Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Определение энергетических параметров электроприводов специальных систем автоматики. Монография.pdf
T=
н
cy
ZK
J
KKK
ϕ
**гр о гр о
оo
cy
o oK K
U
KKK
U
ϕ
ωω
ϑ
ϑϕ ϕ
= =
m
K
cy n
K
KKK M
ϕα
ϕ
=
K
KH
Z
Tj
M
ϕ
=
0
2
1
n
jj j
Z
= +
1
k
H
KH
jZ j
MZ
ϕ
∂
+
. (2.11)
На основании (2.2) и (2.7)
. (2.12)
учитывая (2.3), получается:
И
. (2.13)
Таким образом, конструктивные параметры привода мы выразим через
требуемое значение угла, которо
е при холостом ходе, привод отрабатывает
при (t → ∞) через начальное значение пускового момента двигателя.
Обе эти величины определяются значением исходного, командного
сигнала ϑ. Из (2.11) и (2.13) получим:
П
риведённый момент инерции зависит от общего передаточного числа
редуктора, а также от момента инерции нагрузки j
j
, моментов инерции шестерен и частных передаточных чисел между ними.
д
. (2.14)
, момента инерции двигателя
n
Чтобы получить возможность аналитического исследования роли передаточного числа редуктора, моментов инерции двигателя и нагрузки, представим
приведенный момент инерции в виде
, (2.15)
здесь j
– момент инерции двигателя;
д
j
– момент инерции нагрузки.
n
Момент инерции шестерен редуктора в первом приближении не учитываем. Ниже мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Согласно (2.15) постоянная
времени T выразится формулой:
T=
, (2.16)
41
В зависимости от передаточного числа Z постоянная Т имеет экстремум, а
n
kp
j
Z
j
∂
=
2
k
оп n
ko
T jj
M
ϕ
∂
=
2
оп k n
kn
j
Tj
M
ϕ
∂
=
kn
j
M
J
∂
=
именно минимум. Критическое значение передаточного числа, определяющее
минимум T, найдем, взяв производную от T и приравняв ее нулю. В результате
получим
. (2.17)
Т. е
. эквивалентная постоянная времени имеет минимум при передаточ-
ном числе редуктора, равном корню квадратному на отношения момента инерции нагрузки к моменту инерции двигателя. Значение постоянной времени при
критическом передаточном числе будет:
то оптимальное значение постоянной времени T зависит от заданных
Э
. (2.18)
величин момента инерции нагрузки и амплитуды отрабатываемого угла и от
неизвестных, подлежащих определению, параметров двигателя – его момента
инерции и пускового момента [19].
Чтобы показать влияние этих параметров двигателя на постоянную времени, перепишем (2.18) в виде
З
десь второй корень содержит известные заданные величины. Таким об-
. (2.19)
разом, единственным фактором, определяющим выбор двигателя по минимальному значению постоянной времени, является отношение пускового момента
двигателя к корню квадратному на его момент инерции.
Далее будет показано, что это отношение нельзя варьировать произвольно. Оно является вполне определенной характеристикой двигателя и зависит от
его конструктивных свойств.
Поэтому это отношение целесообразно рассматривать как параметр, характеризующий динамическое свойства данного конкретного двигателя, а именно
коэффициент динамической добротности двигателя или просто добротности
двигателя.
. (2.20)
42
Подставляя в (2.19) коэффициент добротности (2.20), получим
2
kk
оп
j
J
T
ϕ
=
m
оп k n
m
T
Tj
P
ϕ
∂
=
. (2.21)
Минимальное значение эквивалентной постоянной времени изменяется
обратно пропорционально квадрату добротности двигателя, прямо пропорционально амплитуде отрабатываемого угла и прямо пропорционально корню четвертой степени на моменте инерции нагрузки.
Далее будет показана связь коэффициента добротности с некоторыми
другими параметрами двигателя, в частности его выражение через максимальную мощность двигателя и его электромеханическую постоянную времени.
