Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
21
Пример. Проверить выполнение условий Коши – Римана для функции
zw cos
ivuw
)cos(cos iyxzw
iyxiyx sinsincoscos
)shsin,ch(cos yiiyyiy
.shsinchcos yxiyx
yxyxvyxyxu shsin),(,chcos),(
yx
x
u
chsin
yx
y
v
chsin
yx
y
u
shcos
yxyx
x
v
shcos)shcos(
),(),()( yxivyxuzf
).2(),1(
x
v
y
u
y
v
x
u
).2(),1(
y
x
v
y
y
u
x
y
v
x
x
u
''''
).2(),1(
2
2
22
2
2
yx
v
y
u
yx
v
x
u
.
Решение:
представим функцию w в виде
Таким образом,
Найдѐм производные
,
,
Условия Коши-Римана выполнены.
.
.
;
.
5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть на области D комплексной плоскости z задана аналитическая
функция
непрерывные производные любого порядка. При этом функции u(x, y) и v(x, y)
также имеют на D непрерывные частные производные любого порядка.
Для функции f(z) выполняются условия Коши – Римана:
Продифференцируем равенство (1) по х, а равенство (2) по у:
Тогда
. Тогда по определению она имеет на D
22
Сложим (1) и (2) и получим
0
2
2
2
2
y
u
x
u
2
2
2
2
y
u
x
u
u
0u
2
2
2
2
yx
).2(),1(
x
x
v
x
y
u
y
y
v
y
x
u
''''
).2(),1(
2
22
2
22
x
v
yx
u
y
v
yx
u
0
2
2
2
2
y
v
x
v
0v
.
Обозначим
.
Тогда уравнение
(5.1)
называют уравнением Лапласа.
В случае двух переменных оператор Лапласа имеет вид
.
Функцию u, имеющую непрерывные частные производные 2-го порядка
на D и удовлетворяющую уравнению Лапласа, называют гармонической
функцией на D.
Теперь продифференцируем равенство (1) по у, а равенство (2) по х:
Тогда
Найдѐм разность (1) и (2) и получим
или
. (5.2)
Таким образом, и действительная, и мнимая части аналитической
функции на D являются гармоническими функциями.
23
Обратное не всегда верно. Т.е. если u и v – произвольные гармонические
ivuzf )(
yvxu ,
;0;1;0;0
;0;0;0;1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
v
y
v
x
v
x
v
y
u
y
u
x
u
x
u
000 u
000 v
)11(
y
v
x
u
ziyxivuzf )(
z
e
0!n
n
z
n
z
e
ixz
x
R
функции на D, то
не всегда является аналитической функцией на
D. Требуется ещѐ выполнение условий Коши – Римана.
Пример. 1. Проверить, являются ли функции
гармоническими. 2. Проверить условия Коши – Римана.
Решение:
1. Найдѐм частные производные
составим уравнения Лапласа (5.1) и (5.2):
– верно;
– верно,
следовательно, функции u и v являются гармоническими.
2. Условия К-Р:
– первое условие не выполняется,
следовательно, функция
не является аналитической.
6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ И ОБРАТНЫЕ ФКП
Элементарные ФКП
Показательной функцией
которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда
в комплексной области называется функция,
.
Из определения следует, что показательная функция определена во всей
комплексной плоскости. В частности, при
,
, получаем
24
0!n
nn
ix
n
xi
e
=
0
0
0
!0
1
k
n
x
0
~
1
1
!1
k
n
xi
1
2
2
!2
1
k
n
x
1
~
3
3
!3
k
n
xi
2
4
4
!4
1
k
n
x
2
~
5
5
!5
k
n
xi
3
6
6
!6
1
k
n
x
...
