Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определённый интеграл. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Л. Е. МОРОЗОВА, В. Б. СМИРНОВА
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2011
1
Определённый интеграл
)(],[ baba <
)(xf
0,, === ybxax
)(xfy =
],[ ba
=
=<<<<=
==
n
=
УДК 519.95 (075.8)
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Л. Трескунов (СПбГАСУ); канд.
физ.-мат. наук, доцент М. Ю. Фёдорова (СПбГУ).
Морозова, Л. Е.
Определённый интеграл: учеб. пособие /Л. Е. Морозова,
В. Б. Смирнова; СПбГАСУ. – СПб., 2011. – 99 с.
ISBN 978-5-9227-0295-9
Пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Определённый интеграл» студентами специальностей с сокращенным курсом математики.
Даны основные определения и теоремы. Приводится методика решения
задач. Рассмотрены многочисленные примеры.
Табл. 1. Ил. 65. Библиогр.: 4 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.
ISBN978-5-9227-0295-9 © Л. Е. Морозова, В. Б. Смирнова, 2011
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2011
23
Глава 1. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
)(],[ baba <
)(xf
0,, === ybxax
)(xfy =
],[ ba
=
=<<<<=
==
n
1.1. Задача о площади криволинейной трапеции
Рассмотрим промежуток
рывную неотрицательную функцию
мыми
и кривой
и заданную на нём непре-
. Фигура, ограниченная пря-
называется криволиней-
ной трапецией (рис. 1).
y
)(xfy =
0
nkk 111 −−
Рис. 1
xbxxxxa
Будем решать задачу о вычислении площади криволинейной
трапеции.
Для этого разобьём отрезок
:
),,0( ni
на части точками
x
i
.
bxxxxa
nn
),,0( nkxx
. Тогда наша криволиней-
узких «криволинейных
,
1xxk=−
Проведём прямые
k
−110
ная трапеция будет представлять собой сумму
полосок» (каждая k-я полоска ограничена линиями
Определённый интеграл
k
====
k
k
1
−=∆
),,1( nk=
k
),,1( nk=
1
kkk
k
1
k
∆
λ
{ }
n
∆∆=λ
1
)(xf
0→λ
1
k
11
n
1
n
)(xfy =
)(],[ baba <
],[ ba
nn
=<<<<=
110
1
kkk
{ }
n
∆∆=λ
1
1 kkkk
=
=∆
0→λ
],[ ba
)(xf
],[ ba
a
). Обозначим площадь криволиней-
),,1()(,0, nkxfyyxx
ной трапеции через S, а площадь каждой k -й полоски через
Получим
n
∆=
SS
∑
)(xfy =
y
)(kxf
.
k
=
Площадь каждой полоски
приближённо равна площади прямоугольника с основанием
xxx
1−
kkk
сотой
, где
)(kxf
– произволь-
x
но выбранная точка из промежут-
ка
],[
1 kkxx−
(рис. 2).
Это приближённое равенство
тем ближе к точному равенству,
чем ýже ширина полоски
xxxx
0
Рис. 2
kkk 1−
.
−=∆
xxx
−
Таким образом,
n
∆≅
xxfS
∑
=
.)(
kk
(1)
S∆
и вы-
.
Введём понятие ранга дробления. Среди всех значений
берем наибольшее, обозначим его через
и назовём рангом дробле-
x
вы-
ния, так что
.
xx
,,наиб.
Можно показать, что в силу непрерывности функции
при
приближённое равенство (1) переходит в точное равенствоо
n
.)(lim
∆=
∑
0
→λ
=
xxfS
kk
(2)
Более того, величина S в этом случае не зависит от выбора точек
,
,,
xx
,
x
−
.
x,
45
)(xfy =
)(],[ baba <
],[ ba
nn
=<<<<=
110
1
kkk
{ }
n
∆∆=λ
1
1 kk
k
k
=
=∆
0→λ
],[ ba
)(xf
],[ ba
a
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
К необходимости изучать пределы вида (2) приводят многие задачи геометрии, механики, физики. Пределы вида (2) обобщены с помощью понятия определённого интеграла.
1.2. Определение определённого интеграла
Рассмотрим функцию
, заданную на промежуткее
. Проделаем следующие операции:
1. Разделим промежуток
ми точками
,,−nxx
составим величины
:
11
на части произвольно выбранны-
,
−
−
bxxxxa
и определим ранг
),,2,1(
nkxxx
=−=∆
дробления
.
xx
,,наиб.
2. На каждом промежутке
разом точку
и вычислим
x
3. Вычислим парные произведения
−
)(xf
выберем произвольным об-
],[
xx
.
