Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определение энергетических параметров электроприводов специальных систем автоматики. Монография.pdf
Сравнивая (1.84) и (1.80) замечаем, что спираль пересекает ось абсцисс
( )
1
æ
K
К
ko
M Me
π
ν
−
= −
( )
2
22
41
j
om
MK e
ψ
α
ρ ττ
−−⋅= ⋅
2
1
m
arctg K
τ
ψ
τ
=
−
1
2
2
m
tg K
τ
λ
τ
−
= −
−
(моментов) не по нормам к ней. Подставляя τ
в (1.38) и учитывая (1.68), полу-
3
чим выражение момента в точках (ω = 0).
. (1.85)
раектория ω, М наглядно показывает режимы работы двигателя. В пер-
Т
вом и третьем квадрантах двигатель работает в двигательном режиме прямого и
обратного направления вращения. Во втором и четвертом – соответственно с
генератором.
При холостом ходе привода энергия, получаемая двигателем в каждую
четверть периода (I и III квадранты) за вычетом потерь в нем, затрачивается
только на увеличение кинетической энергии маховых масс и возвращается обратно в сеть в каждую четверть периода генераторного режима (II и IV квадранты). В граничном случае равных корней спираль переходит в ограниченную
кривую:
, (1.86)
е
гд
. (1.87)
Уравнение касательной:
К
асательная к траектории в начальной точке (
механических характеристик. Точка (
) лежит в начале координат, а каса-
. (1.88)
) совпадает с одной из
тельная в этой точке совпадает с осью абсцисс. Такой же характер имеет траектория и в апериодическом режиме при неравных корнях (æ > 1).
В апериодических режимах (рис. 1.4) траектория ω, М занимает только
первый и второй квадранты. В первом двигательном квадранте скорость двигателя растет, и его инерционные массы запасают кинетическую энергию. Во
втором генераторном квадранте скорость двигателя падает, и кинетическая
энергия возвращается обратно в сеть [10, 11].
21
Р
1
i
æ
ii
e
π
ν
ϑχ
−
= −=±
1
ln
i
i
æ
ν
πν
=
⋅
ис. 1.4. Угловая скорости и момента двигателя
в апериодическом режиме
.4. Быстродействие системы
1
Рассмотрим положение с вопросом о быстродействии следящего привода,
ограничиваясь линейной идеализацией всех его характеристик.
В этом случае о времени установления процесса можно судить только условно, так как теоретически процесс устанавливается при (t = ∞). Обычно быстродействие в таких случаях оценивают временем, необходимым для достижения
изменяющейся величины значения, несколько меньше установившегося.
В случае колебательного процесса для оценки можно принять некоторое
амплитудное значение ошибки, т.е. ее значение в конце полупериода. Из (1.60)
и (1.45) относительное значение ошибки в конце полупериода будет
О
тсюда число полупериодов, необходимое, чтобы ошибка уменьшилась
до ϑ
величины, будет
i
. (1.89)
. (1.90)
22
В свою очередь относительное время переходного процесса
21
ln
пер св
i
i
æ
ττ
ϑ
= =
колебательном процессе при заданной ошибке относительная продол-
В
. (1.91)
жительность переходного процесса изменяются обратно пропорционально относительному коэффициенту затухания. Т.е. чем выше амплитуда и частота колебаний, тем больше относительная продолжительность переходного процесса.
Число полупериодов, необходимое для того, чтобы ошибка уменьшилась
до заданного значения согласно (1.90), зависит от величины ошибки и коэффициента. Зависимость числа полупериодов от ошибки носит ступенчатый характер, как это показано пунктиром на рис. 1.5. Их можно построить на непрерывной «граничной» кривой, полученной из (1.90) как уравнение. Граничное значение коэффициента, определяющее минимальное относительное время переходного процесса в зависимости от ошибки.
Рис. 1.5. Зависимость числа полупериодов от ошибки
23
На рис. 1.6 построены кривые относительной продолжительности
переходного процесса в зависимости от коэффициента при различных
значениях ошибки. Эти кривые ясно показывают, что переходный процесс
имеет максимальное значение в колебательном режиме при условии, что он
заканчивается в первом полупериоде [12].
Ри
с. 1.6. Кривые относительной продолжительности переходного процесса
в зависимости от коэффициента при различных значениях ошибки
Проведенные здесь соотношения формально аналогичны соотношениям
переходного процесса в случае сухого трения, которые подробно рассматриваются ниже.
Изложенные здесь выводы для системы второго порядка можно обобщить
и для систем более высоких порядков, если их переходящую функцию можно
аппроксимировать с определенным приближением уравнения второго порядка.
Мы рассмотрели зависимость минимального относительного времени переходного процесса от вида переходных функций систем, в нашем случае от
относительного коэффициента затухания.
