Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определение энергетических параметров электроприводов специальных систем автоматики. Монография.pdf
Знак обратной связи, очевидно, может быть, как положительным, так и
отрицательным в зависимости от соотношения параметров привода и нагрузки.
Если коэффициент нагрузки изменяется в некоторых пределах, то коэффициент обратной связи необходимо вычислять по статически преобладающему по времени значения коэффициента нагрузки, в частности по его среднему
На основании изложенного можно заключить, что при нагрузке статическим моментом пропорциональным скорости и при неизменном значении коэффициента нагрузки:
1. Быстродействие привода определяется, как и при холостом ходе, эквивалентной постоянной времени, которая не зависит от нагрузки, и относительным коэффициентом затухания, величина которого линейно увеличивается с
нагрузкой;
2. Все выводы, полученные для случая холостого хода относительно параметров главной цепи и двигателя, остаются справедливыми;
3. Для получения минимального времени переходного процесса необходимо введение корректирующей цепи обратной связи, коэффициент которой
зависит от коэффициента нагрузки;
4. При правильно выбранных параметрах корректирующей обратной связи и неизменном коэффициенте нагрузки абсолютное время переходного процесса имеет такую же величину, как у такого же привода при холостом ходе с
корректирующей цепью, рассчитанной на оптимум при холостом ходе;
5. Как уменьшение, так и увеличение нагрузки против расчётной оптимальной увеличивает продолжительность переходного процесса.
61
ГЛАВА 4. БЫСТРОДЕЙСТВИЕ ПРИВОДА ПРИ НАГРУЗКЕ
k ст
MM≥
М
кр ст
су
К
М
КК
ϑ
=
С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ СУХОГО ТРЕНИЯ
Движение электропривода
4.1.
ссмотрим теперь движение электропривода с учетом момента статиче-
Ра
ского сопротивления с характеристикой сухого трения. В этом случае система
является существенно нелинейной. Вследствие нелинейной характеристики
статического момента имеет место «вилка чувствительности». При увеличении
входного сигнала от нуля двигатель может стронуться с места только тогда, когда входной сигнал достигнет критического значения, при котором пусковой
момент двигателя превысит момент статического сопротивления (рис. 4.1), т.е.
при условии
. (4.1)
Учитывая (2.13) и (2.4), получим критическое значение исходного
ла ϑ
, определяющее вилку нечувствительности (–ϑкр < ϑк < ϑкр):
кр
. (4.2)
На
зовем коэффициентом нечувствительности следящего электропривода
σ отношение критического значения сигнала к его максимальному значению ϑ
сигна-
м
при котором электропривод может отработать максимально расчетное значение
угла φ
.
к
,
Ри
с. 4.1. Вилка чувствительности» статического момента
62
Учитывая (2.4), получим:
кр кр
мк
ϑϕ
σ
ϑϕ
= =
ст
км
М
М
σ
=
m ст n c
d
K M T KU
dt
ω
ω
++ =
( )
0
1
m cmст m
Tp KU KM Tp
ωω
+=−+
y
UK
δ
=
. (4.3)
тому выражению можно придать другой, более показательный вид, если
Э
воспользоваться соотношением (2.13)
. (4.4)
аким образом, коэффициент нечувствительности равен отношению ста-
Т
тического момента к максимальному пусковому т.е. к пусковому моменту двигателя в начальный момент включения сигнала.
Это соотношение является важным, потому что позволяет установить, как
это будет показано ниже, связь между двумя нелинейностями-статического момента сухого трения М
и нелинейностью насыщения, ограничивающей мощ-
ст
ность двигателя, а следовательно, между нагрузкой и мощностью двигателя.
Вместе с тем коэффициент нечувствительности, как это поясняется ниже,
характеризует максимально возможную ошибку в отработку угла, обусловленную зоной нечувствительности [31].
Движение следящего электропривода при нагрузке моментом сухого тре-
ния, а также фазовую траекторию можно описать линейными уравнениями с
припасовыванием граничных условий и с изменением знака момента статического сопротивления в каждом полупериоде.
С учетом этих замечаний уравнение движения привода можно записать в
следующем виде:
П
рименяя преобразование Лапласа-Карсона, получим изображение:
ля усилителя, по-прежнему пренебрегая его инерцией, имеем
Д
где К
– статический коэффициент усиления усилителя;
у
δ – сигнал «ошибки» на входе усилителя.
