Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определение энергетических параметров электроприводов специальных систем автоматики. Монография.pdf
Кроме того, использованы обозначения специальных коэффициентов:
2
æ1
ν
= −
t
T
τ
=
æ
th
α
ν
=
( )
11
pk
e
τ
ϕϕ τ
−
= −+
.2гр
e
τ
ωω τ
−
= ⋅⋅
( )
1
ko
MM e
τ
τ
−
= −
( )
æ
1
1 cos
pk
e
ε
ϕ ϕ νε α
ν
−
=−−
0
æ
2 sin
æ
гр
е
ε
ω ω ντ
ν
−
=
( )
æ
1
cos
ko
MM e
ε
ντ α
ν
−
= +
2
1æ
ν
= −
ри этом относительное время
П
В граничном случае (æ = 1) т.е. равных корней характеристического
уравнения, имеем
; (1.30)
. (1.31)
. (1.32)
; (1.33)
; (1.34)
. (1.35)
случае колебательного процесса, представляющего в данном вопросе
В
наибольший интерес, гиперболические функции переходят в тригонометрические, а именно:
З
десь
; (1.36)
; (1.37)
. (1.38)
11
. (1.39)
за колебаний:
2
ææ
1æ
ar
ctg arctg
α
ν
= =
−
sin æ
α
=
cos
αν
=
2
2
æ1
20Pp
TT
+ +=
22
0
20Pp
δ
+ +Ω =
.
0
1
2
св о
T
T
π
= =
Ω
2
22
1æ
св
св
T
T
ππ
τ
ν
= = =
−
.2св о
τπ
=
Фа
Легко показать, что
зап
исав характеристическое уравнение системы:
в сл
едующем виде:
где δ
– коэффициент затухания;
,
. (1.40)
, (1.41)
(1.42)
, (1.43)
Ω
– резонансное значение угловой частоты собственных колебаний
0
системы.
Не
трудно заметить, что в случае колебательного процесса, эквивалентная
постоянная времени Т кратна периоду свободных колебаний системы при резонансной частоте T
св.о
.
. (1.44)
В относительных единицах период свободных колебаний будет
и
период свободных колебаний при резонансе
, (1.45)
. (1.46)
12
Угловую частоту свободных колебаний можно записать в виде:
2
22
00
0
1
δ
δ
Ω= Ω − =Ω −
Ω
T
ν
Ω=
2
0
1æ
γ
Ω
=−=
Ω
0
æ T
δ
δ
= =
Ω
( )
( )
pp
p
Д
p
ωω
θθ
= =
0p →
cy
KKK
Д
Z
ϕ
=
Q
K
ϕ
δ
=
При этом
тсюда видно, что γ имеет смысл относительной частоты свободных ко-
О
лебаний, а
де æ – относительный коэффициент затухания.
г
; (1.47)
, (1.48)
. (1.49)
, (1.50)
араметры Т и æ, характеризующие динамические свойства привода, лег-
П
ко выразить через коэффициент добротности следящего привода, который определяется как отношение угловой скорости привода к угловой ошибке в установившемся режиме при изменении командного сигнала с постоянной скоростью:
при
. (1.51)
Нетрудно показать, что коэффициент добротности привода выражается
. (1.52)
В нашем случае электрического сигнала управления на входе следящего
привода:
13
. (1.53)
Из выражений (1.21) и (1.52) следует, что эквивалентная постоянная вре-
m
T
TД=
1
2
m
æ
T Д
=
p
p
kk
K
ϕ
ϕ
χϕ
ϑϕ
= =
22
1
1 2æ
p
T TP
χ
=
+⋅⋅ +
( ) ( )
æ
1
1 ch e
ε
χ τ ντ α
ν
−
=−+
мени представляет собой
з (1.22) и (1.52), что относительный коэффициент затухания [5, 6]
а и
Динамические характеристики
1.2.
ними из наиболее важных характеристик электроприводов специаль-
Од
; (1.54)
. (1.55)
ных систем автоматики являются динамические характеристики, которые определяют в конечном счете точность, маневренность и эффективность их применения. Динамические характеристики чаще всего регламентируются параметрами амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик (АЧХ и ФЧХ).