24
Но при любом выбранном значении коэффициента α истинная продолжи-
пер пер
t Т
τ
=
kp
KK
ϕω
δϑ ϕ ω
=−−
k
K
ω
ϑ
ω
∂
=
∂
тельность переходного процесса зависит от эквивалентной постоянной
времени Т.
. (1.92)
О
ценку влияния постоянной Т быстродействия привода можно произве-
сти только в том случае, если при изменении постоянной времени Т сохраняется неизменной форма переходного процесса, т.е. постоянным коэффициент æ.
Иначе говоря, вопрос о быстродействии можно построить так. Выбирается определённый вид переходной характеристики из условий устойчивости и быстродействия. Затем необходимо уменьшить эквивалентную постоянную времени, сохраняя при этом неизменный вид переходного процесса, т.е. качество динамических характеристик, или в нашей системе сохранение неизменным относительного коэффициента затухания. Но, как следует из формулы (1.23), снижение эквивалентной постоянной времени при неизменном значении коэффициента æ требует одновременного снижения электромеханической постоянной
времени T
, что может быть осуществлено в редких случаях.
M
Следовательно, снижение эквивалентной постоянной времени при неизменном качестве динамических характеристик можно осуществить только посредством изменения структуры системы введением специальных корректирующих цепей. В нашем случае эту задачу может решить введение упругой обратной связи от отрабатываемого угла, т.е. от угловой скорости двигателя.
Структурная схема следящего электропривода с обратной связью по скорости показана на рис. 1.7 [12].
Уравнение замыкания цепи обратной связи в этом случае записывается
выражением
е коэффициент цепи обратной связи по скорости.
гд
. (1.94)
25
, (1.93)
Р
yk y p y
U K KK KK
ϕω
ϑϕ ω
=−−
( )
10
1
0
y y ky
c mp
p
U KK KK K
KU T
Z
ωϕ
ω ϕϑ
ω
ω
−+=
−+ =
−=
22
0
12
k
p
ZP
K æT T P
ϕ
ωϑ
=
++
2
22
12
m
k ст
m op
ZT
P
MM
K K æT T P
ϕ
ϑ
= +
++
22
1
12
k
p
op
K æT T P
ϕ
ϑ
ϕ
= ⋅
++
ис. 1.7. Структурная схема следящего электропривода
с обратной связью по скорости
Умножив уравнение (1.93) на коэффициент усиления усилителя K
одставив это уравнение вместо уравнения системы (1.16) для случая
П
. (1.95)
, получим:
y
привода без обратной связи по скорости, получим:
. (1.96)
та система уравнений отличается от системы (1.16) только наличием
Э
члена в первом уравнении. Решения системы относительно изображений угловой скорости, момента, угла и напряжения имеют вид:
26
; (1.97)
; (1.98)
. (1.99)
Эти уравнения не отличаются по виду от соответствующих уравнений
m
cy
ZT
T
KKK
ϕ
=
( )
1
1
2
oc c y
cy m
Z
æ KKK
KKKT
ω
ϕ
= ⋅+
привода без обратной связи по скорости. Однако если выражение эквивалентной постоянной времени решается через конструктивные постоянные привода
, (1.100)
то выражение коэффициента æ теперь другое:
. (1.101)
Это уравнение показывает, что обратная связь по скорости дает возможность изменять затухания системы и коэффициент æ независимо от всех других
параметров за счет коэффициента связи K
.
ω
Следовательно, в линейной системе второго порядка можно теоретически
неограниченно снижать (например, за счет K
и Z) эквивалентную постоянную
y
времени, т.е. увеличивать быстродействие, сохраняя при этом форму динамических характеристик инвариантной цепи за счет изменения параметров обратной
связи от скорости [13].
1
.5. Быстродействие линейной системы любого порядка
В предыдущем разделе на примере системы второго порядка, с одной механической инерцией мы выяснили и показали метод исследования быстродействия, которым будем пользоваться в дальнейшем.
Этот метод заключается в том, что конструктивные параметры системы,
отраженные в коэффициентах ее характеристического уравнения, мы представляем в виде двух функций этих параметров: эквивалентной постоянной времени, характеризующей быстродействие системы, и коэффициента, характеризующего форму переходного процесса. Далее мы рассматриваем возможности и
способы увеличения быстродействия снижением ее эквивалентной постоянной
времени за счет соответствующего выбора тех конструктивных постоянных
системы, от которых она зависит. Так как при уменьшении постоянной времени одновременно изменяется коэффициент качества системы вследствие взаимозависимости этих параметров, то второй задачей является выяснение возможности и способов корректирования коэффициента качества так, чтобы переходный процесс сохранял заданную оптимальную по качеству и быстродействию форму.
