Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определённый интеграл. Учебное пособие
.pdf
1
1
22
2
)(xf
],( b−∞
)(],[ bBbB <
)(xf
B
B
)(xf
],( b−∞
)(xf
)(],[ ABAB <
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
Пример 10.1
∞+
dx
=
2
x
+
1
0
A
lim
A
dx
∫∫
2
A
x
+
1
0
Пример 10.2
∞+
dx
2
x
A
dx
∫∫
A
limlim
2
A
x
1
−==
Пример 10.3
∞+
dx
x
A
dx
∫∫
A
A
x
A
2
Таким образом, несобственный интеграл
A
Ax
+∞→+∞→+∞→
A
0
A
A
1
+∞→+∞→+∞→
A
1
(lim
+∞→+∞→+∞→
Ax
Ax
∞+
dx
расходится.
∫
x
1)1
=+−=
+∞=−===
)2ln(lnlimlnlimlim
π
=−==
0arctgarctglimarctglim
.
2
.
.
Пусть теперь функция
определена на промежутке
и интегрируема на любом конечном промежутке
Несобственным интегралом II рода, или интегралом функции
в пределах от ∞− до b, называется
b
dxxf )(lim
∫
∞−→
B
. (33)
Этот интеграл обозначается следующим образом:
b
dxxf )(
∫
∞−
. (34)
Таким образом,
b
=
∞−
B
b
.)(lim)(
dxxfdxxf
∫∫
∞−→
Если предел (33) существует и конечен, то говорят, что интеграл
(34) существует или сходится. Функцию
тегрируемой на промежутке
. В противном случае говорят, чтоо
при этом называют ин-
несобственный интеграл (34) не существует, или расходится.
Пусть функция
руема на каждом промежутке
определена на всей числовой оси и интегри-
.
.
Определённый интеграл
)(xf
)(xF
)(xf
),[ ∞+a
)(xF
)(xf
],( b−∞
=−∞
)(xF
)(xf
),( ∞+−∞∈x
∞−
−
2
4
2
2
2
2
ee
)(xf
−
A
],[ ba
)(xf
)(xf
)0(],[ >εε−ba
bx =
)(xf
0
bx
Тогда будем говорить, что функция
интегрируема на всей
числовой оси и
∞+
∞−
c
∞−
∞+
+=
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫∫
c
, (35)
где c – любое число, если оба интеграла в правой части (35) сходятся.
Вычисляя интегралы по бесконечным промежуткам, можно
пользоваться формулой Ньютона – Лейбница. Пусть функция
является первообразной для функции
в промежутке
. Вве-е-
дём обозначение
=+∞
A ∞+→
)(lim)( AFF
,
если вычисляемый предел существует. Тогда
∞+
∫
a
Точно так же, если функция
функции
в промежутке
=−+∞=
является первообразной для
и если положить
∞+
.)()()()(
xFaFFdxxf
a
),(lim)( BFF
B ∞−→
то справедлива запись
b
∫
∞−
Тогда, если функция
=−∞−=
– первообразная для функции
b
.)()()()(
xFFbFdxxf
∞−
при
, тоо
∞+
Пример 10.4. Вычислить
=∫xFdxxf
∞+
−02
∫
∞+
.)()(
∞−
x
dxxe
.
Сначала вычислим
тям. Положим
x2
, применяя интегрирование по час-
∫
==
dxxe
1
x
2
x2e,−
. Получим
dxdvxu
32 33
,
−
.
evdxdu
−==
Тогда
4
2
2
2
2
ee
)(xf
−
A
],[ ba
)(xf
)(xf
)0(],[ >εε−ba
bx =
)(xf
0xfbx
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
1
1
1
∫∫
1
22222
xxxxx
−−−−−
.
Cexedxexedxxe
+−−=+−=
Затем, применяя правило Лопиталя, найдём:
1
2
−
x
xe
+∞→
x
x
x
limlimlim
x
x
1
22
x
x
2
2
−
x
.0lim
====
e
+∞→+∞→+∞→
Таким образом,
∞+
2
−
∫
0
1
2
−−=
Рассмотрим по-прежнему функцию
1
−−
exedxxe
4
∞+
22
xxx
1
.
