Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определённый интеграл. Учебное пособие
.pdf
0≥r
]2;0[ π∈ϕ
π2;0
ϕ= 2cos
r
r1
02≥r
02cos >ϕ(]2;0[ π∈ϕ
Глава 2. Приложения определённого интеграла
Так как
для всех значений
, то согласно формулеле
(81) получим:
2
1
2
0
1
2
2
)2cos1(
2
2
π
1
)2sin(
2
0
0
1
1
(
4
ππ 2
1
∫∫
2
0
2
2cos
1
4
2
π
)4sin
4
0
π
+π=ϕ+ϕ+π=
2
2
ππ
2
∫∫
0
3
π
=
.
=ϕϕ+ϕ+=ϕϕ+=
)2cos2cos21(
ddS
=ϕϕ++π=ϕϕ+ϕ+ϕ=
)4cos1(
dd
2
Пример 4.1.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лем-
нискатой, заданной в полярной системе координат уравнением
2
r
ϕ= 2cos
(рис. 62).
π
2
3π
4
π
4
π
2
5π
4
7π
4
3π
2
Рис. 62
Решение. Так как
, то, решая неравенство
), найдём те значения ϕ, для которых заданная кривая оп-
ределена. Она определена для значений
Определённый интеграл
4
4
4
4
π
ππ
π
ϕ2cos
π
0=ϕ
4
2=x
ϕ= cos8r
4,0 ==ϕ r
π
3
π
Рис. 63
ϕ
3
π
2
3
ππ
ϕ= cos8r
π
3
π
π
3
∪
3
;
[]
;0[ π
∈ϕ
При этом в силу периодичности функции
дает симметрией относительно лучей
5
∪
[]
=ϕ kk
7
].2;
лемниската обла-
3,2,1,0,2=
(см. рис. 62).
Чтобы получить площадь заданной фигуры, достаточно найти пло-
π
=ϕ
щадь её части, заключённой между лучами
и
, и умножить
полученный результат на 4. Тогда согласно формуле (81) получим:
π
4
1
4
∫
2
0
dS
π
4
0
π
sin2sin2cos
=ϕ=ϕϕ⋅=
.1
=
2
Пример 4.1.6. Вычислить площадь меньшей из фигур, ограни-
ченных линиями, заданными в полярной системе координат уравнени-
2
ями
= cos8,
cos
Решение. Линия
rr
ϕ
ϕ=
.
2
=
r
(рис. 63) очевидным образом является
ϕ
cos
прямой
динат). Линия
в точке с полярными координатами
(см. формулы (77) – связь полярных и декартовых коор-
представляет собой окружность с центромм
и радиусом 4. Заданная фигура ограничена двумя различными линиями: прямой и окружностью. Найдём точку их пересечения. Для этого решим уравнение
Его решением является
2
cos
ϕ
=ϕ
.
92 93
].2;0[,cos8
∈ϕϕ=
Рис. 63
ϕ
3
π
ϕ= cos8r
π
3
π
π
3
Глава 2. Приложения определённого интеграла
π
2
=
r
cos
π
3
2
ϕ
ϕ= cos8r
O
r87654321
π2;0
3π
2
5π
3
В силу симметрии заданной фигуры будем вычислять площадь её
половины, расположенной в первой четверти полярной системы координат и заштрихованной на рис. 63, и умножать полученный результат
2
=
на 2. Заштрихованная фигура ограничена прямой
нении переменной
от 0 до
, а на участке е
r
cos
]2;3[ππ∈ϕ
– окружностью
. Воспользуемся теперь формулой (81) и получим:
π
2
1
∫∫
2
π
2
=ϕϕ+ϕ
)cos8(
ddS
π
3
0
1
(16tg2)2cos1(16
2
cos
2
2
ϕ
1
2
3
ϕ
=
d
2 d
2
ϕ
cos
0
=
2
0
2
∫∫
π
3
1
при изме-
ϕ
π
2
)2sin
π
3
=ϕ+ϕ+ϕ=ϕϕ++
Определённый интеграл
3
2
3
3
2
32
3
3
π
ϕ+= cos23r
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π
6
7π
4
5π
3
4π
3
5π
4
7π
2
3π
Рис. 64
6
π
6
11π
ϕ+= cos23r
]2;0[ π∈ϕ
)(ϕ= rr
)(, β<αβ=ϕα=ϕ
)(ϕ= rr
ϕϕϕ−ϕϕ
′
=
( )
β
)cos1(4 ϕ+=r
π
π
tg2 −
=
π
(16
+
−
−
π
2
1
sin
16
=S
−
π
8
+=
32)
34
8
.
π
8
3
=−
Пример 4.1.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ей, заданной в полярной системе координат уравнением
Решение. Заданная фигура изображена на рис. 64.
ϕ+= cos23r
π
π2;0
r54321
.32
.