!7
3
~
7
7
k
n
xi
0
2
)!2(
)1(
k
kk
k
x
0
~
1
~
2
~
)!1
~
2(
)1(
k
kk
k
x
i
xcos
xisin
xcos
xsin
x
sincos ie
i
zzzz ch,sh,cos,sin
Тригонометрический синус
0
12
)!12(
)1(
sin
n
nn
n
z
z
Гиперболический синус
0
12
)!12(
sh
n
n
n
z
z
Тригонометрический косинус
0
2
)!2(
)1(
cos
n
nn
n
z
z
Гиперболический косинус
0
2
)!2(
ch
n
n
n
z
z
i
ee
z
iziz
2
sin
2
cos
iziz
ee
z
2
sh
zz
ee
z
2
ch
zz
ee
z
iziz
iziz
ee
ee
i
z
1
tg
iziz
iziz
ee
ee
iz
ctg
zz
zz
ee
ee
z
th
zz
zz
ee
ee
z
cth
zize
iz
sincos
zize
iz
sincos
zze
z
shch
zze
z
shch
ziiz shsin
ziz chcos
ziiz sinsh
ziz cosch
1cossin
22
zz
1shch
22
zz
212121
sincoscossin)sin( zzzzzz
212121
shchchsh)sh( zzzzzz
212121
sincoscossin)sin( zzzzzz
212121
shchchsh)sh( zzzzzz
212121
sinsincoscos)cos( zzzzzz
212121
shshchch)ch( zzzzzz
212121
sinsincoscos)cos( zzzzzz
212121
shshchch)ch( zzzzzz
.
Таким образом, первое слагаемое есть ряд Тейлора для функции
второе слагаемое – для функции
Если
, то получаем формулу Эйлера:
Функции
.
.
вводятся аналогично – как суммы
соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости
рядов.
Соотношения для тригонометрических и гиперболических ФКП
,
25
0z
zeA
0,ln zzeAz
A
i
rezivuA ,
reereeree
uiivuiivu
iiv
ee
,...1,0,2,ln kkvru
zzrkkzizz arg|,|,...;2,1,0),2(arg||lnLn
0k
zizz arg||lnln
Степенная функция
при любой степени α
,0,Lnzez
z
С.
Показательная функция
с любым основанием а
aaea
azz
,0,
Ln
С.
zwze
w
Ln
Арксинус
)1Ln(
1
Arcsin
2
ziz
i
z
Гиперболический арксинус (ареасинус)
)1Ln(Arsh
2
zzz
Арккосинус
)1Ln(
1
Arccos
2
zz
i
z
Гиперболический арккосинус (ареакосинус)
)1Ln(Arch
2
zzz
Арктангенс
iz
izi
z
1
1
Ln
2
Arctg
Гиперболический арктангенс (ареатангенс)
z
z
z
1
1
Ln
2
1
Arth
Арккотангенс
iz
izi
z
Ln
2
Arcctg
Гиперболический арккотангенс (ареакотангенс)
1
1
Ln
2
1
Arcth
z
z
z
Обратные ФКП
Логарифмом числа
равенство
Пусть
. Следовательно,
, т.е.
называется число А такое, что справедливо
.
. Тогда
Из этого следует, что
и
логарифм комплексного числа определяется неоднозначно, т.е. получаем
множество значений логарифма данного числа
.
При
получаем главное значение логарифма
.
Логарифмическая функция вводится как функция, обратная к
показательной, т.е. как решение уравнения
Обратные тригонометрические и гиперболические ФКП
.
26
7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ФКП
0
zz
|| z
)0(,
i
ez
)(zfw
ww
w
)()( zzf
z
w
0)( z
0z
)()( zzzzfw
)( zz
0z
0)(
zf
zzf )(
zzfw
)(
)(zfw
w
u v O
w+Δw
x y O
z
z+Δz
θ
В комплексной плоскости z из точки z опишем круг радиуса
(рис. 7.1). Произвольная точка круга имеет вид
Запишем
Рис. 7.1. Отображение круга на область
.
, причѐм
.
При помощи функции
на плоскости w. Область
состоит из точек
круг перейдѐт в некоторую область
соответствуют всевозможные приращения z.
По определению производной
где бесконечно малая величина высшего порядка
Умножим выражение (7.1) на z и получим
Произведение
Поэтому, если
, то в равенстве (7.2) первое слагаемое
стремится к нулю при
, причѐм приращениям
, (7.1)
при
.
. (7.2)
быстрее чем z.
является
главным.
Приближенно с точностью до бесконечно малых величин высшего
порядка, при достаточно малых z можно написать
. (7.3)
27
Запишем
i
rezf )(
)(
iii
ererew
|||| zrrw
)(Arg)(Arg zw
zz
)(zfw
)(arg zf
|)(| zfr
zz
)( zz
u v O
r
w+Δw
w
Таким образом,
модуль
аргумент
. Тогда в формуле (7.3)
.