=
4
0
, интегрируемую на лю-
бом конечном промежутке. Пусть существует конечный предел вида
A
.)(lim
dxxf
∫
+∞→
A
∞+
Этот предел называется главным значением интеграла
∫
∞−
и обозначается следующим образом:
∞+
.
dxxf )(V.p.
∫
∞−
1.10.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции
dxxf )(
Рассмотрим теперь конечный промежуток
кция
не ограничена.
Пусть функция
бом отрезке
бесконечно большой, т. е.
Рассмотрим предел
, на котором фун-
задана, ограничена и интегрируема на лю-
, но в точке
∞=−→)(lim
ε−
b
∫
+→ε
0
a
функция
являетсяся
.
dxxf )(lim
. (36)
Определённый интеграл
)(xf
)(xf
],[ ba
ε−
)(xf
)0(],[ >εε+ ba
ax =
)(xf
∞=
0xfax
)(xf
)(xf
],[ ba
)(xf
),[ ca
],( bc
cx =
∞=
)(xf
2
1
ε
212
>ε>εε
)(xf
c
a
0
Этот предел называется несобственным интегралом функции
от a до b, или несобственным интегралом I рода, и обозначает-
ся как обычно:
b
dxxf )(
∫
a
. (37)
Если предел (36) существует и конечен, то говорят, что интеграл
(37) существует, или сходится, а функция
интегрируема на про-
межутке
. Если предел (36) бесконечен или не существует, то го-
ворят, что интеграл (37) не существует, или расходится.
Пример 10.5
lim
1
dx
∫∫
1
−
0
+→ε
0
x
0
+→ε
1
ε−
x
0
0
+→ε
2)22(lim)12(lim
=+ε−=−−=
.
1
dx
=
1
−
x
0
Пример 10.6
lim
1
ε−
dx
∫∫
0
+→ε
0
2
x
−
1
0
+→ε
1
ε−
x
0
0
+→ε
π
.
=ε−==
)1arcsin(l imarcsinlim
2
задана, ограничена и интегрируемаа
, но в точке
)(lim
+→
функция
яв-
. Тогда несобственный
в пределах от a до b определяется равенствомм
b
=
a
b
.)(lim)(
dxxfdxxf
∫∫
+→ε
0
a
ε+
(38)
1
dx
=
2
x
−
1
0
Пусть теперь функция
на любом отрезке
ляется бесконечно большой, т. е.
интеграл функции
Если предел, стоящий в правой части (38), существует и конечен,
то говорят, что несобственный интеграл существует, или сходится, а
функция
интегрируема на промежутке
. Если же предел бес-с-
конечен или не существует, то говорят, что интеграл не существует,
или расходится.
Пример 10.7
1
dx
x
0
1
dx
∫∫
0
+→ε
x
ε
+→ε
1
.)ln(limlnlimlim
x
0
ε
34 35
0
+→ε
∞=ε−===
)(xf
),[ ca
],( bc
cx =
∞=
)(xf
2
1
ε
212
>ε>εε
)(xf
c
a
0
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится.
Теперь рассмотрим случай, когда функция
ничена и интегрируема в промежутках
и
определена, огра-
и является беско-о-
нечно большой в точке
интеграл функции
b
a
, т. е.
→
в пределах от a до b определяется равенствомм
ε−
c
1
0
+→ε
1
a
)(lim xf
cx
+=
2
. Тогда несобственный
b
.)(lim)(lim)(
dxxfdxxfdxxf
∫∫∫
0
+→ε
ε+
c
(39)
Если оба предела в правой части (39) существуют и конечны при
стремлении к нулю
и
произвольно и независи-
)0,0(
мо друг от друга, то несобственный интеграл сходится. В противном
случае он расходится. Сравнивая (36), (38) и (39), видим, что справед-
ливо равенство
b
a
c
a
b
+=
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫∫
c
. (40)
Несобственный интеграл в левой части (40) сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части. Если хотя бы один
из интегралов справа расходится, то расходится и исходный интеграл
слева.
Главным значением несобственного интеграла функции
отт
a до b в этом случае называется конечный предел
c
ε−
0
+→ε
b
+
∫∫
ε+
))()((lim
dxxfdxxf
,
если он существует. Главное значение обозначается так:
b
dxxf )(V.p.
