Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные определения и теоремы теории функций комплексного переменного. Учебное пособие
.pdf
11
б)
2
3
6
5
sin
2
3
6
5
cos
8
2
2
1
i
z
z
iii
8
3
8
1
2
3
2
1
4
1
3
2
sin
3
2
cos
4
1
)20sin20(cos2
6
5
24sin
6
5
24cos2
242424
1
iiz
2424
2)01(2 i
2,1,0,
3
2
2
3
sin
3
2
2
3
cos8
3
3
2
k
k
i
k
z
0k
iiiiz 2)0(2
2
sin
2
cos2
32
3
sin
32
3
cos2)(
032
1k
;3
2
1
2
3
2
6
7
sin
6
7
cos2
3
2
2
3
sin
3
2
2
3
cos2)(
132
ii
iiz
2k
.3
2
1
2
3
2
6
11
sin
6
11
cos2
3
4
2
3
sin
3
4
2
3
cos2)(
232
ii
iiz
;
в)
;
г)
откуда получаем три значения корня:
при
при
;
;
при
12
Арифметические операции над комплексными числами, заданными в
21
2211
,
ii
erzerz
)(
2121
21
i
errzz
)(
2
1
2
1
21
ie
r
r
z
z
inn
n
in
errez
iziz 62,66
21
21
zz
2
1
z
z
6
2
z
2666,06,06,66
22
1111
ryxiz
4
1arctg
6
6
arctg
1
228)6()2(,06,02,62
22
2222
ryxiz
3
3arctg
2
6
arctg
2
i
i
ezez
3
2
4
1
22,26
i
i
i
i
eeeezz
12
7
34
3
4
21
24242226
ii
i
i
i
eee
e
e
z
z
12
23
12
34
3
4
2
1
333
22
26
512)2sin2(cos512512222
2
3
6
9
6
3
6
2
ieeez
i
ii
показательной форме,
1. Умножение
2. Деление
3. Возведение в степень
Пример. Комплексные числа
показательной форме и найти: а)
, б)
, в)
Решение:
.
. (1.14)
. (1.15)
. (1.16)
представить в
.
представим комплексные числа в показательной форме
,
;
;
.
а)
б)
.
.
,
в)
.
13
2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
Dz
Gw
)(zfw
)(zf
GDf :
Gw
Dz
)(zfw
iyxz
ivuw
)(Re zfu
)(zf
)(Im zfv
)(zf
),( yxuu
),( yxvv
Dz
)(zfw
)(zfw
ПЕРЕМЕННОГО (ФКП)
2.1. Область определения и область значений ФКП
Пусть заданы два множества D и G комплексных чисел. Если каждому
значению
на множестве D задана функция
Таким образом, задание функции комплексного переменного
областью определения D и областью значений G есть отображение
множества D на множество G:
точки z, точка
ставится в соответствие число
комплексного переменного z (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Отображение множества D на множество G
. Точка
– прообразом при отображении
, то принято считать, что
называется образом
.
с
Если записать числа z и w в алгебраической форме:
то получаем, что
– мнимая часть функции
две функции двух действительных переменных х и у.
Если каждому
функция
называется многозначной (рис. 2.2.).
Рис. 2.2. Многозначная функция
соответствует несколько разных значений w, то
– действительная часть функции
. При этом
,
и
,
,
–
14
2.2. Множества на комплексной плоскости
}||:{)(
00
zzzzO
||0
0
zz
00
\)( zzO
Mz
0
0
MzO )(
0
0
)(01zOz
)(02zOz
Mz
1
Mz
2
Рис. 2.3. Окрестность точки z0:
}||:{)(
00
zzzzO
Рис. 2.4. Проколотая окрестность
точки z0:
||0
0
zz
х у 0
ε
z
0
ε х у 0 z
0
Рис. 2.5. Внутренние точки
Рис. 2.6. Граничные точки
М
М
1. Множество точек z, удалѐнных от заданной точки z0 на расстояние,
меньшее чем заданное число ε, называется ε-окрестностью точки z0 (рис. 2.3).
Обозначение
.
2. Множество точек z, удовлетворяющих неравенству
проколотую окрестность точки z0 (рис. 2.4).