Здесь мы покажем возможность применения этого метода «инвариантности качества» к линейным системам любого порядка.
27
Передаточная функция замкнутой линейной системы может быть приве-
( )
2
12
1
n
n
Fp
J
ap ap ap
=
+ + +…+
n
n
aT=
1
11
n
nn
aT
α
−
−−
=
1
aT
α
=
n
n
Ta=
( )
2
ii
i
n
i
n
a
T
a
α
α
= =
( )
2
12
1
n
Fg
J
ag ag g
=
+ + +…
g jT
ν
=
t
T
τ
=
( )
( )
t
J pT J J
T
ε
=
дена к виду:
римем
П
. (1.102)
;
г
де эквивалентная постоянная времени Т определяется уравнением
а
коэффициенты из уравнений все вещественные положительные:
чевидно, что как эквивалентная постоянная времени Т, так и коэффици-
О
; …
, (1.103)
, (1.104)
. (1.105)
ент являются функциями конструктивных параметров системы и в общем случае являются взаимозависимыми параметрами. Теперь уравнение (1.102) полу-
чит вид:
аст уравнение амплитудно-фазовой характеристики с безразмерным па-
д
раметром vT, который имеет смысл относительной частоты.
Оригинал (1.106) даст выражение временной характеристики, аргументом
которой будет относительное время
Т
коэффициенты характеризуют качество системы независимо от ее быстродействия, т.е. от эквивалентной постоянной времени, а эквивалентная постоянная
; (1.106)
(1.107)
, т.к. согласно теореме подобия
. (1.108)
аким образом, в любой заданной динамической характеристике системы
28
времени характеризует быстродействие системы независимо от ее качества. Ес-
( )
1
rp
RpRp=
+
( )
1
i
i
i
Q
Qp
Tp
=
+
ли мы тем или иным способом выберем и зададим коэффициенты качества,
обеспечивающие желаемое качество системы, а затем будем уменьшать постоянную времени при неизменных значениях коэффициентов качества, то быстродействие системы будет увеличиваться при неизменном качестве. Однако для
того, чтобы в реальной системе коэффициенты остались неизменными при изменении постоянной времени, необходимо одновременно изменять конструктивные параметры, а возможно, и структуру системы вследствие взаимозависимости постоянной времени T и коэффициентов.
Эта задача решается общими методами синтеза корректирующих цепей,
рассмотрение которых не входит в нашу тему.
Поэтому мы ограничимся двумя примерами, на которых покажем возможность корректирования всех коэффициентов «качества» системы с инерционным усилителем и метод обобщения выводов, касающихся определения
энергетических параметров, на системы с инерционными усилителями.
С этой целью мы рассмотрим корректирование посредством цепей упругой обратной связи с выхода каждого звена цепи следящей системы, в частности, с каждого инерционного каскада усилителя на вход первого каскада. Передаточная функция корректирующих звеньев может иметь вид
(1.109)
и
представлять обычную ячейку RC (или RL). В некоторых случаях могут
потребоваться звенья с характеристиками
r rp
+
01
'
R
=
1
Rp
+
(1.110)
и
r rp rp
++
01 2
''
R
=
1
Rp Rp
++
12
Та
кая структурная схема корректирующих цепей применялась на практи-
2
. (1.111)
2
ке и была подвергнута детальному теоретическому анализу.
В
качестве первого примера рассмотрим следящий привод, усилитель ко-
торого состоит из трех инерционных каскадов с передаточной функцией апериодического звена:
29
. (1.112)
редаточная функция всей разомкнутой цепи из усилителя и двигателя с
( )
( )
123
1
c
пер
KK
Q p QQQ
T pZ
ϕ
=
+
( )( )
'
11
11
11
11
Krp
JJ
Tp Rp
δδ
= =
++
( )
( )
( )
1 22
22
12 2
'
111
K K rp
JJ
Tp Tp Rp
δδ
= ⋅⋅ =
+++
( ) ( ) ( ) ( )
3 34
12
33
123 3
'
1111
K rp r
KK
JJ
TpTpTpRp
δδ
+
= ⋅⋅⋅ =
++++
( ) ( ) ( ) ( )
3
12
44
123
'
1111
c
z
m
KK
K
KK
JJ
TpTpTpTpp
ϕ
δδ
= ⋅⋅⋅ =
++++
44
'
11
k ik i
ii
U JU J
δδ
= =
= = = −
∑∑
Пе
редуктором будет:
Структу
рная схема электропривода с корректирующими цепями будет
. (1.113)
иметь вид, показанный на рис. 1.8 [4].
Рис. 1.8. Структурная схема электропривода с корректирующими цепями
авнение замыкания цепей обратной связи будет:
Ур
; (1.114)
; (1.115)
; (1.116)
. (1.117)
; (1.118)
30