),,2,1( nk
kk
4. Сложим все парные произведения и получим сумму вида
n
∆
∑
k
=
xxf1)(
kk
,
называемую интегральной суммой.
5. Перейдем к пределу при
0
→λ
∑
k
и вычислим (если это возможно)
n
.)(lim
∆
xxf
kk
1
=
(3)
Если предел (3) существует и не зависит ни от способа разбиения
промежутка
на части, ни от выбора точек
определённым интегралом от функции
, то он называетсяся
x
k
по промежутку
и обозначается так:
b
.)(
dxxf
∫
.
),,2,1()( nkxxf
Определённый интеграл
)(xf
],[ ba
a
],[ ba
],[ ba
)(xf
],[ ba
)(xϕ
)(xf
],[ ba
a
a
a
a
a
0→λ
)(xf
)(],[ baba <
0,, === ybxax
)(xfy =
ba =
ba >
aba
)(xf
],[ ba
α
a
a
)(xfα
],[ ba
11
n
nn
=<<<<=
110
{ }
n
∆∆=λ
1
)(xf
],[ ba
Функция
называется подынтегральной функцией,
–
промежутком интегрирования, a – нижним пределом, b – верхним
пределом интегрирования.
Итак,
b
∫
n
.)(lim)(
∆=
∑
0
→λ
1
=
k
xxfdxxf
kk
(4)
Замечания:
1. Из самого определения определённого интеграла следует, что
он может для данной функции не существовать, так как может не существовать предел (3). Функции, для которых определённый интеграл
существует, называются интегрируемыми по Риману. Любая непре-
рывная на
функция, а также любая кусочно-непрерывная1 на
функция интегрируема по Риману. (Этот факт мы приводим без
доказательства.) Но класс интегрируемых функций значительно шире.
2. Если функция
, то функция
чек, также интегрируема по Риману на
интегрируема по Риману на промежуткее
, отличающаяся от т
в конечном числе то-
и
b
b
ϕ=
dxxdxxf )()(
∫∫
.
3. Обозначение переменной интегрирования в определенном
интеграле роли не играет:
b
==
∫∫∫
.)()()(
dzzfdttfdxxf
4. Если
b
b
, то число точек дробления n стремится к бесконечности, но не наоборот. Действительно, мы можем зафиксировать
две точки дробления, не помещая между ними никаких других точек.
Тогда λ останется постоянным, на какие бы мелкие части мы ни дробили отрезки вне этих точек.
Геометрический смысл определённого интеграла следует из за-
дачи о площади криволинейной трапеции. Если функция
1
Функция
на этом промежутке конечное число разрывов I рода.
называется кусочно-непрерывной на промежутк
67
непре-
, если она имеет
)(],[ baba <
0,, === ybxax
)(xfy =
ba =
ba >
a
b
a
)(xf
],[ ba
α
a
a
)(xfα
],[ ba
11
n
nn
=<<<<=
110
{ }
n
∆∆=λ
1
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
b
рывна и неотрицательна на промежутке
, то
ра-
dxxf )(
∫
a
вен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
.
Расширим определение определённого интеграла на случаи
и
. Положим:
a
, (5)
0)( =
dxxf
∫
b
a
−=
∫∫
.)()(
dxxfdxxf
(6)
Обе формулы не противоречат приведённому выше определению
определённого интеграла.
1.3. Свойства определённого интеграла, выражаемые
равенствами
Теорема 1. Если функция
любого числа
верно равенствоо
b
интегрируема на
b
α=α
∫∫
.)()(
dxxfdxxf
(7)
Доказательство проведём на основании определения определён-
ного интеграла от функции
1. Разделим промежуток
ми точками
:
,,
xx
−
составим величины
. Проделаем следующие операции:
на части произвольно выбранны-
,
kkk
−
1
−
bxxxxa
),,2,1(
nkxxx
=−=∆
и определим ранг
дробления
.
xx
,,наиб.
, то для
Определённый интеграл
1 kk
k
∆α
=
( )
k
( )
1
k
)(xf
],[ ba
a
],[ ba
k
)(xf
)(xg
],[ ba
)()( xgxf ±
],[ ba
1
a
a
k
a
)(xf
)(xg
],[ ba
],[ ba
k
bca <<
],[ ba
],[ ba )(xf
2. На каждом промежутке
разом точку
и вычислим
x
3. Вычислим произведения
−
)(xfkα ),,2,1( nk =
выберем произвольным об-
],[
xx
.