Используя это выражение (2.12), получим для минимального значения
эквивалентной постоянной времени следующее выражение:
. (2.22)
Эквивалентная постоянная времени при оптимальном значении передаточного числа редуктора пропорциональна корню квадратному из амплитуды
отрабатываемого угла, корню четвертой степени из момента инерции нагрузки
и корню четвертой степени из отношения электромеханической постоянной
времени двигателя и его максимальной мощности.
Имея в виду, что согласно выводам электромеханическая постоянная
времени изменяется в узких пределах (например, для геометрически подобных
двигателей постоянного тока одной серии она не зависит от мощности двигателя), можно сделать вывод, что минимальное значение эквивалентной постоянной времени можно уменьшать за счет увеличения максимальной мощности
двигателя [20].
Но так как постоянная времени уменьшается пропорционально корню
четвертой степени из максимальной мощности двигателя, это снижение постоянной времени практически ограничено.
Например, чтобы уменьшить постоянную времени всего в два раза, нужно увеличить максимальную мощность в 16 раз (если при этом останется неизменной электромеханическая постоянная времени двигателя) [20].
Рассмотрим теперь зависимость от конструктивных параметров привода
относительного коэффициента затухания ᴂ при минимальном значении передаточного числа.
43
Используем формулу (1.23) для ᴂ:
.
æ
2
en
kp
m kp
T
T
=
. ..
2
1
2
m kp n n n
kp
T Kj j T
Z
∂∂
=+=
2
mm
T Kj
∂∂
=
æ
4
on
kp
n
T
T
∂
=
2
1
æ
4
kn
kp
mj
j
T
ϕ
∂
=
( )
1
æ æ1
2
обр c y
KKK
ω
= +
. (2.23)
З
десь Т
тическом значении передаточного числа Z
– электромеханическая постоянная времени привода при кри-
m.kp
. Согласно (1.9), (2.15) и (2.17)
kp
, (2.24)
где электромеханическая постоянная времени двигателя
. (2.25)
Та
ким образом, электромеханическая постоянная времени привода при
оптимальном значении передаточного числа равна удвоенному значению электромеханической постоянной времени двигателя.
. (2.26)
Подставив сюда значения из (2.21), получим
. (2.27)
Электромеханическая постоянная времени для двигателей одной и той же
серии изменяется в зависимости от номинальной мощности двигателя в очень
узких пределах.
Поэтому для получения оптимального значения ᴂ, которое согласно изложенному выше равно единице, необходимо применить корректирующую
цепь обратной связи.
з уравнения (1.101) следует:
И
. (2.28)
44
Однако необходимо получить оптимальное значение данного коэффици-
æ1
обр
=
..гр н гр н
n
cy
nn n
U
KK
U
ωω
ϑϑ
= ⋅=
.
1 æ1
гр н
n
K
ω
ϑ
∞
= +
.
1æ
æ
n
гр н
K
ϑ
ω
∞
−
= ⋅
.
41
2
j
n
m
гр н
kn
KT
j
ϑ
ω
ϕ
∞∂
= −
( )
24 2
11 1
эw w wn
p
jj j j j j
ii i
=+++…+
( )
2
2
22
11
1
nw
z
jj j j
z
zi
∂
−
=++
−
ента, а именно:
И
мея в виду, что согласно (2.2) и (2.7)
получим уравнение:
. (2.29)
, (2.30)
; (2.31)
. (2.32)
П
одставив сюда значение коэффициента из (2.27), найдем:
. (2.33)
Оч
евидно, знак обратной связи может быть положительным или отрицательный в зависимости от соотношения параметров. В заключение этого остановимся на вопросе учета момента инерции шестерен редуктора.
Пусть редуктор состоит из p одинаковых пар с передаточным числом ка-
ждой i. Тогда передаточное число редуктора (Z = i
p
).
Обозначим момент инерции большей шестерни, моментом инерции
меньшей шестерни пренебрежем (или присоединим его к большой шестерне на
той же оси).
Приведенный момент инерции будет:
(2.34)
или
. (2.35)
45
Практически (z2 >> 1), и можно считать:
'
22 2
11 1
1
wn n
j jj j jj
iz z
∂∂
=+ +=+
−
. (2.36)
С
ледовательно, для определения оптимального передаточного числа ре-
дуктора с учетом моментов инерции шестерен достаточно увеличить момент
инерции двигателя согласно формуле (2.36) [21].