. (4.5)
. (4.6)
, (4.7)
63
Уравнение занижения цепи обратной связи:
p
K
ϕ
δϑ ϕ
= −
обр
y
p
K
ϑ
ϕ
∂
=
∂
1
p
wdt
Z
ϕ
= ∫
0
ω
p
Zp
ϕϕ
= +
ypy
U KK K
ϕ
ϕϑ
+=
( )
0c mmст m
KU I T P K M T p
ωω
−+ = −
0
1
p
Zp
ωϕ ϕ
− +=
( )( ) ( )
00
22
1
11
1
12
ст m m m
m
ст
cc
gM TppTp Z Tpp
K
K
UM
K æT p T p K
ϕ
ϑ ωϕ
−⋅ + − ⋅ −⋅+ ⋅
⋅ +⋅
+⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅
⋅
( )
2
00
22
12
ст
Z
gM T p Z
K
p
æTp T p
ϕ
ϑ ωϕ
ω
−+−
=
++
десь ϑ – командный сигнал на входе следящей системы;
з
φ
– угол поворота выходного вала редуктора, отсчитываемый от
р
некоторого нуля (φ
Коэффициент обратной связи:
У
гол поворота вала редуктора:
= 0) при (ϑ = 0).
0
, (4.8)
. (4.9)
, (4.10)
в преобразованном виде:
И
з уравнений (4.6), (4.7), (4.8) и (4.11) получим комплекс уравнений:
Решения данного комплекса уравнений относительно переменных U, ω и
φ имеют вид:
. (4.11)
;
; (4.12)
.
; (4.13)
; (4.14)
64
( )
2
00
0
22
11
12
ст
gM T p
KZ
æTp T p
ϕ
ϑ ωϕ
ϕϕ
−+ −
= +
++
. (4.15)
( ) ( )
00
2
12
12
ст
m
ст
m
Z
gM p æTp Zp
K
T
M pM
K æTp T p
ϕ
ϑ ωϕ
− −+ −
= = +
++
m
cy
K
g
KK
=
( )
00
11
1 cos
e
m ст
M Ve
ZV
ε
ϕ ϕ ϕ εα ϕ
−∂
=− −− − +
0
2
sin
ær
грн m ст n
æ
KM Kr V e
V
ωω ϕ ε
−
=−−
[ ]
( )
0
1
1 cos
ær
km ст ст
MM M V e M
V
ϕ εα
−
= −− − + +
cy
m
KKK
K
r
Kg
ϕ
ϕ
= =
2
22
1
св
V
æ
ππ
τ
= =
−
Используя уравнение движения (1.4), получим:
. (4.16)
этих выражениях мы ввели временное обозначение:
В
. (4.17)
О
ригиналы угловой скорости двигателя, его момента и угла, отрабаты-
ваемого выходным валом редуктора запишутся следующими выражениями:
; (4.18)
; (4.19)
. (4.20)
В
этих уравнениях знак момента статического сопротивления М
соот-
ст
ветствует нечетным полупериодам, т.е. верхней полуплоскости ω, М. Для четных полупериодов и нижней полуплоскости его надо изменить на обратный.
В системе уравнений (4.13), (4.19) и (4.20) обозначено:
. (4.21)
епосредственно из вида этих уравнений следует, что период свободных
Н
колебаний не зависит от нагрузки и определяется тем же выражением, что и в
случае холостого хода:
. (4.22)
65
Или в секундах
2
2
1
св св
TT T
æ
π
τ
= =
−
[ ]
( )
0
1
cos
æ
j km ст
MMMr V e
V
ε
ϕ τα
−
= −− +
j ст
M MM= −
( )
( ) ( )
22
0
1
2 sin cos
z
æ
km ст m
p M M r æK V V Q e
V
ε
ϕ εε
−
= −− + +
cy
km m
m
KK
M
K
ϑ
=
Чт
обы получить укрывание спирали ω, М для рассматриваемого случая,
запишем (4.20) в виде:
гд
е динамическая составляющая момента двигателя
Теперь для спирали ω, М, используя формулы (4.19) и (4.24), можно со-
ставить уравнение:
, (4.24)
. (4.25)
. (4.26)
ако в данном случае (М
Одн
≠ 0) это не одно уравнение непрерывной
ст
кривой, а семейство уравнений, действительных каждое для одного полувитка
спирали, в верхней или нижней полуплоскости. Для дуг спирали верхней полуплоскости фокус спирали (4.26) находится в точке (ω = 0, М = М
нижней полуплоскости фокус переходит в точку (ω = 0, М = –М
в этом случае нужно изменить знак М
. Отсчет времени берется с начала каж-
ст
). Для дуг
ст
), кроме того,
ст
дого полувитка, и в уравнение каждого полувитка необходимо подставлять в
качестве начального условия φ
значение угла, отработанного за предыдущее
0
время.
Нетрудно видеть, что уравнение касательной сохраняет такой же вид, как
и в случае холостого хода, т.е. угол касательной в пусковой точке (ω = 0,
М = М
) не зависит от нагрузки, и касательная совпадает с механической ха-
кт
рактеристикой при соответствующем значении напряжения [32, 33].
Пусковой момент двигателя зависит только от входного сигнала и коэффици-
ента усиления усилителя (при выбранных или заданных параметрах двигателя).