Функция
вычислим по формуле (81). Тогда
2
1
2
0
)cos23(
π2
1
∫
2
0
определена для всех
ππ 2
1
∫∫
2
0
2
94 95
. Площадь
2
=ϕϕ++ϕ+=
))2cos1(2cos129(
d
=ϕϕ+ϕ+=ϕϕ+=
)cos4cos129(
ddS
)(ϕ= rr
)(, β<αβ=ϕα=ϕ
)(ϕ= rr
ϕϕϕ−ϕϕ
′
=
( )
β
)cos1(4 ϕ+=r
Глава 2. Приложения определённого интеграла
π2
1
∫
2
0
1
2
=ϕϕ+ϕ+=
)2cos2cos1211(
d
π
2
π=ϕ+ϕ+ϕ=
11)2sinsin1211(
0
.
2.4.2. Вычисление длины дуги
Пусть требуется найти длину дуги кривой
между лучами
(см. рис. 57). Для вычисления бес-
, заключённой
конечно малого элемента длины дуги воспользуемся формулой (56).
Используем теперь формулы (79), связывающие полярные координаты
точки на рассматриваемой дуге
с декартовыми координатами:
ϕϕ=
,cos)(ryrx
ϕϕ=
.sin)(
Тогда
drrdx
′
=
,)sin)(cos)((
ϕϕϕ+ϕϕ
drrdy
)cos)(sin)((
и
′
=+ drrdydx
22222
.)()())(()()(
ϕϕ+ϕ
Следовательно,
22
′
, (82)
+=
ϕ
drrdS
)(
ϕ
а
22
′
+= drrS
∫
α
ϕ
)(
ϕ
. (83)
Пример 4.2.1. Найти длину дуги кардиоиды, заданной в полярной системе координат уравнением
.
Решение. Заданная кривая изображена на рис. 65. Учтём, что
кардиоида симметрична относительно полярной оси. Для того чтобы
Определённый интеграл
];0[ π∈ϕ
ϕ−=′sin4r
2
];0[ π∈ϕ
вычислить длину всей
π
3π
2
π
4
4
кривой, достаточно вычислить длину её поло-
вины для
)cos1(4 ϕ+=r
и умножить результат
на 2. Для нахождения
π
π2;0
r8642
бесконечно малого элемента длины дуги вос-
5π
4
3π
2
Рис. 65
7π
4
пользуемся формулой
(82). Найдём
,
а затем
22
=ϕϕ−+ϕ+= ddS
)sin4())cos1(4(
Отметим, что
ляется так:
ϕ
cos ≥
π
=
∫
0
cos82
0
22
sincoscos214
cos44)cos1(24cos224
=ϕϕ+=ϕϕ+= dddd
для
ϕ
dS
2
96 97
. Тогда искомая длина вычис-
π
ϕ
sin216
⋅=ϕ
2
0
=ϕϕ+ϕ+ϕ+= d
ϕ
2
=ϕ
2
32
=
.
ϕ
cos8
.
ϕ
2
Рекомендуемая литература
1. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. –
СПб.: Лань, 2005.
2. Смирнова В. Б. Неопределённый интеграл: учеб. пособие / В. Б. Смир-
нова, Л. Е. Морозова; СПбГАСУ. – СПб., 2010.
3. Определённый интеграл: метод. указания к выполнению задания по
курсу «Математика» для студентов всех специальностей ЛИСИ / сост. С. Н. Нумеров. – Л., 1984.
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1 /
Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2007.
Определённый интеграл
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Определённый интеграл и его свойства................................................. 3
1.1. Задача о площади криволинейной трапеции...................................... 3
1.2. Определение определённого интеграла.............................................. 5
1.3. Свойства определённого интеграла, выражаемые
равенствами ................................................................................................. 7
1.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые
неравенствами ........................................................................................... 10
1.5. Теорема о среднем значении ............................................................. 12
1.6. Теорема Барроу ................................................................................... 14
1.7. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определённого
интеграла.................................................................................................... 17
1.8. Интегрирование по частям в определённом интеграле................... 22
1.9. Замена переменной в определённом интеграле ............................... 25
1.10. Несобственные интегралы .............................................................. 30
1.10.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку ..... 30
1.10.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции ....... 33
Глава 2. Приложения определённого интеграла ................................................ 39
2.1. Общий подход к приложениям определённого интеграла .............. 39
2.2. Геометрические приложения определённого интеграла ................. 40
2.2.1. Вычисление площадей .............................................................. 40
2.2.2. Вычисление объёма тела через площадь его сечения ............. 58
2.2.3. Вычисление объёма тела вращения ......................................... 59
2.2.4. Вычисление длины дуги плоской кривой................................ 69
2.2.5. Вычисление площади поверхности тела вращения ................ 74
2.3. Механические приложения определённого интеграла .................... 81
2.4. Геометрические приложения определённого интеграла
в полярной системе координат ................................................................. 85
2.4.1. Вычисление площади ................................................................ 85
2.4.2. Вычисление длины дуги ........................................................... 95
Рекомендуемая литература ................................................................................... 97
98 99
Учебное издание
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Учебное пособие
Составители: Морозова Лидия Евсеевна
Смирнова Вера Борисовна
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 22.0 8.2011. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 5,8. Тираж 2000 экз. Заказ 87. «С» 47.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
Определённый интеграл
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]