∫
a
.
Пример 10.8. Вычислить несобственный интеграл
3
x
∫
dx
2
−
4
x
или доказать, что он расходится.
Определённый интеграл
2=x
ε−
0
2
ε−
0
x
x
x
0+→x
0
xz ln=
x
e
02 −→x
Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв
внутри промежутка интегрирования при
lim
1
2
1
x
dx
0
+→ε
2
−
x
0
4
3
x
2
x
0
=
dx
−
4
. Согласно определению
3
+
lim
+→ε
0
2
2
x
∫∫∫
2
−
x
ε+
2
4
Рассмотрим каждый из двух пределов отдельно:
ε−
а)
б)
2
1
lim xdx
+→ε
0
1
x
∫
2
−
x
1
2
+→ε
0
1
3
lim xdx
+→ε
0
2
2
x
∫
2
−
4
x
ε+
1
2
1
5ln
2
1
lim
+→ε
lim
2
0
1
2
11
1
0
+→ε
2
4
4lnlim
+→ε
0
2
2
2
1
2
2
4ln
2
+∞=ε+ε−=
22
ε−
2
1
4ln
−∞=−ε+ε−=
=−=
0
;4ln
3
=−=
2
ε+
2
.4lnlim
В итоге рассматриваемый интеграл расходится. Но он сходится
в смысле главного значения. Действительно,
dx
.
dx
ln
3
x
dx
)
+
∫∫∫
2
x
2
2
−
ε+
1
5
+=
2
=
44
4
−ε
lnlim
4
+ε
0
+→ε+→ε
5
.
ln
=
2
3
x
.p.V
0
1
2
dx
2
x
=
4
−
1
2ln5ln
+−=
2
2
(lim
+→ε
0
lnlim
0
x
2
x
−
0
2
4
ε−ε
2
4
ε+ε
Пример 10.9. Вычислить несобственный интеграл
1
e
dx
∫
3
xx
ln
или доказать его расходимость.
xxL
x30
+→
ln2
−
lnlim
.
1
x
⋅
x
=
1
2
Решение. С помощью правила Лопиталя вычислим
1
2
x
ln3
3
x
lim
ln
1
0
lim
==
0
L
x
⋅
x
1
−
2
lim3
36 37
2
x
ln
1
0
x
=
lim3
−=−=
+→+→+→+→
0
xxxx
x
0+→x
0
xz ln=
x
e
02 −→x
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства
1
ln
x
lim6
1
lim6
==
xx
x
x
1
00
+→+→
−
.0
=
2
Следовательно, подынтегральная функция является бесконечно
большой при
Вычислим
1
e
∫
ε
. Согласно определению
1
dx
=
3
xx
ln
dx
, сделав замену
3
xx
ln
lim
1
ee
dx
ln
3
.
xx
. Тогда
dz
∫∫
+→ε
0
ε
1
)(,
=ε= zdx
z
1)1(,ln −=ε=
. Получим:
1
e
dx
3
ln zz
xx
1
−
dz
∫∫
3
ln
εε
1
−
1
2
2
ln
ε
1
1
+−=−==
2
.
2
ε
ln2
В результате
1
e
dx
∫
3
ln
0
lim
=
xx
1
2
+→ε
0
ln2
ε
1
1
2
.
−=−
2
Пример 10.10. Вычислить несобственный интеграл
2
∫
0
dx
−−
2)3( xx
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция является бесконечно большой при
. Согласно определению
2
0
dx
2)3(
−− xx
lim
=
xx
+→ε
0
2
ε−
∫∫
0
dx
.