Совершенствование следящих электроприводов связано в первую очередь
с повышением стабильности динамических характеристик системы в условиях
воздействия внешних неопределенностей технической среды во время эксплуатации и параметрических возмущений вследствие разброса параметров при из-
готовлении функциональных элементов электропривода.
Уравнение угла, отрабатываемого следящим приводом в относительных
единицах при холостом ходе, дает основные динамические характеристики
следящего привода: амплитудно-фазовые, частотные, временные [7].
Обозначим
относительное значение угловой координаты на выходном ва-
лу редуктора:
Тогда
Оригинал этого выражения дает временные характеристики следящего
привода:
из (1.19)
. (1.56)
. (1.57)
(1.58)
14
при (æ > 1) ;
( )
( )
æ
1
1 cos e
ε
χ τ ντ α
ν
−
=−−
( ) ( )
11 e
τ
ττχ
−
=−+
( )
( ) ( )
2
1
1 2æ
j
Tj T
χµ
µµ
=
−+
0
T
µ
µχ
= =
Ω
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1
12
jx
j e xe
x æx
β
β
χχ
−
−
Ω= =
−+
( )
( )
( )
2
2
2
1
1 2æ
x
xx
χ
=
−+
2
2æ1x
arctg
x
β
=
−
(1.59)
при (æ
< 1);
(1.60)
при (æ = 1).
десь
З
определяется формулами (1.30) или (1.39) и в последнем случае
имеет смысл относительной частоты свободных колебаний.
На рис. 1.2 показано семейство временных характеристик при различных
значениях коэффициента æ.
Положив в уравнение (1.58) текущее значение частоты вынужденных ко-
лебаний, получим выражение амплитудно-фазовой характеристики (АФХ).
Здес
ь
. (1.61)
это видно из (1.44), имеет смысл относительного значения текущей
Как
частоты вынужденных колебаний.
Теперь уравнение АФХ получит вид:
ь
Здес
. (1.62)
. (1.63)
; (1.64)
. (1.65)
15
Рис. 1.2. Семейство временных характеристик
тносительной форме динамические характеристики (1.58), (1.59),
В о
(1.60), (1.61), (1.63), (1.64) и (1.65) инвариантны относительно эквивалентной
постоянной времени Т. В частности, изменение Т при (æ = const) не изменяет
формы характеристики, меняя только масштаб времени t или частоты μ.
Форма же характеристики зависит от значения коэффициента æ. Вид динамических характеристик, а следовательно, и характер переходных процессов,
их качество, однозначно определяются значением относительного коэффициента затухания æ.
Что касается эквивалентной постоянной времени, то при фиксированном
значении коэффициента æ она также однозначно характеризует быстродействие
системы, независимо от форм динамических характеристик.
Таким образом, динамические свойства рассматриваемого нами следящего
привода полностью и однозначно определяются двумя параметрами: эквивалентной постоянной времени Т и относительным коэффициентом затухания æ [8, 9].
16
Ниже будет показано, что такая трактовка, удобная с точки зрения опре-
j
e
ψ
ρρ
=
22
ρ ωµ
= +
arctg
ω
ψ
µ
=
деления конструктивных параметров следящего привода по условиям быстродействия при заданном и неизменном качестве переходных процессов, может
быть применена при определенных условиях к системам любого порядка.
1.3. Нагрузочные характеристики динамического режима
ля изучения движения следящего электропривода мы будем рассматри-
Д
вать траектории, описываемые точкой ω, М на плоскости механических характеристик. Такие траектории на переходных режимах электропривода имеют
смысл динамических нагрузочных характеристик и дают возможность весьма
наглядно судить о поведении электропривода в связи с его основной и механической характеристикой, которая является геометрическим местом всех возможных траекторий точки ω, М при движении электропривода с разомкнутой
безинерционной цепью управления.