Если сигнал
ϑ
равен (или больше в случае отсечки) критическому значе-
м
нию ϑкр (4.2), то двигатель берет с места в начальный момент включения.
66
. (4.27)
Подставив в (4.18) и (4.20) начальные условия (φ0 = 0), и относительное
1
2
км
π
ττ
= =
∂
11
æ
m ст
km
M
e
KM
π
ϕ
ϑ
ϕ
−
∂
=−+
1
æ
ст
km ст
km
M
MM e M
M
π
−
∂
=−− +
ст
MM≤
( )
1
2
1
2
æ
ст
km ст ст
æ
km
M
M Me M
M
e
π
π
−
∂
∂
−≤ ≥
+
2
2
11
æ
ст
v
m
km
M
e
M
π
ϕϕ
−
=−−
2
1
æ
ст
v
km ст
km
M
MM e M
M
π
−
=−−
2
1
12
ст
æ
km
v
M
M
e
π
≥
+
время одного полупериода
, получим значение угла, отработанного
двигателем за один полупериод:
И
значение момента двигателя в конце первого полупериода
Д
вигатель остановится в указанный момент времени, «застрянет» в «вил-
ке нечувствительности» (рис. 4.2) при условии
. (4.28)
. (4.29)
. (4.30)
Из (4.29) это условие остановки двигателя в конце первого полупериода
запишем в виде:
. (4.31)
Е
сли статический момент меньше требуемого формулой (1.132), двига-
тель реверсируется в спирали и переходит на нижнюю полуплоскость.
(0,5·τ
Подставив в (4.13) и (4.20) новые начальные условия (φ
) вместо τ (время для каждого полупериода отсчитывается от его начала),
св
= φ1), из (4.28) и
0
получим значение угла и момента двигателя в конце второго полупериода:
. (4.32)
. (4.33)
Д
вигатель остановится при условии
. (4.34)
67
ротивном случае он среверсирует и к концу третьего полупериода от-
3
3
11
æ
ст
v
k
km
M
e
M
π
ϕϕ
−
=−−
3
3
1
æ
ст
v
km ст
k
m
M
MM e M
M
π
−
=−− +
( )
3
2
æ
v
k ст ст
MMe M
π
−
−<
( )
2
æ
i
v
k ст ст
MMe M
π
−
−≤
2
1
æ
i
v
e
π
σ
σ
−
≤
−
2
1
1
ææ
i
vv
ee
ππ
σ
σ
≤≤
−
2
111
ln ln
22
Væ
i
ææ
σσ
π σπ σ
−−−
≥=
В п
работает угол:
моменте двигателя
при
и ос
тановится, если
бще двигатель остановится в конце i-го полупериода, если
Воо
(4.35)
(4.36)
. (4.37)
где М
имеет арифметическое значение.
ст
Учитывая (4.4), это условие можно выразить через коэффициент нечувст-
вительности.
Точн
ое число полупериодов можно определить, как целое число, удовле-
творяющее двойному неравенству:
Есл
и разрешить уравнение (4.39) относительно i, то получим
, (4.38)
. (4.39)
. (4.40)
где i – ближайшее целое число, удовлетворяющее (4.39) как уравнению.
, (4.41)
68
На рис. 4.2 приведены кривые зависимости i от (æ = 0,4, 0,6, 0,8
2
2
11
ln
2
p
æ
i
æ
σ
πσ
−−
=
построенные на основании уравнения:
. (4.42)
Пун
ктиром построена ступенчатая зависимость числа полупериодов i при
(æ = 0,4).
и 0,95),
Рис
. 4.2. Зависимость числа полупериодов от коэффициента затухания
На рис. 4.3 эт
(σ = 0,005, 0,01, 0,02, 0,05 и 0,1). Там же построена кривая (Т
а зависимость построена в координатах (i
/Т = ψ(æ)), пока-
св
= ψ(æ)) при
гр
зывающая относительную продолжительность периода свободных колебаний.
69
Р
2
1
2
1
пер св
t T i iT
æ
π
= =
−
2
1
пер
ti
æ
π
=
−
ис. 4.3. Зависимость числа полупериодов
от коэффициента нечувствительности
Этот график иллюстрирует вопрос о минимальном времени переходного
процесса. Полное время переходного процесса, учитывая (1.45) и (1.49),
(4.43)
ил
и
К
ак видно из кривых (рис. 4.3), с увеличением коэффициента затухания
уменьшается число полупериодов переходного процесса. Но растет продолжительность каждого полупериода за счет знаменателя (4.44), которая стремится к
∞ при (æ = 1) (случай равных корней характеристического уравнения).
Следовательно, продолжительность переходного процесса для каждого
заданного значения коэффициента нечувствительности σ (и статического момента М
) имеет минимум при определённом, оптимальном значении относи-
ст
тельного коэффициента затухания.
70
. (4.44)