Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определённый интеграл. Учебное пособие
.pdf
Ox
Рис. 31
1
]2;0[∈x
2
x
]8;2[∈x
2
2
π
5
5
Oy
)(,0,, yxxdycy ϕ====
Oy
Oy
],[ dyyy +
)( yϕ
dy
)( yϕ
Глава 2. Приложения определённого интеграла
Будем вращать фигуру вокруг оси
. Полученное тело враще-
ния (рис. 32) будет иметь объём, состоящий из двух слагаемых:
.
VVV
+=
x
2
xy =
y8=
x
x82
y
4
0
Воспользуемся формулой (47). При вычислении
2
)( xxf =
, где
При вычислении
8
8
V
π=
2
x
. Тогдада
2
4
1
V
2
dx
dxxV
∫
0
возьмём
8
dx
64
∫∫
2
x
21
y
4
0
5
2
x
5
0
xf8)( =
8
π
64
−=π=
x
2
π=π=π=
, где
V
32
xy =
1
5
(
2
V
Рис. 32
.
64
8
2
y8=
64
2
x
V
. Тогдада
24)
возьмём
π=−π−=
В итоге получим
24
152
π=π=π+
.
32
=+= 4,30
VVV
x
21
x82
.
Б. Пусть тело получено вращением вокруг оси
ниченной линиями
объём через
V и будем искать этот объём. Рассечём тело плоскостью,
y
перпендикулярной оси
. Бесконечно малый элемент
(рис. 33). Обозначим егоо
ется как объём цилиндра, полученного вращением вокруг оси
моугольника с основанием
высотой
, основанием которого является круг радиусом
и высотой
.)(2dyydVyπϕ=
фигуры, огра-
dV
вычисля-
y
пря-
. Это цилиндр
. Тогдада
Определённый интеграл
],[ dc
Oy
Oy
Oy
OyOyOy
27
27
O
y
y
3
2
tg xy =
xyx3)(
π
Рис. 34
O
y
y
3
3
2
23
=
xy
xyx 2)(
Рис. 35
y
dyyd+
y
c
)( yx ϕ=
вокруг оси
O
Рис. 33
Проинтегрируем это равенство по промежутку
d
2
ϕπ=
y
∫
c
dyyV )(
x
и получим
. (48)
Пример 2.3.4. Вычислить объём тела, полученного вращением
плоской фигуры, ограниченной линиями
2
0;3;tg
=== xyxy
.
Решение. Построим за-
данную плоскую фигуру.
Будем вращать её вокруг
оси
тело вращения рассечём плос-
костью, перпендикулярной
оси
круг площадью
искомого объёма воспользуемся формулой (48). Тогда
62 63
(рис. 34). Полученноее
. В сечении получим
2
=
. Для вычисления
yx arctg
2
xπ
, где
Oy
Oy
Oy
27
27
O
y
y
3
3
2
23
=
xy
xyx 2)(
Рис. 35
Глава 2. Приложения определённого интеграла
3
y
0
1
π
3(
π= y
2
3
arctg(arctg
3
2
())1ln(
π=+−
0
3
yyydyV
−π=π=
0
1
π
2
3
Пример 2.3.5. Вычислить объём тела, полученного вращени-
ем вокруг оси
2
xy
3
= y
23
3,
=
плоской фигуры, ограниченной линиями
.
Решение. Построим заданную плоскую фигуру. Будем вращать её вокруг оси
(рис. 35).
Полученное тело вращения рассечём плоскостью,
перпендикулярной оси
.
В сечении получим круг. Для
определения радиуса круга
обратимся к заданной кривой
2
xy
3
=
.
23
Возведём в куб левую и правую части уравнения и получим
23
xy
4
32
yx =
и площадь круга
3
4
3
∫
0
=
.
23
4
3
dyyV
y
2727
0
Отсюда выразим
Тогда
Для вычисления искомого объёма воспользуемся формулой (48).
y
3
ydy
=
∫∫
0
)4ln
)
2
y
+
1
2
π
=−
2ln
π−
.
3
4
32
yx π=π
.
π=π=π=
3
.
Определённый интеграл
,, bxax ==
21
==
21
Ox
b
Рис. 36
dx
1
2
Oy
21
ϕ≤<
21
dy
1ϕ2
Рис. 37
dy
d
y
x
)(1yx ϕ=
)(2yx ϕ=
c
O
y
c
d
Ox
xy ;cos2=
xy cos; =
22
π
π
Oy
Ox
Ox
xy cos=
В. Будем теперь вычислять объём тела вращения с полостью. Рас-
смотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями
)(),(
xfyxfy
щением вокруг оси
(
этой плоской фигуры, заштрихованной на рис. 36.