2)3(
−−
Определённый интеграл
zdzdx 2−=
∞−
dxdvxu == ,ln
ε
],[ ba
( )
<<∪=
],[ ba
],[ ca
],[ bc
],[ ba
],[ xxx ∆+
x∆
G∆
],[ xxx ∆+
dG
)( xodGG ∆+=∆
)( xo ∆
dxx =∆
dG
G
dxxgdG )(=
xdx ∆=
],[ ba
Вычислим
2
ния
2
0
>−= zxz
dx
2)3(
ε−−−2
∫
0
)0(2
. Найдём
−−
xx
dx
, сделав замену переменной
2)3( xx
и новые пределы интегрирова-а-
. Тогда
ε=ε−= )2(,2)0( zz
εεε−
−=
2
zdz
+
2
−=
2
2
)1(
zz
dz
∫∫∫
2
2
+
z
arctg2
)1(
.arctg22arctg2 ε−=
В итоге
2
∫
0
dx
xx
2)3(
−−
+→ε
0
=ε−=
Пример 10.11. Вычислить несобственный интеграл
1
ln xdx
∫
0
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция стремится к
лении переменной x к нулю справа. Согласно определению
1
=
0
1
lnlimln xdxxdx
∫∫
0
+→ε
ε
.
Применим метод интегрирования по частям, выбрав
, и вычислим
ε
=−=
z
2
.2arctg2arctglim22arctg2
при стрем-
1
ε
1
1
∫∫
ε
ε
1
.1lnln)ln(ln
xdxxxxdx
ε
ε+−εε−=−εε−=−=
Вычисляя предел полученного выражения, воспользуемся прави-
лом Лопиталя. Тогда
1
1
−=ε+−εε−=
xdx .
∫
0
lim)1ln(limln
38 39
ln
ε
1
−=−
ε
ε
lim1
1
+→ε+→ε+→ε
000
−
2
11
−=−
Глава 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
],[ ba
( )
<<∪=
],[ ba
],[ ca
],[ bc
],[ ba
],[ xxx ∆+
],[ xxx ∆+
)( xodGG ∆+=∆
)( xo ∆
dxx =∆
dxxgdG )(=
xdx ∆=
],[ ba
2.1. Общий подход к приложениям определённого интеграла
Прежде чем использовать определённый интеграл для нахождения неизвестных величин в области геометрии, механики и физики,
изложим общий подход к решению прикладных задач с применением
определённого интеграла. Отметим, что при этом обобщаются рассуждения, изложенные нами при вычислении площади криволинейной
трапеции.
Пусть нужно найти значение некоторой величины G, являющей-
ся функцией промежутка
],[],[],[
равно сумме значений G для промежутков
ния величины G выполним следующие действия:
. При этом предполагается, что если
, то значение G для промежутка
bcabccaba
и
. Для вычисле-
1. Выделим внутри отрезка
, где x∆ – бесконечно малая величина. Пусть G∆ – значение
величины G для промежутка
ющее условию
где
чем
бесконечно малого элемента dG:
«пожертвовав» величинами более высокого порядка малости, чем
жутке
– бесконечно малая величина более высокого порядка малости,
. Назовём dG бесконечно малым элементомом величины G.
2. Исходя из условий задачи, составим формулу для вычисления
.
3. Вычислим величину G, интегрируя равенство (42) на проме-
. Тогда
b
=
∫
a
элементарный отрезок
, а dG – значение, удовлетворя-
, (41)
, (42)
.)(
dxxgG
(43)
Определённый интеграл
xdx ∆=
0,, === ybxax
)(xfy =
0)(, ≥< xfba
],[ bax ∈
],[ dxxx +
F∆
dF
dx
)(xf
dxxfdF )(=
Рис. 7
)(xfy =
],[ ba
−
1
3,ln,0 === xxyy
Рис. 8
xO 211−
1
2
3
4
y
x
Рис. 9
Замечание. Во всех последующих задачах будем сразу выражать
бесконечно малый элемент вычисляемой величины точным равенством
вида (42). Тот факт, что при его вычислении исключались величины бо-
лее высокого порядка, чем
, оставляем всюду без доказательства.
2.2. Геометрические приложения определённого интеграла
2.2.1. Вычисление площадей
А. Площадь F криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
(
при
) вычис-
ляется по формуле
b
=
∫
a
Она получена так. Выделяем промежуток
ветствует элемент площади
бесконечно малого элемента
с шириной
и высотой
, заштрихованный на рис. 7. В качествее
возьмём площадь прямоугольникаа
. Тогдада
.)(
dxxfF
(44)
. Ему соот-
. (45)
y
)(xf
O
40 41
)(xF∆
bdxxxa +
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]