Обозначение
.
3. Точка называется внутренней точкой множества, если она
, образует
принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью. Точка z0 – внутренняя
точка множества М, если
и
, что
(рис. 2.5).
4. Множество, все точки которого являются внутренними, называется
открытым.
5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой еѐ
окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не
принадлежащие ему. Точка z0 – граничная точка множества М, если для
точки z1 и z2,
,
, такие, что
, а
(рис. 2.6).
15
6. Совокупность граничных точек множества образует границу
CMM
ГDD
Рис. 2.7. Направление обхода границы
Рис. 2.8. Замкнутое множество
М
С
Рис. 2.9. Множество: а – связное; б – несвязное
а
б
Рис. 2.10. Замкнутая область D
M D Г
М
множества.
7. Направление обхода границы называется положительным, если
область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева (рис. 2.7).
8. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым.
Обозначение: M, т.е.
9. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить
непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству (рис. 2.9).
, где С – граница множества М (рис. 2.8).
10. Открытое связное множество называется областью. Область с
присоединенной границей называется замкнутой областью:
(гамма) – граница области D (рис. 2.10).
, где Г
16
11. Если область D ограничена замкнутой не самопересекающейся линией
),(),()( yxivyxuzfw
000
iyxz
ibaA
0|)(|lim
0||
0
Azf
zz
D Г D
Г
1
Г
2
D
Г
1
Г
2
Г
3
Г
4
Г, то такая область называется односвязной (рис. 2.11).
Рис. 2.11. Односвязная область
12. Если область D ограничена двумя замкнутыми и не
самопересекающимися линиями Г1 и Г2, то такая область называется двусвязной
(рис. 2.12).
Рис. 2.12. Двусвязная область
13. Рассмотрим рис. 2.13. Здесь Г1 – внешняя линия, а Г2, Г3, Г4 –
внутренние. Так как линия может вырождаться в точку (Г3) или в непрерывную
дугу (Г4), то область D является четырехсвязной.
Рис. 2.13. Четырехсвязная область
2.3. Предел и непрерывность ФКП
Функция
равный числу
, если
имеет предел в точке
(2.1)
,
17
или
Azf
zz
)(lim
0
0)()(lim
22
0||
0
bvau
zz
,),(lim
),(),(
00
ayxu
yxyx
byxv
yxyx
),(lim
),(),(
00
)(lim)(lim))()((lim
000
zgzfzgzf
zzzzzz
)(lim)(lim))()((lim
000
zgzfzgzf
zzzzzz
)(lim)(lim))()((lim
000
zgzfzgzf
zzzzzz
0)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
0
zg
zg
zf
zg
zf
zz
zz
zz
zz
),(),()( yxivyxuzfw
000
iyxz
)()(lim
0
0
zfzf
zz
0,0)()( zzfzzf
),,(),(lim
00
),(),(
00
yxuyxu
yxyx
),(),(lim
00
),(),(
00
yxvyxv
yxyx
)(zfw
),(),,( yxvyxu
),(
00
yx
. (2.2)
Распишем равенство (2.1)
тогда равенство (2.2) может быть записано в виде
, (2.3)
1.
2.
3.
4.
Функция
, если
Свойства пределов ФКП
.
.
.
.
называется непрерывной в точке
, (2.5)
. (2.4)
при этом
.
Непрерывная в точке z0 функция должна быть определена в окрестности
этой точки, в том числе и в ней самой, и должно выполняться равенство (2.5).
Равенство (2.5) эквивалентно двум равенствам (2.6)
Т.е. непрерывность функции
функций
в точке
в точке z0 эквивалентна непрерывности
.
. (2.6)
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется
непрерывной в этой области.