). Пусть тело получено вра-
)()(0,
xfxfba ≤≤<
y
)(2xfy =
)(1xfy =
O
a
dx
Бесконечно малый элемент
искомого объёма вычисляется
dV
x
как объём цилиндрического тела высотой
кольцо площадью
2
2
))()((
xfxf −π
. Тогда
2
2
b
2
2
∫
a
2
−π=
1
2
−π=
1
Пусть тело получено вращением вокруг оси
ченной линиями
)()(
yy ϕ≤ϕ≤
(на рис. 37 эта плоская фигура заштрихована).
x
, в основании которогоо
dxxfxfdV
))()((
; (49)
dxxfxfV ))()((
. (50)
фигуры, ограни-
, где 0,dc
)(),(,,
yxyxdycy ϕ=ϕ===
Бесконечно малый элемент
рического тела высотой
dV
вычисляется как объём цилинд-
y
и площадью основания, равной площади
64 65
ϕ
Рис. 37
dy
d
y
x
)(1yx ϕ=
)(2yx ϕ=
c
O
Ox
xy ;cos2=
xy cos; =
22
π
π
Oy
Ox
Ox
xy cos=
Глава 2. Приложения определённого интеграла
кольца с внутренним радиусом
y
)(1y
и внешним радиусом
2
2
2
dyyydV
))()((
ϕ−ϕπ=
1
. (51)
Интегрируя полученный результат по переменной y от c до d,
получим
d
y
2
2
∫
c
2
ϕ−ϕπ=
1
. (52)
dyyyV ))()((
. Тогдада
)(2yϕ
Пример 2.3.6. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
плоской фигуры, ограниченной линиями
− x
,
≤≤
.
Решение. Построим заданную плоскую фигуру (рис. 38). Заметим, что ось
щать фигуру вокруг оси
является осью симметрии этой фигуры. Будем вра-
. Получим тело вращения с полостью. Рас-
сечём его плоскостью, перпендикулярной оси
кольцо с внутренним радиусом
. В сечении получим
и внешним радиусомм
Определённый интеграл
xy cos2=
y
xy cos=
Рис. 38
2
1
xy cos2=
xO
22
ππ
−
2
Oy
4=x
)4;4(
Oy
Ox
2=x
6=x
Oy
yx −+= 44
yx −−= 44
4
y
Рис. 39, а
yx −+= 44
yx −−= 44
4
y
Рис. 39, б
Oy
222
xxx
и площадью
cos3)cos)cos2(( π=−π
. В силу сим-
метрии можно вычислять половину искомого объёма и удваивать результат. Для вычисления половины объёма воспользуемся формулой
(50) для
1
x
2
]2;0[π∈x
. Тогда
ππ
2
2
cos3
0
2
3
∫∫
2
0
3
)2cos1(
2
1
xxdxxxdxV
(
)2sin
2
Окончательно получаем
32π
=
V
x
.
Пример 2.3.7. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
2
плоской фигуры, ограниченной линиями
.
0,128
=−+−= yxxy
Решение. Заданная кривая является параболой. Чтобы её постро-
ить, уравнение
(53)
1282−+−= xxy
π
2
0
2
π
3
.
=+π=+π=π=
4
приведём к каноническому виду:
2
,
01216168
=+−+−+ xxy
2
66 67
. (54)
)4()4(
−−=− yx
4=x
)4;4(
Oy
2=x
6=x
Oy
yx −+= 44
yx −−= 44
4
y
Рис. 39, а
yx −+= 44
yx −−= 44
4
y
Рис. 39, б
Глава 2. Приложения определённого интеграла
Получена парабола с осью симметрии
, вершиной в точкее
и направлением от директрисы к фокусу, противоположным на-
правлению оси
. Кривая пересекает ось Ox в точках
и
Заданная фигура заштрихована на рис. 39, а. Вращая её вокруг оси
получим тело с полостью.
xO 642
.
,
xO 642
Рассечём его плоскостью, перпендикулярной оси Oy. В сечении
получим кольцо (рис. 39, б). Чтобы определить внутренний и внешний
радиусы этого кольца, обратимся снова к заданной кривой. Из уравнения (54) найдём
т. е.