, (7.4)
. (7.5)
Рис. 7.2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП
Таким образом, для того чтобы представить, куда перешли точки
при помощи отображения
1) повернуть круг на угол
2) растянуть его в
Тогда каждая точка
надо сдвинуть на величину
, необходимо:
;
раз.
перейдет в некоторую точку, которую ещѐ
.
,
28
8. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
)(zfw
iyxz
ivuw
Г
iyxz
ivuw
Г
Г
)(zfw
000
iyxz
1
Г
2
Г
1
L
2
L
),(
00
yx
1
2
0
z
000
ivuw
1
Г
2
Г
1
Г
2
Г
1
L
2
L
),(
00
vu
1
2
1
Г
2
Г
1
Г
2
Г
)(zfw
x y O Г z
u v w
Г
O y O
2
Г
0
z
х
1
Г
2L1
L
1
2
v
O
2
Г
0
w
u
1
Г
2
L
1
L
1
2
)(zfw
Пусть на области D комплексной плоскости z задана аналитическая
функция
. Тогда числу
определенное значение
Рис. 8.1. Отображение линии Г в линию
Если точка
точка
на плоскости w опишет линию
на плоскости z соответствует
на плоскости w.
на плоскости z описывает некоторую линию Г, то
. В этом случае линию
называют отображением линии Г на плоскость w с помощью функции
.
Пусть через точку
и
к этим линиям в точке
Тогда отображением точки
а линии
касательные
и
отобразятся в линии
и
в точке
проходят две линии
и
образуют с осью Ох углы
на плоскость uOv будет точка
и
. К ним также проводим
. Они образуют с осью Ou углы
. Касательные
и
.
и
.
,
Рис. 8.2. Отображение линий
и
в линии
и
29
Для того чтобы направление прямой
1
L
1
L
1
L
1
2
L
2
111
222
)(Arg)(Arg zw
)(arg
01
zf
)(arg
02
zf
21
11
22
11
22
2211
2121
1
L
2
L
180)180(
21
21
)180(180
.
21
1
L
2
L
180)180(
21
21
)180(180
.
21
),(
00
yx
),(
00
vu
0
z
0)(
0
zf
)(zfw
0)(
zf
совпало с направлением прямой
, нужно прямую
повернуть на угол
По формуле (7.5) (
следовательно,
Тогда
повернуть на угол
. Тогда
и
и
и
и
. Аналогично прямую
.
) получаем, что
,
.
;
;
;
нужно
Т.е.
(
.
Пусть – угол между прямыми
и
. Тогда
Пусть
– угол между прямыми
и
. Тогда
.
Таким образом, две произвольные линии, пересекающиеся в точке
, отображаются в две соответствующие линии, пересекающиеся в точке
, так, что угол между их касательными один и тот же.
Кроме того, данное отображение осуществляет в каждой точке
) растяжение, не зависящее от направления.
Конформное отображение – отображение, обладающее свойством
сохранения углов и свойством постоянства растяжения.
Отображение с помощью аналитической функции
конформным во всех точках, где
.
является
30
9. ПРОСТЕЙШИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
czw
rzw
zew
i
0r
|||| zrw
zw ArgArg
.0)(;0)(;01)(
ii
ezewrrzwczw
)0(, abazw
czw
х
у z O
v
u
z w c
O
х у z
O
v
u
z
w
O
rzw
х у z
O
zew
i
v u z w θ
O
9.1. Целая линейная функция
Рассмотрим 3 функции
, (9.1)
, (9.2)
, (9.3)
где с – постоянное комплексное число,
, θ – произвольное действительное число.
Все эти функции отображают плоскость z на всю плоскость w (рис. 9.1, 9.2, 9.3).
Рис. 9.1. Сдвиг плоскости z на вектор с
Рис. 9.2. Растяжение (сжатие) плоскости z в r раз:
,
Рис. 9.3. Поворот плоскости z вокруг нулевой точки на угол θ
Найдѐм производные аналитических функций (9.1), (9.2), (9.3):
По определению эти функции осуществляют конформное отображение.
Причѐм они являются частными случаями более общей целой линейной функции
, (9.4)
где а и b – постоянные комплексные числа.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]