Выше было показано, что наименьшее время обработки заданного угла,
т.е. наибольшее быстродействие привода имеет место при значении относительного коэффициента затухания (ᴂ = 1 ) и при минимально возможном значении эквивалентной постоянной времени. При (ᴂ = 1) переходный процесс является наилучшим и по качеству (апериодическим).
Следовательно, выбор конструктивных параметров следящего привода по
условиям быстродействия и качества должен быть подчинен условиям получения минимально возможного значения эквивалентной постоянной времени и
оптимального значения коэффициента (ᴂ = 1).
Выбор конструированных параметров привода определяется следующими
условиями.
1. Коэффициент обратной связи определяется однозначно заданным мак-
симальными значениями входного сигнала и отрабатываемого угла.
2. Коэффициент усиления усилителя не должен быть меньше определен-
ного значения в целях полного использования двигателя по мощности. Если исключить режим работы с отсечкой, то он не должен быть и больше этого значения и определится при этом условии однозначно, не зависимо от соображений
быстродействия.
3. Эквивалентная постоянная времени зависит от заданных максимальных
значений отрабатываемого угла, моментов инерции нагрузки и двигателя, пускового момента двигателя и передаточного числа редуктора. При определенном
критическом значении передаточного числа редуктора эквивалентная постоянная времени имеет минимальное значение.
4. Оптимальное значение передаточного числа равно корню квадратному
из отношения момента инерции нагрузки к моменту инерции двигателя.
5. Минимальное значение эквивалентной постоянной времени (при оптимальном значении передаточного числа) зависит от номинального значения обрабатываемого угла, момента инерции нагрузки и образно пропорционально
корню квадратному из коэффициента добротности двигателя.
6. Ни от каких других параметров двигателя эквивалентная постоянна
я
времени непосредственно не зависит. Под коэффициентом добротности двигателя понимают отношение пускового момента двигателя при минимальном напряжении к корню квадратному из момента инерции якоря или, в другом выражении, удвоенный корень квадратный из отношения электромеханической
мощности двигателя к максимальной мощности.
46
7. Значение относительного коэффициента затухания при критическом
передаточном числе зависит от номинального значения, отрабатываемого угла,
момента инерции нагрузки, добротности двигателя и его электромеханической
постоянной времени.
8. Для достижения наибольшего быстродействия электропривода при холостом ходе (чисто динамической нагрузке) необходимо:
− обеспечить наименьшее значение эквивалентной постоянной времени
за счет выбора двигателя с возможно большей добротностью и выбора редуктора с критическим передаточным числом;
− обеспечить оптимальное значение относительного коэффициента зату-
хания за счет введения корректирующих цепей, например, упругой обратной
связи от скорости двигателя, знак которой может быть или положительным,
или отрицательным в зависимости от соотношения параметров.
9. Выводы, касающиеся энергетических параметров привода, можно считать справедливыми для систем с инерционными усилителями.
2
.2. Динамические параметры двигателя
ерьезным затруднением, возникающим при анализе быстродействия
С
следящего электропривода и определении его оптимальных параметров, является отсутствие выражаемой аналитически зависимости между различными параметрами, характеризующими двигатель: мощностью, моментом, скоростью,
моментом инерции и др. Это положение можно облегчить использованием некоторых промежуточных параметров, характеризующих динамические свойства двигателя и изменяющимися в сравнительно узких границах для двигателей
различных типов, габаритов и т.п.
К таким параметрам можно отнести, например, электромеханическую по-
стоянную времени двигателя, коэффициент эластичности механических характеристик, введенный нами коэффициент динамической добротности и др. аналогичные параметры.
Установив основные тенденции влияния этих параметров на быстродей-
ствие или их оптимальные значения, легче выбрать двигатель с конкретными
параметрами.
Рассмотрим некоторые динамические параметры двигателя и их связь с
коэффициентом динамической добротности.