]4;0[∈y
Oy
1=x
]1;0[∈y
Oy
Oy
yy π=−−π ))1(1(
]2;1[∈y
1=x
]3;2[∈yOyOy
)3())2(1( yy −π=−−π
2
2
)(xfy =
],[ bax ∈S],[ ba
)(xf
′
],[ dxxx +
dS
dS
y∆
dy
y
2
1 xy −=
Рис. 40
xO 1
1
2−= yx
3
2
Определённый интеграл
,
yx −±=− 44
−+=
;44
yx
−−=
.44
yx
Очевидно, что первая функция задает внешний радиус кольца,
а вторая – внутренний. Найдём бесконечно малый элемент искомого
объёма по формуле (51):
y
22
.
dyydyyydV
−π=−−−−+π= 416))44()44((
Для вычисления объёма проинтегрируем полученный результат
по переменной
y
4
∫
0
. Тогда
dyyV
3
4
2
)4(
−
32416
y
π−=−π=
3
256
π
=
0
.
3
Пример 2.3.8. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
2
плоской фигуры, ограниченной линиями
.
2,1,0,1
−===−= yxxxxy
Решение. Заданная фигура зашт-
рихована на рис. 40. Справа она ограничена прямой
, а слева – тремя
разными кривыми. Таким образом, тело
вращения состоит из трёх частей.
Для
слева параболой
Приведём её к каноническому
фигура ограничена
2
.
1 xy −=
виду, выразив
2
.
yx −= 1
При вращении этой части фигуры
вокруг оси
пендикулярной оси
получится тело с полостью, и в сечении плоскостью, пер-
, мы получим кол ьцо площадью
68 69
.
]2;1[∈y
1=x
]3;2[∈y
Oy
Oy
)3())2(1( yy −π=−−π
2
2
)(xfy =
],[ bax ∈
S
],[ ba
)(xf
′
],[ dxxx +
dS
y∆
Глава 2. Приложения определённого интеграла
диуса
Для
.
При
объём тела равен объёму цилиндра постоянного ра-
фигура ограничена слева линией
. (55)
2−= yx
Возведём обе части уравнения (55) в квадрат:
.
22−= yx
Вращая эту часть фигуры вокруг оси
, также получим тело
с полостью, а в сечении плоскостью, перпендикулярной оси
чим кольцо площадью
.
Для каждой из трёх частей применим формулу (52) и получим:
1
y
0
2
1
3
∫∫∫
2
1
(
dyydyydyV
912
2
y
()3(1
2
9
2
1
1
0
π=+−−+−+π= 2)26
.
y
yy
3(
2.2.4. Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть кривая описывается
уравнением
Рассмотрим дугу этой кривой
при
. Обозначим длину
этой дуги через
жим, что на промежутке
(рис. 41).
. Предполо-
y
dS
y∆
xdx ∆=
существует непрерывная производная
Чтобы вычислить длину
.
O
дуги, выделим на дуге элементарный участок, соответствую-
Рис. 41
щий изменению аргумента x на
промежутке
. Обозначим бесконечно малый элемент длины
2
)(xfy =
2
, полу-
3
=−++π=−π+π+π=
))
2
xbdxxxa +
дуги через
хордой, величину
. Вычислим dS, заменив бесконечно малую дугу её
– величиной dy и применив теорему Пифагора.
Определённый интеграл
)( yx ϕ=
],[ dcy ∈
ω=
3
3=x
CAB
S
CAB
ABACAB
3
]3;1[∈x
2
3
2
2
2
2
1
)4;4(A
OA
4
]4;0[∈y
2
Рис. 42
22
(56)
)()( dydxdS +=
или
2
dxxfdS
))((1′+=
. (57)
Тогда
b
+=
∫
a
2
′
dxxfS
))((1
.
Замечание. Если дуга кривой описана уравнением
, то из формулы (56) получим
2
(58)
dyydS
))((1 ϕ′+=
и
d
∫
2
ϕ′+=
.
dyyS
))((1
Если же дуга описывается параметрически:
);(
t
tx
ψ=
),(
ty
),,(
βα∈
,
то
и
Пример 2.4.1. Определить длину дуги кривой
сечённой прямой
Решение. Заданная дуга
её длину через
22
′
=
β
= dtttS
′
∫
α
′
+ω
ψ
+ω
(59)
dtttdS
))(())(( ψ
22
′
.
))(())((
2
32
, от-
)1(
−= xy
.
изображена на рис. 42. Обозначим
. Дуга
составлена из двух дуг одинаковой дли-
70 71
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]