))(( xxf
kk
4. Сложим все произведения и получим интегральную сумму вида
n
∆α
∑
=
xxf1)(
kk
.
5. Устремим ранг дробления λ к 0 и будем искать
n
.)(lim
∆α
xxf
kk
(8)
Поскольку функция
∑
0
→λ
=
интегрируема на отрезке
ловию теоремы, получим следующую цепочку равенств:
b
∫
a
n
0
→λ
k
1
=
n
∑
0
→λ
k
1
=
kk
→λ
α=∆α=
kk
n
∑∑
0
k
=
b
dxxfxxf
∫
)(lim)(lim)(
1
.)()(lim
Таким образом, предел (8) существует и не зависит ни от способа
разбиения промежутка
на части, ни от выбора точек
Теорема доказана.
Теорема 2. Если функции
и
интегрируемы на проме-
xxfxxfdxxf
kk
x
.
),,2,1( nk
по ус-
=∆α=∆α=α
.
жутке
, то их алгебраическая сумма
руема на промежутке
b
a
Доказательство аналогично предыдущему доказательству:
b
∫
a
тоже интегри-
и справедлива формулаа
b
a
n
∑
0
→λ
1
=
k
89
b
±=±
∫∫∫
a
.)()())()((
dxxgdxxfdxxgxf
(9)
))()((lim))()((
=∆±=±
xxgxfdxxgxf
kkk
1
a
a
k
a
)(xf
)(xg
],[ ba
],[ ba
k
bca <<
],[ ba
],[ ba
)(xf
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
n
0
→λ
k
n
0
→λ
1
=
k
kk
n
∑∑
0
→λ
1
=
k
Заметим, что так как обе функции
промежутке
можно для них обеих и их алгебраической суммы осуществить оди-
x
, то разбиение отрезка
n
∑∑
kk
11
==
k
kk
)()(lim
b
и
=
∆±∆=
xxgxxf
kk
b
±=∆±∆=
∫∫
интегрируемы на
dxxgdxxfxxgxxf
на части и выбор точек
нако во.
Теорема доказана.
Теорема 3. Для любых трёх чисел a, b, c справедлива формула
b
a
c
a
b
+=
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫∫
c
, (10)
если все три интеграла существуют.
Доказательство. Рассмотрим два случая.
1. Пусть
от способа разбиения промежутка
дем разбивать
. Так как предел интегральной суммы не зависит
на элементарные части, то бу-
на промежутки так, чтобы точка с была точкой
.)()()(lim)(lim
деления. Обозначим её через
b
∫
a
0
→λ
n
c
0
→λ
1
=
k
kk
x (т. е.
n
c
n
∑
→λ
0
=
1
k
n
c
k
→λ
kk
n
∑∑
0
1
+=
nk
c
xc = )
. Тогда
n
c
=∆=
xxfdxxf
)(lim)(
kk
n
∑∑
11
+==
nk
c
kk
∆+∆=
)()(lim
=
xxfxxf
kk
c
a
b
+=∆+∆=
∫∫
c
.)()()(lim)(lim
dxxfdxxfxxfxxf
В рассматриваемом случае теорема 3 допускает простую геомет-
рическую иллюстрацию. Предположим, что функция
неотрица-
Определённый интеграл
],[ ba
],[ ba
abc <<
a
c
a
bacacbcabcba <<<<<<<< ;;;
ba <
)(xfи )(xg
],[ ba
],[ bax ∈
)()( xgxf ≥
a
a
( )
a
kk
nk ,,1
=
>∆
nk ,,1
=
( )
ba <
)(xf
],[ ba
],[ bax ∈
0)( ≥xfa )(xf
],[ ba
],[ ba
ba <
тельна на отрезке
y
)(xfy =
ла (10) означает, что площадь криволинейной трапеции на отрезке
. Тогда форму-
равна сумме площадей криволинейных трапеций на отрезках
],[ ca и ],[ bc
соответственно (рис. 3).
2. Пусть теперь заданные числа
произвольны. Рассмотрим, например,
случай
. Тогда в силу доказан-
ного в п. 1 равенства справедливо
b
c
a
+=
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫∫
b
.
Рис. 3
xbca 0
a
c
Воспользуемся формулой (6) и поменяем пределы интегриро-
вания
c
b
b
−=−
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫∫
.
Получим
b
a
c
a
b
+=
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫∫
c
. (10)
В остальных случаях:
– фор-
мула (10) выводится аналогично.
Теорема доказана.
1.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые
неравенствами
Теорема 4. Пусть
промежутке
и при всех
, функции
интегрируемы на
справедливо неравенствоо
. (11)
10 11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]