18
3. ПРОИЗВОДНАЯ ФКП
)(zfw
)(zf
dz
dw
zf
z
zfzzf
z
w
zz
)(
)()(
limlim
00
)(zf
)(zf
)()(zf
k
)()(..,,)()(,)()(
)1()(
zfzfzfzfzfzf
kk
)()())()(( zgzfzgzf
)()())()(( zgzfzgzf
)()()()())()(( zgzfzgzfzgzf
0)(
)(
)()()()(
)(
)(
2
zg
zg
zgzfzgzf
zg
zf
2
zw
Cz
.202
2lim
2
lim
)(
limlim
0
222
0
22
00
zz
zz
z
zzzzz
z
zzz
z
w
zzzz
Cz
zzw 2)(
2
Пусть на области D комплексной плоскости z задана однозначная
функция
. Производной от функции
в точке z называется предел
, (3.1)
где z любым образом стремится к нулю.
Функция
, имеющая непрерывную производную в любой точке
области D комплексной плоскости z, называется аналитической функцией на
этой области.
Производная от функции
порядка k обозначается через
:
.
Свойства производных ФКП
1.
2.
.
.
3.
4.
.
.
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой
в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторой области
D, называется дифференцируемой в этой области.
Пример. Исследовать функцию
на непрерывность.
Решение:
по определению производной для любой точки
Предел существует для любой точки
. При этом
.
19
4. УСЛОВИЯ КОШИ – РИМАНА (ДАЛАМБЕРА – ЭЙЛЕРА)
),(),()( yxivyxuzfw
Dz
Dz
z
w
zf
z
0
lim)(
)],(),([)],(),([ yxvyyxxviyxuyyxxuw
yixz
xixzy 0:0
0x
yiyizx 0:0
0y
0,0 xy
z
w
zf
z 0
lim)(
x
yxvyxxv
i
x
yxuyxxu
x
),(),(),(),(
lim
0
.
),(),(
lim
),(),(
lim
00
йпроизводноеопределени
x
йпроизводноеопределени
x
x
yxvyxxv
i
x
yxuyxxu
x
v
i
x
u
zf
)(
0,0 yx
z
w
zf
z 0
lim)(
yi
yxvyyxv
i
yi
yxuyyxu
y
),(),(),(),(
lim
0
.
),(),(
lim
),(),(
lim
00
йпроизводноеопределени
y
йпроизводноеопределени
y
y
yxvyyxv
y
yxuyyxu
i
y
u
i
y
v
y
v
y
u
izf
)(
Рассмотрим комплексную функцию
,
,
определѐнную на области D комплексной плоскости z. Пусть она имеет
производную в точке
, т.е.
. (4.1)
Запишем приращение функции
.
Приращение аргумента
стремится к нулю любым образом,
т.е. возможны 2 случая:
1)
2)
В первом случае:
и
и
;
.
Таким образом,
Во втором случае:
. (4.2)
Таким образом,
. (4.3)
20
Приравняем действительные и мнимые части функции из равенств (4.2) и
.
,
x
v
y
u
y
v
x
u
),( yxuu
),( yxvv
),(),()( yxivyxuzfw
),(),()( yxivyxuzf
iyxz
),(),()( yxivyxuzf
iyxz
),(),()( yxivyxuzf
(4.3) и получим 2 условия
Условия (4.4) называют условиями Коши – Римана (Даламбера – Эйлера).
(4.4)
Эти соотношения связывают действительную
части любой дифференцируемой ФКП
и мнимую
.
Впервые эти условия упоминает в своих работах Даламбер в 1752 г. В
докладе Эйлера Петербургской академии наук в 1777 г. условия (4.4)
рассмотрены в качестве общего признака аналитичности функций.
В 1814 г. Коши представил Парижской академии наук свой научный труд,
в котором использовал эти соотношения для построения теории ФКП. И,
наконец, Риман в 1851 г. защищает диссертацию об основах теории функций
комплексного переменного, в которой также использует условия (4.4).
Таким образом, 4 учѐных независимо друг от друга сформулировали эти
условия.
Теорема 4.1. Если функция
имеет производную в
точке
, то еѐ действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у)
частные производные 1-го порядка, удовлетворяющие условиям Коши – Римана.
Теорема 4.2. Если функции u(x, y) и v(x, y) имеют в точке (х, у) непрерывные
частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то функция
имеет в точке
Теорема 4.3. Для того чтобы функция
производную.
была
аналитической на области D плоскости z, необходимо и достаточно, чтобы
частные производные 1-го порядка функций u и v были непрерывны на D и
выполнялись условия Коши – Римана.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]