С точки зрения анализа быстродействия следящего электропривода ха-
рактерными параметрами двигателя являются:
1. Габаритная мощность двигателя. Габаритную мощность двигателя в
нашем случае удобно оценивать его максимальной полезной мощностью;
2. Электромеханическая постоянная времени двигателя [22].
47
Полезная мощность двигателя с линейными механическими характери-
PM
ω
=
1
гр
k
M
PM
M
ω
= −
1
2
гр
ωω
=
1
2
k
MM=
.
1
4
m kn гр м
PM
ω
=
mn
T jK
∂∂
=
j
∂
.гр м
n
kn
K
M
ω
=
стиками
и, следовательно,
За
(2.37)
. (2.38)
висимость мощности от момента имеет максимум при
,
. (2.39)
Отсюда получаем выражение максимальной полезно мощности двигателя:
, (2.40)
гд
е M
– пусковой момент электродвигателя (ω = 0) при номинальном
kp
напряжении питания;
ω
– граничная скорость электродвигателя (M = 0) при номиналь-
гр.м
ном напряжении питания.
С точки зрения анализа быстродействия максимальная мощность двига-
теля является более показательным критерием, чем номинальная мощность, определяемая из условий нагрева, и поэтому часто употребляется в практике следящих электроприводов.
Электромеханическая постоянная времени двигателя (ее не следует смешивать с электромеханической постоянной времени привода, учитывающей
момент инерции нагрузки и зависящей от передаточного числа):
, (2.41)
е
гд
Пр
– момент инерции двигателя.
и этом коэффициент эластичности механической характеристики:
. (2.42)
48
Коэффициент эластичности является вторым параметром, связывающим
2
.
2
11
44
гр м
m kn n
kn
P MK
M
ω
= = ⋅
.
2
гр м m m
PK
ω
=
2
m
kn
n
P
MK=
2
2
kn
M
J
∂
=
2
1
4
mm
PT
∂
=
2
n
m
P
T
∂
=
граничную скорость и пусковой момент двигателя. Первым таким параметром
является максимальная мощность двигателя (2.40).
Граничную номинальную скорость и пусковой номинальный момент двигателя легко выразить через его максимальную мощность и коэффициент эластичности. Из формул (2.40) и (1.3) имеем
. (2.43)
тсюда граничная скорость:
О
, (2.44)
пусковой момент:
а
. (2.45)
Ус
тановим теперь связь между добротностью двигателя, его электроме-
ханической постоянной времени и максимальной мощностью. Из формулы
(2.21) имеем
. (2.46)
П
одставляя сюда значения из (2.43), получим
. (2.47)
Э
то интересное соотношение устанавливает связь трех основных динами-
ческих параметров двигателя: добротности, электромеханической постоянной
времени и максимальной полезной мощности.
Из (2.47) можно, в частности, получить новое выражение добротности
двигателя:
. (2.48)
49
Добротность двигателя равна двум корням квадратным на отношения
2
6 10
n
ee
d ln
P B AS
α
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
2
9 10
n
e
d ln
P cos B AS
ηϕ
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅⋅
975 102
Mn M
P
ω
⋅⋅
= =
максимальной мощности двигателя к его электромеханической постоянной
времени. Рассмотрим теперь, как связана добротность двигателя с его основными конструктивными параметрами и какие имеются возможности в ее увеличении. С этой целью воспользуемся основным уравнением электродвигателя.
Для машины постоянного тока основное уравнение обычно записываются
в виде
, (2.49)
я асинхронного двигателя
а дл
, (2.50)
где d –
диаметр ротора машины;
l – длина ротора машины;
n – частота вращения ротора машины;
P – мощность на валу;
α
– коэффициент формы магнитного поля;
е
В
– максимальная индукция в зазоре;
е
AS – линейная нагрузка;
η – коэффициент полезного действия;
cosφ – коэффициент мощности.
образуем это уравнение в несколько другой вид. Выразим мощность
Пре
двигателя через момент:
где M – момент.
Выразим диаметр ротора через его радиус
, (2.51)
Выразим номинальный момент через пусковой
где λ – коэффициент кратно
d = 2·R .
1
MM
=
,
k
λ
сти пускового момента.
50
(2.52)
(2.53)