Особенно полезно использование траекторий ω, М при исследовании
движения следящего привода с учетом нелинейностей, в частности вопросов
быстродействия. В случае систем с двумя степенями свободы траектория ω, М
является фазовой траекторией изображающей точки.
При включении электропривода на постоянный сигнал угловая скорость и
момент двигателя в колебательном режиме (æ < 1) опишут на плоскости ω, М
свертывающуюся спираль с фокусом (при t = ∞) в начале координат (рис. 1.3).
Уравнение угловой скорости (1.37) и момента двигателя (1.38) являются
уравнениями этой спирали с параметром: относительным временем τ.
В полярной форме уравнение спирали можно записать в виде:
;
; (1.66)
. (1.67)
17
Рис. 1.3. Угловая скорости и момента двигателя в колебательном режиме
( ) ( )
2
22 æ
2æ
km
M K sin cos e
ε
ρ νε νε α
−
= ++
( )
sin
2æ
cos
m
arctg K
γτ
ψ
ντ α
=
+
( ) ( )
sin cos
2æ
cos sin
m
æ
tg K
Mæ
ω ντ ν ντ
λ
ντ α ν ντ α
−
= =
++
′
+
′
Ис
пользуя выражения (1.66) и (1.67), получим:
Нетрудно увидеть, что время одного оборота спирали равно относительному периоду свободных колебаний τ
Найдем некоторые характерные точки спирали, привлекая уравнение касательной к ней:
; (1.68)
. (1.69)
согласно (1.45).
св
. (1.70)
18
1. Начальная точка (τ = 0).
2æ
sin æcos
m
tg K
ν
λ
να α
= −
+
0 m
tg K
λ
= −
cy
kc k
m
KK
M
K
ϑ
=
11
cos æ sin
ν νε νε
=
2
1
1æ
tg ctg
ææ
ν
ντ α
−
= = =
1
2
1
2
1Kæ
πα
τ
+−
=
−
тсюда учитывая (1.41), получим интересный и важный вывод:
О
. (1.71)
. (1.72)
.е. касательная к спирали ω, М в начальной пусковой точке (τ = 0) сов-
Т
падает с одной из механических характеристик электропривода.
Скорость привода в начальной точке (τ = 0) естественно равна нулю
(ω = 0). Значение начального пускового момента определяется согласно (1.29):
, (1.73)
где ϑ
– значение исходного управляющего сигнала.
k
2. Т
очка (tgλ = 0).
Из физических соображений ясно, что эти точки лежат на оси ординат,
т.к. в этом случае (M = μ = 0) и, следовательно, (dω/dt = 0), а ω имеет максимум
или минимум.
Из уравнения (1.70) легко найти значение относительного времени τ в
точках (tgλ = 0) и (M = 0):
тсюда, имея ввиду (1.41), получим:
О
. (1.74)
; (1.75)
, (1.76)
гд
е K – любое целое число.
19
Из выражения (1.37) найдем значение скорости в точках τ:
( )
1
2
.
12
æ
K
k
m гр о
æe
πα
ν
ωω
− +−
= −
( ) ( )
22
sin cos 0æ
ν ντ α ντ α
++ +=
( )
2
æ
tg tg
ντ α α
ν
+ =−=−
2
2
1
KK
æ
πα πα
τ
ν
−−
= =
−
( )
( )
2
1
1
æ
K
k
ko
M Me
πα
ν
ν
−−
= −
( )
1
2
.
12
æ
K
К
гр о
æ tg e
πα
ν
ωω α
− +−
=− ⋅⋅
3
0sin
ντ
=
3
2
1
KK
æ
ππ
τ
ν
= =
−
. (1.77)
3. Точки (tgλ = ∞).
Из того же уравнения (1.70):
От
куда
; (1.79)
. (1.80)
. (1.78)
Подставляя τ2 в (1.38), получим выражение момента в точках (tgλ = ∞):
Из (
1.37) найдем значение скорости:
чки (ω = 0).
4. То
Из уравнения (1.37) при (ω = 0) имеем
куда
От
. (1.81)
. (1.82)
. (1.83)
. (1.84)
20