3,3)(24
,32,412
2
2
22
2222
2222
vuvuu
uvuivuivuvuwwww
xyxyxx
9
16
3
2
2
2
vu
3
4
0;
3
2
z
w2
– приведем к каноническому виду
Таким образом, данная кривая есть окружность радиуса 1 с центром в
точке
.
После замены получим
Таким образом, окружность отобразится в прямую, параллельную
мнимой оси (рис. 9.10).
2)
Рис. 9.10. Отображение окружности
– окружность радиуса 2 с центром в точке
. Тогда
.
с центром в точке
(рис. 9.11).
Образом является окружность радиуса
37
4)1(
22
yx
1x
,,
,1,2
22
,1
2
22
ivuivuvuwwww
ww
ww
ww
zz
.1)1(
22
vu
)0;1(
1x
0x
,0,0
,0
22
,0
2
ivuivuww
ww
zz
.0u
z
w2
z
w2
3)
Образом является окружность радиуса 1 с центром в точке
(рис. 9.12).
Рис. 9.11. Отображение окружности
– прямая, параллельная мнимой оси. После замены
4)
Рис. 9.12. Отображение прямой
– прямая (мнимая ось плоскости z). После замены
Образом является прямая – мнимая ось плоскости w (рис. 9.13).
38
0x
dcz
baz
w
0 bcad
)0( c
c
d
z
w
1)(
dcz
c
adbc
c
a
dcz
baz
w
0
)(
)()1(
2
2
dcz
adbc
cdcz
c
adbc
w
0 dcz
dczc
adbc
c
a
w
1
c
a
B
c
adbc
Adczw
w
wBAww
,,,
1
,
1
1
223
1
w
3
w
2
w
z
w2
Рис. 9.13. Отображение прямой
9.3. Дробно-линейная функция
Рассмотрим дробно-линейную функцию
Точка
переходит в точку
Выделим целую часть
Найдѐм производную
Поэтому отображение с помощью этой функции является конформным.
. При этом
.
при
.
.
.
Теорема 9.1. Дробно-линейное преобразование переводит окружность в
окружность (круговое свойство).
Доказательство.
Отображение
состоит из трѐх отображений
.
Функции
и
являются линейными. Для них очевидно, что при
параллельном переносе, растяжении и вращении окружность переходит в
окружность. Поэтому достаточно проверить круговое свойство для
функции
.
39
Уравнение окружности в плоскости z имеет вид
0)(
22
lnymxyxA
i
zz
y
zz
xzzyx
2
,
2
,
22
022
l
i
zz
n
zz
mzAz
022
l
inm
z
inm
zzAz
2
inmB
2
inmB
0 lzBzBzAz
w
z1
w
z1
0
111
l
w
B
w
B
ww
A
0 wlwBwwBA
321
,, zzz
321
,, www
dcz
baz
w
3,2,1,)( kwzw
kk
23
13
2
1
23
13
2
1
::
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
.
Используя замену
После преобразований
Пусть
Поскольку
, тогда
и
, получим
.
.
, следовательно,
.
, то
.
Окончательно получаем
.
Это уравнение описывает некоторую окружность в плоскости w.
Доказательство завершено.
Замечание 9.1. Отображение с помощью дробно-линейной функции
может переводить внутренность отображаемой окружности как на
внутренность, так и на внешность отображѐнной окружности.
Утверждение 9.1. Каковы бы ни были три различные точки
плоскости z и три различные точки
единственное дробно-линейное отображение
плоскости w, существует
такое, что
. При этом справедливо двойное отношение
. (9.7)
40
Замечание 9.2. Если одна из точек
k
z
)3,2,1( kw
k
1
z
2
z
2
1
zz
zz
Aw
)(zfw
iiw 4)3(
1)( w
)1(w
;;1
;1;
;4;3
33
22
11
wz
wz
iwiz
,
1
31
:
3
1
4
:
1
4
i
z
izi
w
iw
,
1
31
:
1
3
1
1
:
1
4 iiz
w
iw
,
31
3
1
4
i
iz
w
iw
z
iz
w
1
12
1z
z
w
1Im z
yz Im
i
zz
y
2
12
izz
или
есть бесконечно
удалѐнная точка, то в формуле (9.7) соответствующая разность заменяется
единицей.
Замечание 9.3. Любое дробно-линейное отображение, переводящее точку
в 0 и
в бесконечно удалѐнную точку, имеет вид
Пример. Найти дробно-линейную функцию
,
,
по условию
тогда по формуле (9.7)
.
, такую, что
.
Решение:
после преобразований получим
Пример. При отображении
так как
и
, то
.
найти образ прямой
Решение:
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]